$course$/QCM de maths/Seconde/Nombres réels et intervalles Ensembles de nombres (ℕ, ℤ, \mathbb{D},
ℚ, ℝ), droite numérique, intervalles et
appartenance, valeur absolue comme distance, inéquations
|x - a| ≤ r, encadrements décimaux et arrondis.

]]> Nombres réels et intervalles — Q01 : Borne ouverte ou fermée Le nombre 5 appartient-il à l'intervalle [2 ; 5[ ?

]]> [2\,;\,5[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 5\} :
borne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue
(crochet ouvert). Donc 2 ∈ [2 ; 5[ mais
5 ∉ [2 ; 5[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : 5 est écrit dans l'intervalle

]]> Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais
n'y appartiennent que si le crochet est fermé (tourné
vers l'intérieur). Ici il est ouvert : 5 exclu.

]]> Non : le crochet ouvert exclut la borne 5

]]> Bonne réponse : [2 ; 5[ contient les réels x tels
que 2 ≤ x < 5. L'inégalité stricte exclut 5.

]]> Oui, car 5 ≥ 2

]]> Incomplet : il faut vérifier les deux conditions.
5 ≥ 2 certes, mais la seconde exige x < 5, ce que
5 ne vérifie pas.

]]> Non, car 5 n'est pas entre 2 et 5

]]> Raison imprécise : 2 appartient bien à l'intervalle (sa
borne est fermée). C'est le crochet ouvert en 5 qui
exclut 5, pas une position « entre ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q02 : Traduire une inégalité en intervalle À quel intervalle correspond la condition x ≥ 3 ?

]]> x ≥ 3 ⇔ x ∈ [3 ; +∞[. Inégalité large (≥, ≤) : crochet fermé sur la borne ; inégalité stricte (>, <) : crochet ouvert ; du côté de ±∞, le
crochet est toujours ouvert.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]3 ; +∞[

]]> Erreur : ce crochet ouvert exclut 3, ce qui traduirait
l'inégalité stricte x > 3.

]]> [3 ; +∞]

]]> Notation incorrecte : +∞ n'est pas un nombre, on ne
peut jamais fermer le crochet de son côté.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Sens inversé : cet intervalle contient les nombres
inférieurs ou égaux à 3.

]]> [3 ; +∞[

]]> Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut 3 (crochet
fermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert).

]]> Nombres réels et intervalles — Q03 : Valeur absolue et distance Pour deux réels x et a, que représente |x - a| ?

]]> |x - a| = distance entre les points d'abscisses x et a.
Cas particulier : |x| = |x - 0| est la distance de x à
0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distance entre x et a sur la droite numérique

]]> Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la
valeur absolue au programme : |5 - 2| = 3, distance
entre 5 et 2.

]]> Le nombre x - a rendu positif seulement si x > 0

]]> Erreur : la valeur absolue rend la différence positive
quel que soit le signe de x : |2 - 5| = 3 aussi.

]]> Le plus grand des deux nombres x et a

]]> Erreur : |x - a| mesure leur écart, pas leur
maximum : |7 - 4| = 3, alors que le plus grand est 7.

]]> Le milieu de x et a

]]> Erreur : le milieu est x + a/2. La valeur
absolue de la différence donne la longueur du segment,
pas son centre.

]]> Nombres réels et intervalles — Q04 : Résoudre une inéquation $|x| \leq r$ Quel est l'ensemble des réels x tels que |x| ≤ 4 ?

]]> |x| ≤ r (avec r > 0) ⇔
-r ≤ x ≤ r ⇔ x ∈ [-r ; r] :
l'ensemble des points à distance au plus r de 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0 ; 4]

]]> Oubli des négatifs : |-3| = 3 ≤ 4, donc -3 est
solution. La distance à 0 ignore le signe.

]]> \{-4\,;\,4\}

]]> Erreur : ces deux nombres sont les solutions de
l'équation |x| = 4. L'inéquation large admet tout
l'intervalle entre eux.

]]> ]-∞ ; 4]

]]> Erreur : -10 vérifierait x ≤ 4 mais
|-10| = 10 > 4. La valeur absolue borne des deux
côtés.

]]> [-4 ; 4]

]]> Bonne réponse : |x| ≤ 4 signifie « x est à distance
au plus 4 de 0 », donc entre -4 et 4.

]]> Nombres réels et intervalles — Q05 : La nature de $\dfrac{1}{3}$ Quelle est la nature du nombre ⅓ ?

]]> Emboîtements : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
⅓ ∈ ℚ mais \dfrac{1}{3} \notin
\mathbb{D} : tout rationnel n'est pas décimal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décimal, car il s'écrit 0{,}33

]]> Erreur : 0{,}33 n'est qu'une valeur approchée :
3 \times 0{,}33 = 0{,}99 \neq 1. Aucune écriture décimale
finie n'égale ⅓.

]]> Entier, une fois simplifié

]]> Erreur : ⅓ est déjà irréductible et vaut
environ 0{,}33 : ce n'est pas un entier.

]]> Irrationnel, car son écriture décimale est infinie

]]> Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un
nombre irrationnel. ⅓ est un quotient
d'entiers, donc rationnel (son développement est infini
mais périodique).

]]> Rationnel, mais pas décimal

]]> Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),
mais son écriture décimale 0{,}333\ldots ne s'arrête
jamais : il n'est pas décimal (démonstration au
programme).

]]> Nombres réels et intervalles — Q06 : La nature de $\sqrt{2}$ Quelle est la nature du nombre √2 ?

]]> √2 est réel (constructible géométriquement) mais
irrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les
irrationnels remplissent \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q},
avec π comme autre exemple du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rationnel, car \sqrt{2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}

]]> Erreur : un rationnel est un quotient de deux
entiers ; or √2 au dénominateur n'est pas
entier. Cette écriture ne prouve rien.

