$course$/QCM de maths/Seconde/ProbabilitésModèle probabiliste : loi de probabilité, événement contraire,
équiprobabilité et formule P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}
{\text{Card}(\Omega)}, probabilité conditionnelle P_A(B),
arbres de probabilité (pondérations et multiplication le long
d'un chemin), loi des grands nombres en version vulgarisée.]]>Probabilités — Q01 : Qu'est-ce qu'une probabilité ?Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un
événement ?]]>Pour tout événement A : 0 ≤ P(A) ≤ 1. Les valeurs
extrêmes : P = 0 (impossible) et P = 1 (certain).]]>1.00.00truetrueabc7/5]]>Impossible : \dfrac{7}{5} = 1{,}4 > 1. Dans une
fraction de probabilité, le numérateur ne peut pas
dépasser le dénominateur.]]>0{,}3]]>Bonne réponse : une probabilité est toujours un nombre
compris entre 0 (événement impossible) et 1
(événement certain).]]>-0{,}1]]>Impossible : une probabilité n'est jamais négative ; le
minimum est 0, pour un événement impossible.]]>1{,}2]]>Impossible : aucune probabilité ne dépasse 1 (on ne
peut pas être « plus que certain »).]]>Probabilités — Q02 : Probabilité de l'événement contraireSoit A un événement de probabilité P(A) = 0{,}3. Que vaut
la probabilité de son contraire Ā ?]]>P(A) + P(Ā) = 1, donc P(Ā) = 1 - P(A). Réflexe très utile quand le contraire est plus simple
à compter que l'événement lui-même.]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{1}{0{,}3}]]>Erreur : l'inverse n'intervient pas ici (et
1/0{,}3 \approx 3{,}3 > 1). La règle est additive :
P(A) + P(Ā) = 1.]]>0{,}3]]>Erreur : le contraire n'a la même probabilité que si
P(A) = 0{,}5. En général : P(Ā) = 1 - P(A).]]>-0{,}3]]>Impossible : une probabilité n'est jamais négative. On
retranche de 1, pas de 0.]]>0{,}7]]>Bonne réponse : P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3
= 0{,}7 : l'un des deux se réalise forcément.]]>Probabilités — Q03 : Un dé équilibréOn lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la
probabilité d'obtenir un nombre pair ?]]>En situation d'équiprobabilité : P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}
{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} : nombre
de cas favorables sur nombre de cas possibles.]]>1.00.00truetrueabc½]]>Bonne réponse : issues favorables \{2\,;\,4\,;\,6\},
soit 3 sur 6 issues équiprobables : 3/6 = ½.]]>⅓]]>Erreur de compte : les pairs entre 1 et 6 sont 2,
4 et 6 : trois issues sur six, soit ½.]]>2/6]]>Erreur de compte : il y a trois nombres pairs sur le
dé (2, 4, 6), pas deux.]]>⅙]]>Erreur : ⅙ est la probabilité d'une
face précise. « Pair » regroupe trois faces : on
additionne leurs probabilités.]]>Probabilités — Q04 : Tirage dans une urneUne urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues,
indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle
est la probabilité qu'elle soit rouge ?]]>L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les 8
boules). P(rouge) = ⅝. Méfiance envers le
réflexe « deux possibilités donc ½ ».]]>1.00.00truetrueabc⅝]]>Bonne réponse : 5 boules favorables sur 5 + 3 = 8
boules équiprobables.]]>⅜]]>Erreur : ⅜ est la probabilité de tirer une
boule bleue. Pour les rouges : ⅝.]]>5/3]]>Erreur : le dénominateur est le total des boules
(8), pas l'effectif de l'autre couleur.]]>½, car il y a deux couleurs]]>Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les boules qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les
rouges, plus nombreuses, sortent plus souvent.]]>Probabilités — Q05 : L'équiprobabilité est une hypothèseUn jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La
probabilité de gagner est-elle nécessairement ½ ?]]>Point d'insistance du programme : une loi de probabilité est
une hypothèse du modèle choisi (symétrie d'un dé, ou
fréquences observées via la loi des grands nombres) ; elle ne
se déduit pas du simple comptage des issues.]]>1.00.00truetrueabcNon : la probabilité de gagner est toujours inférieure à
½]]>Erreur : rien n'interdit un jeu favorable au joueur. Le
point est qu'on ne peut pas conclure sans information
sur le modèle.]]>Oui, si le jeu est programmé sur un ordinateur]]>Erreur : le support du jeu ne dit rien des probabilités,
qui dépendent de sa conception : un programme peut
très bien favoriser la perte.]]>Non, l'équiprobabilité est une hypothèse à justifier]]>Bonne réponse : l'équiprobabilité est une hypothèse du
modèle, pas une conséquence du nombre d'issues. Gagner
au loto ou perdre au loto sont deux issues, certainement
pas équiprobables. Le choix du modèle se justifie
(symétrie, fréquences observées).]]>Oui : deux issues, donc une chance sur deux]]>Erreur fondamentale : compter les issues ne suffit pas,
il faut justifier leur équiprobabilité. Sinon tout serait
à 50\ %, même gagner au loto.]]>Probabilités — Q06 : Multiplier le long d'un chemin[Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la
branche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à
A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.
Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.]
L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.
Quelle est la probabilité du chemin « A puis B »
(c'est-à-dire de l'événement A ∩ B) ?
]]>Règle de l'arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses branches :
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 =
0{,}18.]]>1.00.00truetrueabc0{,}9]]>Erreur : 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9 additionne, ce qui
conviendrait à des chemins différents (cas
incompatibles). Le long d'un même chemin, les branches
s'enchaînent : on multiplie.]]>0{,}18]]>Bonne réponse : le long d'un chemin, on multiplie
les pondérations des branches : P(A) \times P_A(B) =
0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18.]]>0{,}6]]>Incomplet : 0{,}6 = P_A(B) suppose A déjà réalisé.
Le chemin complet exige aussi de passer la première
branche (0{,}3).]]>0{,}3]]>Incomplet : 0{,}3 = P(A) ne mène qu'au premier étage.
Il faut encore la branche A → B (0{,}6).]]>Probabilités — Q07 : Que signifie $P_A(B)$ ?Que désigne la notation P_A(B) ?]]>P_A(B) : probabilité de B conditionnée par A
(l'indice porte la condition). Sur un arbre, c'est la
pondération de la branche A → B ; dans un tableau
d'effectifs : \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}
{\text{Card}(A)}.]]>1.00.00truetrueabcLa probabilité que B se réalise, sachant que A
est réalisé]]>Bonne réponse : on se place dans le monde où A a eu
lieu, et on y mesure les chances de B.]]>La probabilité que A et B se réalisent tous les deux]]>Erreur : « A et B » se note P(A ∩ B) ; sur
l'arbre, c'est le produit P(A) × P_A(B), pas
la pondération d'une seule branche.]]>Le produit P(A) × P(B)]]>Erreur : ce produit n'a pas de statut général. La
conditionnelle se lit sur la deuxième branche de l'arbre,
ou se calcule dans un tableau croisé.]]>La probabilité que A se réalise sachant B]]>Inversion : l'indice indique la condition. Dans
P_A(B), c'est A qui est supposé réalisé.]]>Probabilités — Q08 : Conditionnelle dans un tableau d'effectifsDans un lycée de 100 élèves, il y a 60 filles, dont 24
demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on
apprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité
qu'elle soit demi-pensionnaire ?]]>Pont entre statistiques et probabilités (au programme) : le
tirage au sort d'un individu fait des fréquences
conditionnelles des probabilités conditionnelles :
P_F(D) = \dfrac{24}{60} = 0{,}4.]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{24}{100} = 0{,}24]]>Erreur : 0{,}24 = P(F \cap D) garde l'univers entier.
L'information « c'est une fille » réduit l'univers
aux 60 filles.]]>\dfrac{60}{100} = 0{,}6]]>Erreur : 0{,}6 = P(F) est la probabilité de la
condition elle-même, pas celle de la demi-pension sachant
la condition.]]>24/44]]>Conditionnement inversé : 24/44 = P_D(F),
probabilité d'être une fille sachant demi-pensionnaire.]]>\dfrac{24}{60} = 0{,}4]]>Bonne réponse : sachant « fille », l'univers se réduit
aux 60 filles : P_F(D) = \dfrac{\text{Card}(F \cap D)}
{\text{Card}(F)} = \dfrac{24}{60}.]]>Probabilités — Q09 : $P_A(B)$ et $P_B(A)$En général, les probabilités conditionnelles P_A(B) et
P_B(A) sont-elles égales ?]]>P_A(B) = Card(A ∩ B)/Card(A) et
P_B(A) = Card(A ∩ B)/Card(B) :
même numérateur, dénominateurs différents. Leur confusion
(« inversion du conditionnement ») est au cœur des erreurs de
type « faux positifs ».]]>1.00.00truetrueabcNon, elles sont toujours complémentaires (P_A(B) + P_B(A) = 1)]]>Erreur : aucune relation systématique de ce type :
0{,}4 + 0{,}545 \neq 1. Elles sont simplement
différentes en général.]]>Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent
en général]]>Bonne réponse : dans le lycée précédent, P_F(D) =