]]> Décimal, car \sqrt{2} = 1{,}414

]]> Erreur : 1{,}414 est une approximation
(1{,}414^2 = 1{,}999396 \neq 2). Aucun décimal n'a un
carré exactement égal à 2.

]]> Ce n'est pas un nombre réel

]]> Erreur : √2 est parfaitement réel : c'est la
longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, un point
précis de la droite numérique.

]]> Irrationnel

]]> Bonne réponse : √2 n'est le quotient d'aucun
couple d'entiers. Son irrationalité est une
démonstration du programme (raisonnement par l'absurde
avec la parité).

]]> Nombres réels et intervalles — Q07 : Encadrement décimal Quel est l'encadrement de π d'amplitude 10⁻² par des
décimaux ?

]]> Encadrer un réel à 10⁻ⁿ près : le placer entre deux
décimaux consécutifs à n chiffres. Pour π :
3{,}14 < \pi < 3{,}15 (amplitude 10⁻²).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}14 < \pi < 3{,}16

]]> Erreur : l'amplitude vaut ici 0{,}02 = 2 \times 10^{-2}.
L'encadrement demandé serre π entre deux décimaux
consécutifs au centième.

]]> 3{,}1 < \pi < 3{,}2

]]> Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son
amplitude vaut 0{,}1 = 10^{-1}, dix fois trop large.

]]> \pi = 3{,}14

]]> Erreur : 3{,}14 est une valeur approchée, pas une
égalité : π est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.
D'où l'intérêt des encadrements.

]]> 3{,}14 < \pi < 3{,}15

]]> Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux
chiffres après la virgule et leur écart vaut exactement
10^{-2} = 0{,}01.

]]> Nombres réels et intervalles — Q08 : Intersection d'intervalles Que vaut l'intersection [1 ; 5] ∩ [3 ; 8] ?

]]> Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de
recouvrement : [1 ; 5] ∩ [3 ; 8] = [3 ; 5]
(du plus grand début au plus petit bout).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [1 ; 8]

]]> Confusion avec la réunion : [1 ; 8] regroupe les
nombres qui sont dans l'un ou l'autre. L'intersection
garde le « et ».

]]> [5 ; 3]

]]> Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent
dans l'ordre croissant. La zone commune est [3 ; 5].

]]> ∅

]]> Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple
4 appartient aux deux). L'intersection est vide
seulement quand ils sont disjoints.

]]> [3 ; 5]

]]> Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres
communs, ceux qui vérifient à la fois 1 ≤ x ≤ 5 et
3 ≤ x ≤ 8, soit 3 ≤ x ≤ 5.

]]> Nombres réels et intervalles — Q09 : Réunion d'intervalles Que vaut la réunion [1 ; 3[ ∪ [3 ; 5] ?

]]> La réunion contient tous les nombres appartenant à l'un ou à l'autre.
Les deux intervalles se raccordent exactement en 3 :
[1 ; 3[ ∪ [3 ; 5] = [1 ; 5].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [1 ; 5]

]]> Bonne réponse : le nombre 3, exclu du premier
intervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :
aucun trou, la réunion est l'intervalle complet.

]]> [1\,;\,5] \setminus \{3\}

]]> Erreur : 3 appartient bien à la réunion, car
3 ∈ [3 ; 5]. Il suffit d'être dans au moins un
des deux intervalles.

]]> \{3\}

]]> Confusion avec l'intersection (qui vaudrait d'ailleurs
∅ ici, 3 n'étant pas dans le premier). La
réunion rassemble tout : [1 ; 5].

]]> [1 ; 3[

]]> Erreur : la réunion ne garde pas que le premier
intervalle ; elle ajoute tout [3 ; 5].

]]> Nombres réels et intervalles — Q10 : Résoudre une inéquation $|x - a| \leq r$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
|x - 3| ≤ 1 ?

]]> Lecture géométrique (au programme) : |x - a| ≤ r
⇔ x ∈ [a - r ; a + r], intervalle de
centre a et de rayon r. Ici : [2 ; 4].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]2 ; 4[

]]> Erreur de bornes : l'inégalité est large (≤),
donc 2 et 4 (à distance exactement 1) sont
solutions : crochets fermés.

]]> [3 ; 4]

]]> Oubli du côté gauche : 2{,}5 vérifie
|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \leq 1. La distance joue des deux
côtés de 3.

]]> [2 ; 4]

]]> Bonne réponse : |x - 3| ≤ 1 signifie « x à distance
au plus 1 de 3 » : l'intervalle de centre 3 et de
rayon 1, soit [3 - 1 ; 3 + 1].

]]> [-1 ; 1]

]]> Erreur de centre : [-1 ; 1] résout |x| ≤ 1
(distance à 0). Ici la distance se mesure à 3.

]]> Nombres réels et intervalles — Q11 : La chaîne des ensembles de nombres Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?

]]> \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, chaque inclusion étant
stricte : -2 \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N},
0{,}7 \in \mathbb{D}\setminus\mathbb{Z},
\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{D},
\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

]]> Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :
entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels.

]]> \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{R}

]]> Erreur au milieu : \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} et non
l'inverse : ⅓ est rationnel sans être
décimal.

]]> ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

]]> Erreur au départ : ℤ contient les négatifs, que
ℕ n'a pas : c'est ℕ ⊂ ℤ.

]]> ℝ ⊂ ℚ, car tout réel a une
écriture décimale

]]> Erreur : √2 et π sont réels mais pas
rationnels : ℚ est strictement plus petit que
ℝ.

]]> Nombres réels et intervalles — Q12 : Arrondi au centième Quel est l'arrondi au centième du nombre 2{,}4567 ?

]]> Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule
et regarder le troisième : s'il vaut 5 ou plus, on augmente
le dernier chiffre conservé. 2{,}45\underline{6}7 \to
2{,}46.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}5

]]> Erreur de rang : 2{,}5 est l'arrondi au dixième. Au
centième, on garde deux chiffres après la virgule.

]]> 2{,}45

]]> C'est la troncature (on coupe sans regarder la
suite). L'arrondi observe le chiffre suivant : 6, donc
on monte à 2{,}46.

]]> 2{,}46

]]> Bonne réponse : le chiffre suivant (6 ≥ 5) fait
arrondir au-dessus : 2{,}4567 \approx 2{,}46.

]]> 2{,}457

]]> Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est
l'arrondi au millième.

]]> Nombres réels et intervalles — Q13 : La nature de $\pi$ Dans quels ensembles de nombres se trouve π ?

]]> π et √2 : les deux irrationnels de référence :
dans ℝ, hors de ℚ. Leur développement
décimal est infini SANS période : aucune fraction ne les
atteint.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π ∈ ℚ, car π = 22/7

]]> Erreur célèbre : \frac{22}{7} \approx 3{,}142857
n'est qu'une approximation : π n'est égal à
aucune fraction.

]]> \pi \in \mathbb{D}, car \pi = 3{,}14

]]> Erreur : 3{,}14 est un arrondi : les décimales de
π ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas).

]]> π ∈ ℝ mais π ∉ ℚ :
c'est un irrationnel

]]> Bonne réponse : π ne s'écrit comme aucune fraction
d'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni
décimal, ni entier.

]]> π ∉ ℝ : c'est un nombre « spécial »

]]> Erreur : π est un point parfaitement réel de la
droite numérique (entre 3{,}14 et 3{,}15) :
« irrationnel » ne veut pas dire « irréel ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q14 : Traduire $x \geq 2$ Quel intervalle traduit la condition x ≥ 2 ?

]]> Inégalité large (≥, ≤) : borne incluse, crochet
fermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.
Trois règles, zéro exception.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2\ ;\ +∞]

]]> Crochet impossible : +∞ n'est pas un nombre : le
crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.

]]> ]2\ ;\ +∞[

]]> Borne exclue à tort : ≥ inclut la valeur 2 :
crochet fermé en 2.

]]> [2\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : borne 2 incluse (crochet fermé,
car ≥), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est
pas un nombre).

]]> ]-∞\ ;\ 2]

]]> Sens inversé : cet intervalle traduit x ≤ 2 : la
condition ≥ regarde vers la droite.

]]> Nombres réels et intervalles — Q15 : $-3$ et les ensembles de nombres Quelle affirmation est correcte au sujet de -3 ?

]]> Emboîtement : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : un
nombre appartient à son premier étage ET à tous les
suivants. -3 entre en ℤ et monte jusqu'à
ℝ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 ∈ ℤ mais -3 ∉ ℚ

]]> Erreur : -3 = -3/1 est une fraction d'entiers
: tout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles
s'emboîtent).

]]> -3 ∈ ℚ mais -3 ∉ ℝ

]]> Erreur : tout rationnel est réel. -3 a sa place sur la
droite numérique, trois unités à gauche de zéro.

]]> -3 ∈ ℕ et -3 ∈ ℤ

]]> Erreur : \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} ne contient
aucun négatif ; -3 n'entre qu'à l'étage ℤ.

]]> -3 ∈ ℤ mais -3 ∉ ℕ

]]> Bonne réponse : ℕ ne contient que les entiers
positifs ou nul ; les négatifs entrent au niveau de
ℤ (entiers relatifs).

]]> Nombres réels et intervalles — Q16 : $\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ? Le nombre ⅐ est-il un nombre décimal ?

]]> Hiérarchie fine : un décimal a un développement fini ; un rationnel, un développement fini ou périodique ; un irrationnel, un développement infini sans période.
\frac{1}{4} = 0{,}25 (décimal), ⅐ (rationnel
non décimal), √2 (irrationnel).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : ⅐ est un nombre irrationnel

]]> Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc
rationnel : il est non décimal, mais parfaitement
rationnel (ses décimales se répètent).

]]> Non : son écriture décimale ne s'arrête jamais

]]> Bonne réponse : un nombre décimal a un nombre FINI de
chiffres après la virgule. Or \frac{1}{7} =
0{,}142857\,142857\dots boucle sur le motif 142857
sans fin : rationnel, mais pas décimal.

]]> Oui : toute fraction d'entiers est un nombre décimal

]]> Erreur : seules les fractions dont le dénominateur
(simplifié) n'a que des facteurs 2 et 5 sont
décimales : 7 n'en fait pas partie.

]]> Oui : il a des chiffres après la virgule

]]> Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il
faut qu'elles s'arrêtent (0{,}25 oui,
0{,}142857\dots non).

]]> Nombres réels et intervalles — Q17 : $\in$ ou $\subset$ ? Quelle écriture est correcte ?

]]> ∈ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;
⊂ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test
rapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une
collection ?

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux symboles sont interchangeables

]]> Erreur : ils décrivent deux relations de natures
différentes : appartenir (élément-ensemble) et être
inclus (ensemble-ensemble).

]]> 2 ∈ ℕ et ℕ ⊂ ℤ

]]> Bonne réponse : ∈ relie un élément à un ensemble
(2 est un nombre), ⊂ relie deux ensembles
(ℕ est contenu dans ℤ).

]]> 2 ∈ ℕ et ℕ ∈ ℤ

]]> Symbole inadapté pour ℕ : un ensemble est
inclus (⊂) dans un autre, il ne lui
appartient pas. La première partie, 2 ∈ ℕ,
est juste.

]]> 2 ⊂ ℕ et ℕ ⊂ ℤ

]]> Symbole inadapté pour 2 : un nombre est un
élément, il appartient (∈) à ℕ, il
n'y est pas inclus. La seconde partie, ℕ ⊂ ℤ, est juste.

]]> Nombres réels et intervalles — Q18 : Comparer $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ Lequel des deux nombres 3/7 et 0{,}43 est le
plus grand ?

]]> Comparer fraction et décimal : mettre au même format
(division posée) ou produit en croix (3 × 100 contre
43 × 7). Les écarts minuscules (300 contre 301)
justifient l'exigence de calcul exact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont égaux

]]> Erreur : 3/7 n'est pas décimal : il ne peut
pas être exactement 0{,}43 (produit en croix : 300 ≠ 301).