\dfrac{24}{60} = 0{,}4 alors que P_D(F) =
\dfrac{24}{44} \approx 0{,}545. Confondre les deux est
l'erreur d'inversion du conditionnement.]]>Oui, dès que A et B sont compatibles]]>Erreur : la compatibilité (intersection non vide) ne
rétablit pas l'égalité : l'exemple du lycée le montre
(0{,}4 \neq 0{,}545).]]>Oui : c'est la même intersection A ∩ B]]>Erreur : le numérateur est commun, mais les dénominateurs diffèrent (Card(A) contre
Card(B)) : les deux quotients n'ont aucune raison
de coïncider.]]>Probabilités — Q10 : Compléter une loi de probabilitéUne expérience a trois issues a, b, c avec
P(a) = 0{,}2 et P(b) = 0{,}5. Que vaut P(c) ?]]>Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre
positif, la somme faisant 1. Issue manquante :
1 - (0{,}2 + 0{,}5) = 0{,}3.]]>1.00.00truetrueabc0{,}3]]>Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut
1 : P(c) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3.]]>1]]>Erreur : c'est la somme totale qui vaut 1, pas la
dernière probabilité.]]>0{,}7]]>Erreur : 0{,}7 est la somme des deux probabilités
connues ; il faut la retrancher de 1 :
1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3.]]>Impossible à déterminer]]>Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.]]>Probabilités — Q11 : Fréquences et loi des grands nombresOn simule 10 000 lancers d'une pièce équilibrée avec un
programme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de
« pile », d'après la loi des grands nombres (version
vulgarisée du programme) ?]]>Version vulgarisée au programme : « lorsque n est grand,
sauf exception, la fréquence observée est proche de la
probabilité ». Elle justifie l'estimation de probabilités par
simulation, et interdit l'idée de « compensation » du hasard.]]>1.00.00truetrueabcAprès une série de piles, la pièce compense avec plus de
faces]]>Illusion du joueur : la pièce n'a pas de mémoire, chaque
lancer reste à 0{,}5. L'équilibre vient de la dilution des écarts dans le grand nombre, pas d'une
compensation.]]>Elle est, sauf exception, proche de 0{,}5]]>Bonne réponse : « lorsque n est grand, sauf exception,
la fréquence observée est proche de la probabilité ».
C'est ce lien qui permet aussi d'estimer une
probabilité inconnue par simulation.]]>Elle vaut exactement 0{,}5]]>Erreur : le hasard laisse toujours fluctuer la fréquence
autour de 0{,}5 (0{,}4987, 0{,}5031…). La loi parle
de proximité, pas d'égalité.]]>Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où
entre 0 et 1]]>Erreur : sur 10 000 lancers, une fréquence de
0{,}3 serait extraordinairement improbable. La
stabilisation des fréquences est précisément le contenu
de la loi des grands nombres.]]>Probabilités — Q12 : Interpréter une pondération de l'arbre[Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : A
avec 0,3 et A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et
B-barre avec 0,4. Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre
avec 0,8.]
Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre 0{,}2
porté par la branche allant de Ā vers B ?
]]>Grammaire de l'arbre (au programme) : au premier niveau, les probabilités simples ; sur les branches suivantes, les probabilités conditionnelles sachant le nœud de départ ; le produit le long d'un chemin donne la probabilité de l'intersection.]]>1.00.00truetrueabcLa probabilité P(B) de l'événement B]]>Erreur : P(B) n'apparaît sur aucune branche unique :
B peut arriver par deux chemins (A puis B, ou
Ā puis B).]]>La probabilité P(Ā)]]>Erreur : P(\overline{A}) = 0{,}7 est portée par la
branche du premier niveau. Le 0{,}2 vit au second
niveau, donc conditionné.]]>La probabilité P_{\overline{A}}(B)]]>Bonne réponse : c'est une probabilité conditionnelle.