]]> 3/7, car une fraction est plus précise

]]> Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la
taille : seul le calcul compare (0{,}4286 <
0{,}43).

]]> 0{,}43, car \dfrac{3}{7} = 0{,}4285\dots < 0{,}43

]]> Bonne réponse : diviser (ou comparer 3 × 100 et
43 × 7 = 301 : 300 < 301) : la fraction est
légèrement en dessous.

]]> 3/7, car 3 + 7 = 10 > 0{,}43

]]> Opération sans sens : additionner numérateur et
dénominateur ne mesure rien : on compare par division ou
produit en croix.

]]> Nombres réels et intervalles — Q19 : Un intervalle non borné Par quelle inégalité se traduit l'appartenance
x ∈ ]-∞ ; 5[ ?

]]> Le symbole -∞ est toujours accompagné d'un crochet ouvert, car ce
n'est pas un nombre. Seule la borne finie décide du type de crochet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ≤ 5

]]> Borne incluse à tort : le crochet ouvert devant 5 signifie que
cette valeur ne fait pas partie de l'intervalle.

]]> x > 5

]]> Sens inversé : l'intervalle part de -∞, il contient donc les
nombres situés en dessous de 5.

]]> -5 < x < 5

]]> Borne inférieure inventée : -∞ n'est pas un nombre, aucune
valeur ne borne l'intervalle par le bas.

]]> x < 5

]]> Bonne réponse : la borne 5 est ouverte, donc exclue, et rien ne
limite x du côté des valeurs négatives.

]]> Nombres réels et intervalles — Q20 : Résoudre $|x| \geq 3$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation |x| ≥ 3 ?

]]> L'écriture |x| mesure la distance de x à 0. Une distance supérieure
ou égale à 3 correspond aux deux demi-droites éloignées de l'origine, et
non à un intervalle centré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-∞ ; -3] ∪ [0 ; +∞[

]]> Borne fausse : x = 1 appartiendrait à cet ensemble alors que
|1| = 1 < 3.

]]> ]-∞ ; -3] ∪ [3 ; +∞[

]]> Bonne réponse : être à une distance d'au moins 3 de l'origine, c'est
être en dessous de -3 ou au-dessus de 3.

]]> [-3 ; 3]

]]> Inégalité retournée : cet intervalle est l'ensemble des solutions de
|x| ≤ 3. Pour x = 0, on a |0| = 0 < 3.

]]> [3 ; +∞[

]]> Moitié oubliée : x = -5 convient aussi, car |-5| = 5 ≥ 3.

]]> Nombres réels et intervalles — Q21 : Distance entre deux nombres Quelle est la distance entre les nombres -2 et 5 sur la droite
numérique ?

]]> La distance entre deux réels a et b vaut |a - b|, et cette valeur ne
dépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Signe oublié : le calcul fait est -2 + 5. Une distance se calcule
avec une soustraction, puis une valeur absolue.

]]> 7

]]> Bonne réponse : la distance vaut |{-2} - 5| = |{-7}| = 7.
On la lit aussi en comptant de -2 à 0, puis de 0 à 5.

]]> -7

]]> Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le
rôle des barres dans |{-2} - 5|.

]]> 5

]]> Un seul nombre pris en compte : 5 est la distance de 0 à 5,
alors que le point de départ est -2.

]]> Nombres réels et intervalles — Q22 : Une intersection vide Que vaut [0 ; 2] ∩ ]3 ; 5] ?

]]> L'intersection réunit les nombres appartenant aux deux intervalles à la
fois. Un schéma sur la droite numérique montre ici deux morceaux séparés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]2 ; 3[

]]> Intervalle inventé : les nombres entre 2 et 3 ne sont dans aucun
des deux ensembles, encore moins dans les deux.

]]> L'ensemble vide

]]> Bonne réponse : aucun nombre n'est à la fois inférieur à 2 et
supérieur à 3, les deux intervalles sont disjoints.

]]> [0 ; 5]

]]> Réunion et intersection confondues : [0 ; 5] contient 2{,}5, qui
n'appartient à aucun des deux intervalles.

]]> [0 ; 2] ∪ ]3 ; 5]

]]> Symbole mal lu : ∩ demande les nombres communs, alors que ∪
rassemblerait tous les nombres des deux intervalles.

]]> Nombres réels et intervalles — Q23 : Écrire un intervalle avec une valeur absolue Comment l'intervalle [2 ; 6] s'écrit-il à l'aide d'une valeur
absolue ?

]]> Tout intervalle fermé borné s'écrit |x - c| ≤ r, où c est son
centre et r son rayon. On les obtient par la demi-somme et la
demi-différence des bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc |x - 4| ≤ 2

]]> Bonne réponse : le centre de l'intervalle est 4 et son rayon vaut
2, puisque 6 - 2 = 4 et que la moitié de 4 vaut 2.

]]> |x - 2| ≤ 6

]]> Bornes recopiées telles quelles : cette inéquation décrit
[-4 ; 8], un intervalle bien plus large.

]]> |x + 4| ≤ 2

]]> Signe du centre : cette inéquation décrit [-6 ; -2], symétrique de
l'intervalle cherché par rapport à l'origine.

]]> |x - 4| ≤ 4

]]> Rayon doublé : cette inéquation décrit [0 ; 8]. Le rayon est la
moitié de la longueur de l'intervalle.

]]> Nombres réels et intervalles — Q24 : Troncature ou arrondi Tronquer un nombre positif au centième consiste à supprimer tous les
chiffres situés après le chiffre des centièmes. Quel nombre obtient-on
en tronquant 2{,}478 au centième ?

]]> La troncature coupe l'écriture décimale au rang demandé. L'arrondi, lui,
choisit la valeur approchée la plus proche, ce qui peut faire augmenter le
dernier chiffre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}47

]]> Bonne réponse : tronquer consiste à couper après le deuxième chiffre
décimal, sans regarder les suivants.