Toute branche de deuxième niveau porte une probabilité conditionnée par son point de départ : ici, B
sachant Ā.]]>La probabilité P(Ā ∩ B)]]>Erreur : l'intersection est la probabilité du chemin
complet : 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14, pas la
pondération d'une seule branche.]]>Probabilités — Q13 : Événement certain, événement impossibleOn lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de
l'événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » ?]]>Échelle des probabilités : de 0 (impossible) à 1
(certain), jamais au-delà. Tout résultat hors de
[0\ ;\ 1] signale une erreur de calcul.]]>1.00.00truetrueabc⅙]]>Erreur : ⅙ vaut pour UNE face précise :
l'événement proposé les accepte toutes les six.]]>0]]>Inverse : 0 est la probabilité d'un événement impossible (« obtenir 7 ») : ici tout tirage
convient.]]>1]]>Bonne réponse : l'événement est certain : toutes les
issues conviennent, probabilité 6/6 = 1, le
maximum possible.]]>6]]>Impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1 :
6 est le nombre d'issues, pas une probabilité.]]>Probabilités — Q14 : Événements incompatiblesA et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se
produire en même temps), avec P(A) = 0{,}3 et P(B) =
0{,}4. Que vaut P(A ∪ B) ?]]>Incompatibles (A ∩ B = ∅) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) : le cas particulier confortable. Avec
recouvrement, la formule générale retranche l'intersection.]]>1.00.00truetrueabc0{,}12]]>Produit : 0{,}3 \times 0{,}4 concernerait des
événements indépendants ET simultanés (A ∩ B) :
la réunion d'incompatibles s'additionne.]]>0{,}1]]>Soustraction : rien à retrancher ici : l'intersection
est vide (P(A ∩ B) = 0).]]>Impossible à savoir]]>Erreur : l'incompatibilité est exactement l'information
qui permet de conclure : addition directe.]]>0{,}7]]>Bonne réponse : incompatibles, sans aucun recouvrement : les
probabilités s'additionnent simplement : 0{,}3 +
0{,}4.]]>Probabilités — Q15 : Deux pièces équilibréesOn lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux « pile » ?]]>Expérience à deux épreuves : l'univers est le produit
(ici 2 × 2 = 4 issues équiprobables). Le piège
historique (compter « un de chaque » comme UNE issue) date
de d'Alembert : l'arbre le dissout.]]>1.00.00truetrueabc⅓]]>Univers mal compté : « deux piles, deux faces, un de
chaque » ne sont PAS équiprobables : « un de chaque »
recouvre deux issues (PF et FP) : l'univers correct a
quatre issues.]]>¼]]>Bonne réponse : quatre issues équiprobables (PP, PF, FP,
FF), une seule favorable : ¼ (ou ½ × ½ le long de l'arbre).]]>½]]>Erreur : ½ vaut pour UNE pièce : la deuxième
doit aussi tomber sur pile : on multiplie les deux
½.]]>1]]>Erreur : trois autres issues existent (PF, FP, FF) :
l'événement n'a rien de certain.]]>Probabilités — Q16 : La formule de la réunionOn donne P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}4 et P(A \cap B) =
0{,}2. Que vaut P(A ∪ B) ?]]>P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : le diagramme
« patate » le montre : additionner les deux zones compte
deux fois le recouvrement. Garde-fou : le résultat doit
rester dans [0\ ;\ 1].]]>1.00.00truetrueabc1{,}1]]>Alerte : une probabilité au-dessus de 1 est
impossible : signe certain qu'une soustraction manque.]]>0{,}2]]>Confusion : 0{,}2 est l'intersection (A et B
ensemble) : la réunion (A ou B) est bien plus
large.]]>0{,}7]]>Bonne réponse : P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 +
0{,}4 - 0{,}2 : l'intersection, comptée deux fois dans
la somme, se retranche une fois.]]>0{,}9]]>Double comptage : 0{,}5 + 0{,}4 compte deux fois la
zone commune : la formule la retire : -0{,}2.]]>Probabilités — Q17 : Somme de deux désOn lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la
probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?]]>Deux dés : univers de 36 couples ordonnés équiprobables :
compter les couples favorables. Les sommes, elles, ne sont
PAS équiprobables : leur histogramme en pyramide culmine à
7.]]>1.00.00truetrueabc1/11]]>Sommes équiprobables imaginées : les valeurs 2 à 12
existent, mais avec des poids différents (7 se
fabrique de six façons, 2 d'une seule).]]>3/36]]>Ordre oublié : (3\ ;4) et (4\ ;3) sont deux issues
distinctes (premier dé, second dé) : six couples, pas
trois.]]>⅙]]>Bonne réponse : 36 couples équiprobables ; six donnent
7 : (1\ ;6), (2\ ;5), (3\ ;4), (4\ ;3), (5\ ;2), (6\ ;1), soit 6/36 = ⅙ : la somme la
plus probable.]]>7/36]]>Erreur : la valeur 7 de la somme n'est pas son nombre
de décompositions : on compte les couples (6).]]>Probabilités — Q18 : Contraire dans un monde conditionnéOn sait que P_A(B) = 0{,}7. Que vaut P_A(\bar{B}) ?]]>Les probabilités conditionnelles obéissent à toutes les
règles des probabilités : P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B). Sur
l'arbre : les branches issues d'un même nœud somment à 1.]]>1.00.00truetrueabc0{,}7]]>Erreur : B et son contraire ne peuvent pas peser
pareil sauf à 0{,}5 : ils somment à 1 : 1 - 0{,}7
= 0{,}3.]]>-0{,}7]]>Impossible : une probabilité n'est jamais négative : le
contraire se calcule par 1 - 0{,}7.]]>Impossible sans connaître P(A)]]>Erreur : la règle du contraire fonctionne À L'INTÉRIEUR
du monde conditionné : P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1,
quel que soit P(A).]]>0{,}3]]>Bonne réponse : dans le monde restreint à A, B et
\bar{B} se partagent tout : P_A(\bar{B}) = 1 -
P_A(B).]]>Probabilités — Q19 : Intersection dans un tableauSur 200 élèves, le tableau croisé indique 30 élèves à la
fois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.