]]> 2{,}48

]]> C'est l'arrondi, pas la troncature : l'arrondi tient compte du
chiffre suivant, la troncature l'ignore.

]]> 2{,}5

]]> Double erreur : c'est un arrondi, et au dixième au lieu du centième.

]]> 2{,}4

]]> Rang mal choisi : 2{,}4 est la troncature au dixième. Le centième
correspond au deuxième chiffre après la virgule.

]]> Nombres réels et intervalles — Q25 : Somme de deux irrationnels La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours irrationnelle ?

]]> L'ensemble des irrationnels n'est pas stable par addition. Un seul
contre-exemple suffit à réfuter une affirmation du type « toujours ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle peut être rationnelle

]]> Bonne réponse : √2 et -√2 sont irrationnels, et leur
somme vaut 0, qui est entier.

]]> Oui, sauf si les deux nombres sont égaux

]]> Condition inutile : √2 + √2 = 2√2 reste
irrationnel, alors que √2 + (-√2) ne l'est pas.

]]> Oui, toujours

]]> Contre-exemple immédiat : √2 + (-√2) = 0, un nombre
rationnel.

]]> Non, elle est toujours rationnelle

]]> Affirmation trop forte : √2 + √2 = 2√2 est encore
irrationnel.

]]> Nombres réels et intervalles — Q26 : Un décimal est-il rationnel ? Tout nombre décimal est-il un nombre rationnel ?

]]> Les ensembles s'emboîtent : \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}, l'inclusion
étant stricte. Un décimal est une fraction particulière, de dénominateur
10, 100, 1 000, et ainsi de suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, et tout rationnel est décimal

]]> La réciproque est fausse : ⅓ est rationnel sans être
décimal, son écriture ne s'arrête jamais.

]]> Oui, tout décimal est rationnel

]]> Bonne réponse : un décimal s'écrit comme une fraction de dénominateur
une puissance de 10, par exemple 0{,}37 = \dfrac{37}{100}.

]]> Non, seuls les entiers le sont

]]> Les entiers sont rationnels, mais ils ne sont pas les seuls :
0{,}5 = \dfrac{1}{2} l'est aussi.

]]> Non, cela dépend du nombre de décimales

]]> Un décimal a par définition un nombre fini de décimales, ce qui donne
toujours une écriture fractionnaire.

]]> Nombres réels et intervalles — Q27 : Encadrer un opposé On sait que 2 ≤ x ≤ 5. Quel encadrement de -x en découle ?

]]> Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des
inégalités. Une vérification sur une valeur, ici x = 3, évite l'erreur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2 ≤ -x ≤ -5

]]> Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus
petite, or -5 < -2.

]]> -5 ≤ -x ≤ 2

]]> Une seule borne traitée : la borne 2 devient -2 elle aussi,
puisque les deux membres changent de signe.

]]> 2 ≤ -x ≤ 5

]]> Signe non reporté : si x vaut 3, alors -x vaut -3, qui n'est
pas compris entre 2 et 5.

]]> -5 ≤ -x ≤ -2

]]> Bonne réponse : multiplier par -1 renverse les inégalités, donc les
bornes échangent leur rôle.

]]> Nombres réels et intervalles — Q28 : Encadrer une somme On sait que 1 ≤ x ≤ 3 et 2 ≤ y ≤ 4.
Quel encadrement de x + y en découle ?

]]> Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des
inégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer
l'opposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 ≤ x + y ≤ 12

]]> Bornes multipliées : 2 et 12 encadreraient le produit xy, pas
la somme.

]]> 3 ≤ x + y ≤ 7

]]> Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis
celles de droite entre elles.

]]> 3 ≤ x + y ≤ 12

]]> Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant 3 et 4,
ce qui donne 7 et non 12.

]]> 1 ≤ x + y ≤ 4

]]> Une seule variable prise en compte : pour x = 3 et y = 4, la somme
vaut 7, hors de cet encadrement.

]]> Nombres réels et intervalles — Q29 : Valeur exacte et valeur approchée Peut-on écrire \sqrt{2} = 1{,}414 ?

]]> Le signe = relie deux écritures du même nombre. Pour une valeur
approchée on utilise ≈, et l'on précise le rang de l'arrondi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, à condition d'écrire trois décimales

]]> Aucun nombre fini de décimales ne convient, puisque √2 est
irrationnel.

]]> Non, car √2 est négatif

]]> Une racine carrée est toujours positive ou nulle : √2 vaut
environ 1{,}414, c'est bien un nombre positif.

]]> Non, 1{,}414 n'est qu'une valeur approchée

]]> Bonne réponse : 1{,}414^2 = 1{,}999396, différent de 2. La valeur
exacte s'écrit √2.

]]> Oui, la calculatrice donne ce résultat

]]> La calculatrice affiche un arrondi : √2 a un développement
décimal infini et non périodique.

]]> Nombres réels et intervalles — Q30 : L'écriture ne dit pas tout À quel ensemble le nombre 9/3 appartient-il ?

]]> Pour déterminer la nature d'un nombre, on le met d'abord sous sa forme la
plus simple. Une même valeur admet plusieurs écritures, dont certaines
masquent son appartenance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À ℚ mais pas à ℤ

]]> Écriture prise pour la nature : la fraction se simplifie en 3, qui
appartient bien à ℤ.

]]> À ℝ seulement

]]> Réponse trop large : 3 appartient à ℝ, mais aussi à tous
les ensembles emboîtés en dessous.

]]> À \mathbb{D} mais pas à ℤ

]]> Tout entier est décimal, et 9/3 vaut 3 : les deux
appartenances sont vraies en même temps.

]]> À ℕ

]]> Bonne réponse : 9/3 = 3, un entier naturel. L'écriture
fractionnaire ne change pas la nature du nombre.