Que vaut P(interne ∩ sportif) ?]]>Dans un tableau croisé : une case divisée par le total donne la probabilité de l'intersection ; une case divisée par une marge donne une probabilité conditionnelle.
Le choix du dénominateur fait toute la différence : total
pour « et », marge pour « sachant ».]]>1.00.00truetrueabc0{,}15]]>Bonne réponse : l'intersection se lit dans la case
croisée, rapportée à l'effectif total :
\frac{30}{200} = 0{,}15.]]>30/100]]>Mauvais total : l'univers compte 200 élèves : la case
se divise par 200 (diviser par un sous-total donnerait
une conditionnelle).]]>30]]>Effectif brut : une probabilité est une proportion :
diviser par le total 200.]]>0{,}85]]>Erreur : 0{,}85 = 1 - 0{,}15 est la probabilité du contraire de l'intersection.]]>Probabilités — Q20 : Branche manquante d'un arbreSur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les
probabilités 0{,}25, 0{,}45 et p. Que vaut p ?]]>Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la
somme des branches sortantes vaut 1. C'est le premier
contrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit.]]>1.00.00truetrueabcp = 0{,}7]]>Soustraction incomplète : 0{,}7 est la somme des deux
branches connues ; 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3.]]>p = 0{,}3]]>Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud
somment à 1 : p = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}3.]]>p = 0{,}25]]>Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la
somme à 1 qui contraint : 0{,}3.]]>Impossible à déterminer]]>Erreur : la loi du nœud (somme = 1) détermine toujours
la branche manquante.]]>Probabilités — Q21 : Deux tirages sans remiseUne urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire
deux boules sans remise. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux rouges ?]]>Sans remise : chaque tirage modifie l'urne : les
probabilités de la deuxième branche se recalculent avec une
boule de moins. C'est la différence structurelle avec le
tirage avec remise (branches identiques).]]>1.00.00truetrueabc9/25]]>Remise fantôme : ⅗ × ⅗ = 9/25 suppose l'urne inchangée. Après un premier
tirage rouge, il reste 2 rouges sur 4 : sans remise,
la deuxième branche s'actualise.]]>6/10]]>Erreur : ⅗ + 2/4 - … : aucune
addition ici : le chemin « rouge puis rouge » se calcule
en produit : 6/20 = 3/10.]]>⅖]]>Erreur : ⅖ est la proportion de bleues :
l'événement demande DEUX tirages : produit de deux
fractions.]]>3/10]]>Bonne réponse : première rouge : ⅗ ; il
reste alors 2 rouges sur 4 boules : 2/4.
L'arbre multiplie le long du chemin, avec des
probabilités mises à jour : ⅗ × 2/4 = 3/10.]]>Probabilités — Q22 : « Au moins un » par le contraireOn lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la
probabilité d'obtenir au moins un six ?]]>« Au moins un » : passer systématiquement par le
contraire « aucun » : P = 1 - P(aucun). Un seul
produit au lieu d'un inventaire de cas : le réflexe le plus
rentable du chapitre.]]>1.00.00truetrueabc⅙ + ⅙ = 2/6]]>Addition abusive : elle compte deux fois le double six
(1/36) : le calcul exact passe par le
contraire (ou retranche l'intersection :
12 - 1/36).]]>1/36]]>Confusion : 1/36 est la probabilité de DEUX
six : « au moins un » est beaucoup plus fréquent
(11/36).]]>⅙]]>Erreur : ⅙ est la probabilité d'obtenir six
en un seul lancer ; avec deux lancers, les chances
d'obtenir au moins un six augmentent.]]>1 - 25/36 = 11/36]]>Bonne réponse : le contraire de « au moins un six » est
« aucun six » : ⅚ × ⅚ = 25/36 : le complément fait le reste.]]>Probabilités — Q23 : « Et » ou « sachant » ?Dans un lycée, P(\text{interne} \cap \text{sportif}) =
0{,}15 et P_{\text{interne}}(\text{sportif}) = 0{,}6.