]]> Nombres réels et intervalles — Q31 : L'intervalle des réels négatifs Quel intervalle est formé exactement des réels strictement négatifs ?

]]> Un intervalle non borné traduit une seule inégalité : x < 0 donne
]-∞ ; 0[, avec un crochet ouvert du côté de l'infini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; +∞[

]]> Sens inversé : cet intervalle rassemble les réels strictement
positifs, ceux qui vérifient x > 0.

]]> ]-∞ ; 0]

]]> Borne de trop : ce crochet fermé ajoute 0, qui n'est pas
strictement négatif. Cet intervalle traduit x ≤ 0.

]]> ]-∞ ; 0[

]]> Bonne réponse : un réel strictement négatif vérifie x < 0, ce que
traduit le crochet ouvert en 0.

]]> [-∞ ; 0[

]]> Notation incorrecte : -∞ n'est pas un nombre, le crochet qui
le borde reste toujours ouvert.

]]> Nombres réels et intervalles — Q32 : Une réunion qui ne se simplifie pas Que vaut la réunion ]-∞ ; 1] ∪ ]4 ; +∞[ ?

]]> Deux intervalles disjoints se réunissent sans se simplifier : on garde
l'écriture A ∪ B, et l'appartenance se lit avec un « ou ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'intervalle ]1 ; 4], situé entre les deux bornes

]]> C'est exactement l'ensemble des réels exclus de la réunion, donc
le contraire de la réponse attendue.

]]> L'ensemble ℝ, car les deux bornes se rejoignent

]]> Trou oublié : aucun réel de ]1 ; 4] n'appartient à l'un des deux
intervalles, donc la réunion n'est pas ℝ.

]]> L'ensemble des réels tels que x ≤ 1 ou x > 4

]]> Bonne réponse : la réunion rassemble les réels appartenant à l'un au
moins des deux intervalles, sans les fusionner en un seul.

]]> L'ensemble vide, car les deux intervalles sont disjoints

]]> Confusion avec l'intersection : c'est elle qui est vide ici. La
réunion, elle, contient tous les éléments des deux intervalles.

]]> Nombres réels et intervalles — Q33 : Deux nombres à une distance donnée Quels sont les deux réels situés à la distance 4 du nombre 3 ?

]]> La condition |x - a| = r signifie que x est à la distance r de a.
Elle a deux solutions, a - r et a + r, situées de part et d'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1 et 7

]]> Bonne réponse : on part de 3 et on avance de 4 dans les deux
sens : 3 - 4 = -1 et 3 + 4 = 7.

]]> -4 et 4

]]> Ce sont les deux réels situés à la distance 4 de 0. Ici le
point de départ est 3, donc les réels cherchés sont -1 et 7.

]]> 1 et 7

]]> Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher 4 au nombre
3, et non l'inverse, ce qui donne -1.

]]> 3 et 4

]]> Les deux données sont recopiées : 3 est le point de départ et
4 la distance, aucun des deux n'est une réponse.

]]> Nombres réels et intervalles — Q34 : Pourquoi $0{,}25$ est rationnel Pourquoi le nombre 0{,}25 est-il un nombre rationnel ?

]]> Un nombre est rationnel lorsqu'il s'écrit comme quotient de deux entiers.
Un décimal en fournit toujours un, de dénominateur une puissance de 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'il est compris entre 0 et 1

]]> La position sur la droite numérique ne dit rien de la nature :
\sqrt{0{,}5} est aussi entre 0 et 1, et il est irrationnel.

]]> Parce qu'il compte exactement deux chiffres après la virgule

]]> Le nombre de décimales ne fonde rien : ⅓ est rationnel
sans avoir d'écriture décimale finie.

]]> Parce qu'il est le quotient des entiers 25 et 100

]]> Bonne réponse : 0{,}25 = \dfrac{25}{100}, quotient de deux entiers,
ce qui est la définition d'un rationnel.

]]> Il ne l'est pas : un décimal n'est pas une fraction

]]> Tout décimal s'écrit sur 10, 100, 1 000 : c'est une fraction,
donc un rationnel. L'inclusion \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} le dit.

]]> Nombres réels et intervalles — Q35 : Repérer la fraction décimale Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?

]]> Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne
contient que des facteurs 2 et 5 : elle se met alors sur 10, 100
ou 1 000. Sinon son écriture décimale est illimitée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4/7

]]> Le dénominateur 7 ne divise aucune puissance de 10 : l'écriture
décimale de 4/7 ne s'arrête jamais.

]]> ⅚

]]> Le dénominateur 6 ne divise aucune puissance de 10 : l'écriture
décimale de ⅚ ne s'arrête jamais.

]]> ⅔

]]> Le dénominateur 3 ne divise aucune puissance de 10 : l'écriture
décimale de ⅔ ne s'arrête jamais.

]]> ¾

]]> Bonne réponse : \dfrac{3}{4} = 0{,}75, une écriture décimale qui
s'arrête.

]]> Nombres réels et intervalles — Q36 : Entier relatif mais pas naturel Parmi ces nombres, lequel appartient à ℤ sans appartenir à
ℕ ?

]]> ℕ contient les entiers positifs ou nuls, ℤ y ajoute
leurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les
éléments de ℤ qui ne sont pas dans ℕ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Ce nombre appartient bien à ℤ, mais aussi à ℕ :
la seconde condition n'est pas remplie.

]]> -7

]]> Bonne réponse : -7 est un entier, donc dans ℤ, mais les
entiers naturels sont positifs ou nuls.

]]> √5

]]> √5 est irrationnel : il appartient à ℝ, mais à
aucun des deux ensembles cités.

]]> ⅐

]]> Ce nombre n'est pas entier : il appartient à ℚ, donc il
n'est ni dans ℤ ni dans ℕ.

]]> Nombres réels et intervalles — Q37 : Traduire une phrase en symboles Comment traduire en symboles la phrase « l'intervalle [0 ; 1] est
contenu dans ℝ, et le nombre 0{,}5 lui appartient » ?