Que signifie la différence entre ces deux nombres ?]]>« Et » = intersection (dénominateur : tout l'univers) ;
« sachant » ou « parmi » = conditionnelle (dénominateur : la
condition). Lien : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (ici
0{,}15 = 0{,}25 \times 0{,}6 : un quart d'internes).]]>1.00.00truetrueabc0{,}15 compte dans tout le lycée, 0{,}6 seulement
parmi les internes]]>Bonne réponse : 0{,}15 est la proportion des élèves à
la fois internes et sportifs dans TOUT le lycée ;
0{,}6 est la proportion de sportifs PARMI les
internes. Même case du tableau, deux dénominateurs (le
total, puis l'effectif des internes), d'où des valeurs
très différentes.]]>0{,}6 est faux : une conditionnelle est toujours plus
petite que l'intersection]]>Inverse : la conditionnelle divise l'intersection par un
nombre ≤ 1 : elle est toujours plus grande (ou
égale).]]>0{,}15 concerne les internes, 0{,}6 les sportifs]]>Erreur : les deux concernent les élèves internes ET
sportifs : c'est l'univers de référence (total ou
internes) qui distingue les deux mesures.]]>Les deux nombres devraient être égaux : il y a une
erreur d'énoncé]]>Erreur : ils coïncideraient seulement si tous les élèves
étaient internes : en général, conditionner change le
dénominateur, donc la valeur.]]>Probabilités — Q24 : Le faux « une chance sur deux »« Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une
chance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?]]>L'équiprobabilité se justifie (symétrie, « au hasard »),
elle ne se décrète pas en comptant les issues. Le
raisonnement « soit ça marche, soit ça rate : 50/50 » est le
sophisme probabiliste le plus répandu : savoir le démonter.]]>1.00.00truetrueabcIl est correct si on joue une seule fois]]>Erreur : le nombre de tentatives ne change pas la
probabilité d'un tirage : elle reste minuscule à chaque
grille.]]>Il est correct : deux issues, donc ½
chacune]]>Le sophisme visé : compter les issues ne suffit jamais :
il faut leur POIDS : au loto, les combinaisons perdantes
écrasent l'unique gagnante.]]>Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être
équiprobables]]>Bonne réponse : l'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE à
justifier (symétrie du dé, tirage au hasard…), pas une
conséquence du nombre d'issues : ici gagner est
infiniment plus rare que perdre.]]>Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,
match nul]]>Hors sujet : ajouter des issues ne répare rien :
l'erreur est de postuler l'équiprobabilité sans
justification.]]>Probabilités — Q25 : Une loi de probabilité impossiblePourquoi le tableau donnant 0{,}3, 0{,}25, 0{,}2 et 0{,}3 ne
définit-il pas une loi de probabilité ?]]>Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre compris entre
0 et 1, et la somme de ces nombres vaut 1. Les deux conditions se
vérifient avant tout autre calcul.]]>1.00.00truetrueabcDeux issues ont la même probabilité]]>Rien ne l'interdit : dans une situation d'équiprobabilité, toutes les
issues ont même probabilité.]]>La somme des probabilités vaut 1{,}05]]>Bonne réponse : la somme des probabilités de toutes les issues doit
valoir exactement 1.]]>Il y a quatre issues et non deux]]>Le nombre d'issues est libre : un dé en présente six sans que cela
pose problème.]]>Les valeurs ne sont pas des fractions]]>Une probabilité peut s'écrire sous forme décimale : 0{,}25 et
¼ désignent le même nombre.]]>Probabilités — Q26 : Additionner deux cheminsDans un arbre, deux chemins distincts mènent à l'événement B, de
probabilités 0{,}12 et 0{,}3. Que vaut P(B) ?]]>Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin
et on additionne les résultats des chemins qui aboutissent au même
événement.]]>1.00.00truetrueabc0{,}18]]>Soustraction injustifiée : les deux chemins s'excluent mutuellement,
leurs probabilités s'ajoutent.]]>0{,}42]]>Bonne réponse : les probabilités des chemins menant à un même
événement s'additionnent.]]>0{,}036]]>Multiplication au lieu d'une addition : on multiplie le long d'un
chemin, on additionne entre chemins.]]>0{,}3]]>Un seul chemin retenu : le second contribue aussi à la réalisation de
B.]]>Probabilités — Q27 : Compter les cas favorablesOn tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ?]]>En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le
quotient du nombre de cas favorables par le nombre total de cas.]]>1.00.00truetrueabc4/8]]>Dénominateur faux : il vaut 32, le nombre total de cartes du jeu.]]>⅛]]>Bonne réponse : le jeu compte quatre rois, donc
4/32 = ⅛.]]>¼]]>Quotient inversé : 4/32 se simplifie en ⅛, pas
en ¼.]]>1/32]]>Un seul cas favorable compté : il y a un roi par couleur, donc quatre
en tout.]]>Probabilités — Q28 : Deux tirages avec remiseUne urne contient 3 boules rouges et 5 bleues. On tire une boule,
on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux rouges ?]]>Avec remise, les deux tirages se font dans la même urne, donc les
probabilités portées par les branches d'un même niveau sont identiques.