]]> Pour choisir le symbole, on regarde ce qui est écrit à gauche : un nombre
appelle ∈, un ensemble appelle ⊂.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0 ; 1] ⊂ ℝ et 0{,}5 \subset [0\,;\,1]

]]> La première écriture est correcte, mais 0{,}5 est un nombre : il
appartient à l'intervalle, il n'y est pas contenu.

]]> [0 ; 1] ⊂ ℝ et 0{,}5 \in [0\,;\,1]

]]> Bonne réponse : ⊂ relie deux ensembles, ∈ relie un nombre
à un ensemble.

]]> [0 ; 1] ∈ ℝ et 0{,}5 \subset [0\,;\,1]

]]> Les deux symboles sont échangés : un intervalle est un ensemble, un
nombre est un élément.

]]> [0 ; 1] ∈ ℝ et 0{,}5 \in [0\,;\,1]

]]> La seconde écriture est correcte, mais un intervalle est un ensemble
de nombres : il est inclus dans ℝ, il n'en est pas un
élément.

]]> Nombres réels et intervalles — Q38 : Valeur exacte d'une aire Un disque a pour rayon 3 centimètres. Quelle écriture donne la valeur
exacte de son aire, en centimètres carrés ?

]]> Une valeur exacte garde les symboles π et √\ tels quels.
Dès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et
le signe = cède la place à ≈.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6π

]]> C'est le périmètre du disque, 2π r. L'aire s'obtient avec le carré
du rayon : 9π.

]]> 28{,}27

]]> Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée
de π : on écrirait \mathcal{A} \approx 28{,}27.

]]> 9 \times 3{,}14

]]> 3{,}14 n'est qu'un arrondi de π : ce produit donne une valeur
approchée, alors que 9π est exacte.

]]> 9π

]]> Bonne réponse : l'aire vaut π r² = π × 3² = 9π, et
garder π conserve la valeur exacte.

]]> Nombres réels et intervalles — Q39 : Situer une fraction entre deux décimaux À quel intervalle le nombre 11/4 appartient-il ?

]]> Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :
l'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite
numérique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2{,}7\,;\,2{,}8]

]]> Bonne réponse : \dfrac{11}{4} = 2{,}75, nombre compris entre 2{,}7
et 2{,}8.

]]> [2{,}3\,;\,2{,}4]

]]> Le reste n'est pas la partie décimale : de 11 = 4 × 2 + 3 on ne tire pas 2{,}3, mais 2{,}75.

]]> [0{,}3\,;\,0{,}4]

]]> Quotient inversé : \dfrac{4}{11} \approx 0{,}36, alors que le nombre
étudié est \dfrac{11}{4} = 2{,}75.

]]> [7\,;\,7{,}1]

]]> La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :
11 - 4 = 7 ne répond pas à la question.

]]> Nombres réels et intervalles — Q40 : Encadrer une expression affine On sait que 3 ≤ x ≤ 7. Quel encadrement de 2x - 1 en
découle ?

]]> On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :
multiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change
que si l'on multiplie par un nombre négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5 ≤ 2x - 1 ≤ 13

]]> Bonne réponse : on multiplie par 2, positif, puis on ajoute
-1 aux trois membres.

]]> 13 ≤ 2x - 1 ≤ 5

]]> Bornes inversées : 2 est positif, le sens des inégalités est donc
conservé, et la borne la plus petite reste à gauche.

]]> 2 ≤ 2x - 1 ≤ 6

]]> Le terme -1 est ajouté, mais la multiplication par 2 manque :
les deux opérations agissent sur les bornes.

]]> 6 ≤ 2x - 1 ≤ 14

]]> La multiplication par 2 est faite, mais le terme -1 a été
oublié : il s'ajoute aussi aux bornes.

]]> Nombres réels et intervalles — Q41 : Encadrer une différence On sait que 1 ≤ x ≤ 5 et 2 ≤ y ≤ 3. Quel
encadrement de x - y en découle ?

]]> On écrit x - y = x + (-y) : on encadre d'abord -y, ce qui renverse les
inégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1 ≤ x - y ≤ 2

]]> Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour
l'addition, jamais pour la soustraction.

]]> -3 ≤ x - y ≤ 2

]]> C'est l'encadrement de y - x : les rôles des deux nombres ont été
échangés.

]]> 3 ≤ x - y ≤ 8

]]> C'est l'encadrement de x + y : la somme et la différence ne se
traitent pas de la même façon.

]]> -2 ≤ x - y ≤ 3

]]> Bonne réponse : x - y est le plus petit quand x vaut 1 et
y vaut 3, le plus grand quand x vaut 5 et y vaut
2.

]]> Nombres réels et intervalles — Q42 : Retrouver un nombre par sa troncature Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les
chiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième
d'un nombre positif x vaut 2{,}3 : à quel intervalle x appartient-il ?

]]> Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la
virgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur 0{,}1, borne
gauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2{,}3\,;\,2{,}4]

]]> Borne incluse à tort : la troncature de 2{,}4 vaut 2{,}4, ce nombre
doit être exclu.

]]> ]2{,}3\,;\,2{,}4[

]]> Borne exclue à tort : 2{,}3 a bien lui-même pour troncature au dixième
2{,}3, il appartient donc à l'intervalle.

]]> [2{,}25\,;\,2{,}35[

]]> Cet intervalle est celui des nombres dont l'arrondi au dixième
vaut 2{,}3. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant.

]]> [2{,}3\,;\,2{,}4[

]]> Bonne réponse : tous ces nombres commencent par 2{,}3, et 2{,}4 est le
premier à ne plus commencer ainsi.

]]> Nombres réels et intervalles — Q43 : Inclusion de deux intervalles L'intervalle [1 ; 3] est-il inclus dans l'intervalle ]0 ; 3[ ?

]]> A ⊂ B signifie que tout élément de A est aussi élément de B.
Un seul élément manquant suffit à faire échouer l'inclusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le réel 0 n'appartient pas à l'intervalle [1 ; 3]

]]> Sens de l'inclusion inversé : on vérifie que les éléments du premier
sont dans le second, pas l'inverse.

]]> Non : le réel 3 appartient au premier, pas au second

]]> Bonne réponse : l'inclusion exige que tous les éléments passent,
et 3 est exclu de ]0 ; 3[.

]]> Oui : l'intervalle [1 ; 3] est le plus court des deux

]]> La longueur ne décide pas : un intervalle plus court peut très bien
déborder de l'autre, comme ici en 3.

]]> Oui : toutes les bornes de [1 ; 3] sont dans ]0 ; 3[

]]> La borne 3 n'appartient pas à ]0 ; 3[, dont le crochet droit est
ouvert : l'inclusion échoue à cause d'elle.

]]> Nombres réels et intervalles — Q44 : Valeur absolue d'un nombre négatif Lorsque x est un réel strictement négatif, que vaut |x| ?

]]> Par définition, |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0. Dans les
deux cas le résultat est positif ou nul : c'est la distance de x à 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -x, qui est alors un nombre négatif

]]> Le signe - devant une lettre ne rend pas le nombre négatif : il
désigne l'opposé, positif ici puisque x est négatif.

]]> x, car la valeur absolue ne change rien

]]> Ce serait vrai pour x positif seulement : une valeur absolue n'est
jamais strictement négative.

]]> 0, car un nombre négatif est sans distance

]]> Seul 0 est à la distance 0 de l'origine : |-4| = 4, la distance
de -4 à 0.

]]> -x, qui est alors un nombre positif

]]> Bonne réponse : pour x = -4, |x| = 4 = -(-4). L'opposé d'un nombre
négatif est positif.

]]> Nombres réels et intervalles — Q45 : La nature de $\pi - 3$ Le nombre π - 3 est-il un nombre rationnel ?

]]> La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle :
dans le cas contraire, on isolerait l'irrationnel comme différence de deux
rationnels. Retrancher 3 à π ne change donc pas sa nature.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : tout nombre plus petit que 1 est irrationnel

]]> La taille du nombre ne décide de rien : 0{,}5 est plus petit que
1 et parfaitement rationnel.

]]> Non : sinon π serait une somme de rationnels

]]> Bonne réponse : si π - 3 était rationnel, π = (π - 3) + 3 le
serait aussi, ce qui est faux.

]]> Oui : π - 3 vaut environ 0{,}14, un décimal

]]> 0{,}14 n'est qu'une valeur approchée : elle ne dit rien de la nature
du nombre exact.

]]> Oui : retrancher un entier rend un nombre rationnel

]]> Retrancher un entier translate le nombre sans changer sa nature :
√2 - 1 reste irrationnel lui aussi.

]]> Nombres réels et intervalles — Q46 : Arrondir à trois chiffres significatifs On mesure une longueur et la calculatrice affiche 0{,}0482735 m.
Quel est l'arrondi de ce nombre à trois chiffres significatifs ?

]]> Les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre
non nul. Leur nombre traduit la précision d'une mesure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}0482 m

]]> Erreur : c'est une troncature. Le chiffre suivant est 7, donc
on arrondit au-dessus.

]]> 0{,}05 m

]]> Erreur : cet arrondi ne garde qu'un seul chiffre significatif.

]]> 0{,}048 m

]]> Erreur : ce nombre n'a que deux chiffres significatifs, 4 et
8. Les zéros placés avant le 4 ne comptent pas.

]]> 0{,}0483 m

]]> Bonne réponse : les zéros de tête ne comptent pas. Les trois
chiffres significatifs sont 4, 8 et 2, et le chiffre
suivant, 7, fait arrondir à 483.

]]> Nombres réels et intervalles — Q47 : Un résultat trop précis Les côtés d'un rectangle, mesurés au millimètre près, valent
12{,}4 cm et 7{,}3 cm. Quelle écriture de l'aire est la plus
adaptée à la précision des mesures ?

]]> Un résultat calculé à partir de mesures s'arrondit avec un nombre de
chiffres significatifs comparable à celui des données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 90{,}520 cm²

]]> Erreur : ajouter un zéro final affiche une précision encore plus
grande, que les mesures ne permettent pas.

]]> Environ 90{,}5 cm²

]]> Bonne réponse : les données ont trois chiffres significatifs, on
en garde autant pour le résultat : 12{,}4 \times 7{,}3 = 90{,}52,
arrondi à 90{,}5.

]]> Exactement 90{,}52 cm²

]]> Erreur : les mesures sont approchées, donc l'aire aussi. Écrire
quatre chiffres laisse croire à une précision que l'on n'a pas.

]]> Environ 100 cm²

]]> Erreur : cet arrondi perd une grande partie de l'information
contenue dans les mesures.

]]> Nombres réels et intervalles — Q48 : Encadrer racine de deux par balayage On calcule les carrés de 1{,}40, 1{,}41, 1{,}42, … et l'on
obtient 1{,}41^2 = 1{,}9881 et 1{,}42^2 = 2{,}0164. Quel
encadrement de √2 en déduit-on ?

]]> Algorithme de balayage : on augmente x par pas de 10⁻ⁿ tant
que x² < 2 ; on obtient un encadrement de √2 d'amplitude
10⁻ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42

]]> Bonne réponse : 1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2, et la fonction racine
carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs.

]]> \sqrt{2} = 1{,}41

]]> Erreur : 1{,}41^2 \neq 2. Le nombre √2 est irrationnel,
aucune écriture décimale finie ne lui est égale.

]]> 1{,}40 < \sqrt{2} < 1{,}41

]]> Erreur : 1{,}41^2 est encore inférieur à 2, donc
√2 est supérieur à 1{,}41.

]]> 1{,}9881 < \sqrt{2} < 2{,}0164

]]> Erreur : ces nombres encadrent 2, pas √2.

]]>