Sans remise, elles changent d'un niveau à l'autre.]]>1.00.00truetrueabc6/56]]>Tirage sans remise : ⅜ × 2/7 suppose que
la première boule n'est pas remise dans l'urne.]]>6/8]]>Addition au lieu d'une multiplication : on multiplie les probabilités
le long d'un chemin de l'arbre.]]>9/64]]>Bonne réponse : la remise laisse la composition inchangée, donc
⅜ × ⅜.]]>⅜]]>Un seul tirage pris en compte : le second réduit encore la
probabilité, qui passe sous ⅕.]]>Probabilités — Q29 : De l'intersection à la conditionnelleOn donne P(A) = 0{,}4 et P(A \cap B) = 0{,}1.
Que vaut P_A(B) ?]]>La probabilité conditionnelle P_A(B) se calcule en divisant la
probabilité de l'intersection par celle de la condition, qui doit être non
nulle.]]>1.00.00truetrueabc4]]>Quotient inversé : une probabilité ne dépasse jamais 1, ce qui
suffit à écarter ce résultat.]]>0{,}25]]>Bonne réponse : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =
\dfrac{0{,}1}{0{,}4}.]]>0{,}3]]>Soustraction injustifiée : 0{,}4 - 0{,}1 correspond à la
probabilité de A sans B, pas à une conditionnelle.]]>0{,}04]]>Multiplication au lieu d'une division : 0{,}4 \times 0{,}1 donnerait
l'intersection si les événements étaient indépendants.]]>Probabilités — Q30 : Ce qu'une simulation peut montrerUne simulation de 10 000 lancers d'un dé donne une fréquence de
0{,}168 pour la face 6. Que peut-on en conclure ?]]>La loi des grands nombres affirme que la fréquence observée se rapproche
de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente. Elle ne rend
jamais les deux nombres exactement égaux.]]>1.00.00truetrueabcLe nombre de lancers est trop faible pour conclure]]>Dix mille lancers suffisent largement à stabiliser une fréquence
autour de sa probabilité.]]>La probabilité du 6 vaut exactement 0{,}168]]>Une fréquence observée n'est pas une probabilité : une autre
simulation donnerait un résultat légèrement différent.]]>Le dé semble équilibré]]>Bonne réponse : \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167, la fréquence observée
en est très proche.]]>Le dé est truqué en faveur du 6]]>L'écart avec ⅙ vaut environ 0{,}001, bien trop petit
pour signaler un truquage.]]>Probabilités — Q31 : Gagner ou perdreDans un jeu en ligne, une partie se termine toujours par une victoire ou
par une défaite. La probabilité de perdre une partie vaut ⅜.
Quelle est la probabilité de gagner cette partie ?]]>Deux événements contraires se partagent la totalité :
P(A) + P(Ā) = 1. Quand l'énoncé donne la probabilité du
contraire, il suffit de la retrancher de 1.]]>1.00.00truetrueabc⅜]]>Probabilité recopiée : deux événements contraires n'ont la même
probabilité que si elles valent toutes deux ½.]]>8/3]]>Quotient inversé : ce nombre dépasse 1, ce qui est impossible pour
une probabilité. La règle est additive, pas multiplicative.]]>⅝]]>Bonne réponse : gagner est l'événement contraire de perdre, donc
1 - ⅜ = ⅝.]]>5/3]]>Dénominateur changé en route : il reste 8, seul le numérateur
devient 8 - 3 = 5.]]>Probabilités — Q32 : Une couleur absente de l'urneUne urne ne contient que des boules rouges et des boules vertes. On en
tire une au hasard. Que vaut la probabilité de l'événement « la boule
tirée est bleue » ?]]>L'échelle des probabilités va de 0 à 1 : 0 pour un événement
qu'aucune issue ne réalise, 1 pour un événement que toutes réalisent.
Avant tout calcul, on vérifie que l'événement figure dans l'univers.]]>1.00.00truetrueabc1 : tout tirage le réalise]]>Extrêmes confondus : 1 est la probabilité d'un événement certain.
Ici, c'est l'inverse, aucun tirage ne convient.]]>½ : bleue ou non bleue]]>Piège du « soit oui, soit non » : deux réponses envisageables ne font
pas deux issues équiprobables, surtout si l'une ne survient jamais.]]>⅓ : il y a trois couleurs]]>Couleur inventée : le bleu n'appartient pas à l'univers, qui ne
compte que des boules rouges et des boules vertes.]]>0 : aucune issue ne le réalise]]>Bonne réponse : l'urne ne contient aucune boule bleue, donc aucun cas
favorable. La probabilité vaut 0, le bas de l'échelle.]]>Probabilités — Q33 : Jetons numérotésUne urne contient 20 jetons numérotés de 1 à 20, indiscernables
au toucher. On en tire un au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir
un multiple de 3 ?]]>En situation d'équiprobabilité, P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}
{\text{Card}(\Omega)}. Tout le travail consiste à dénombrer les cas
favorables, ici les multiples de 3 jusqu'à 20.]]>1.00.00truetrueabc⅓]]>Raccourci trompeur : « un jeton sur 3 » ne vaudrait que si 3
divisait 20. On dénombre ici 6 multiples sur 20 jetons.]]>1/20]]>Un seul cas favorable compté : 6 jetons portent un multiple de
3, et non un seul.]]>3/10]]>Bonne réponse : les multiples de 3 ne dépassant pas 20 sont au
nombre de 6, donc 6/20 = 3/10.]]>7/20]]>Un multiple de trop : 3 × 7 = 21 dépasse
20 et ne figure donc sur aucun jeton.]]>Probabilités — Q34 : Exactement un « pile »On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir
exactement un « pile » ?]]>L'univers d'un lancer de deux pièces compte quatre issues équiprobables,
obtenues en distinguant l'ordre des pièces. On dénombre ensuite celles
qui réalisent l'événement, deux ici.]]>1.00.00truetrueabc¾]]>Événement confondu avec « au moins un pile », qui réunit PP, PF et
FP. « Exactement un » exclut le double pile.]]>⅓]]>Piège de d'Alembert : « deux piles », « deux faces » et « un de
chaque » ne pèsent pas pareil, le dernier regroupant deux issues.]]>¼]]>Une seule issue comptée : l'ordre des pièces distingue PF de FP, ce
qui donne deux cas favorables sur quatre.]]>½]]>Bonne réponse : sur les quatre issues PP, PF, FP et FF, deux
conviennent, PF et FP, soit 2/4 = ½.]]>Probabilités — Q35 : D'une probabilité à un effectifUn collège compte 400 élèves. On en choisit un au hasard : la
probabilité qu'il soit à la fois externe et musicien vaut 0{,}15.
Combien d'élèves sont à la fois externes et musiciens ?]]>La case d'intersection d'un tableau croisé et la probabilité
P(A ∩ B) se déduisent l'une de l'autre : l'effectif s'obtient en
multipliant la probabilité par l'effectif total. On repasse ainsi des
probabilités aux nombres d'individus.]]>1.00.00truetrueabc600 élèves]]>Virgule déplacée d'un rang : le produit 0{,}15 \times 400 vaut
60, et non dix fois plus.]]>15 élèves]]>Pourcentage pris pour un effectif : 0{,}15 correspond à
15\ %, qu'il reste à appliquer aux 400 élèves.]]>340 élèves]]>Effectif du contraire : 400 - 60 = 340 compte les
élèves qui ne relèvent pas des deux catégories à la fois.]]>60 élèves]]>Bonne réponse : une probabilité est une proportion de l'effectif
total, donc 0{,}15 \times 400 = 60.]]>Probabilités — Q36 : Retrouver l'intersectionOn donne P(A) = ½, P(B) = ⅖ et P(A ∪ B) = ⅘. Que vaut
P(A ∩ B) ?]]>L'égalité P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) se lit dans les deux
sens. Comparer P(A) + P(B) à P(A ∪ B) renseigne aussitôt :
l'écart entre les deux est exactement P(A ∩ B).]]>1.00.00truetrueabc⅒]]>Bonne réponse : la formule de la réunion se réarrange en
P(A ∩ B) = ½ + ⅖ - ⅘ = ⅒.]]>3/10]]>Soustraction mal placée : ⅘ - ½ = 3/10 mesure la
partie de B située hors de A, pas la zone commune.]]>0]]>Incompatibilité supposée à tort : si l'intersection était vide, on
lirait ½ + ⅖ = ⅘, ce qui n'est pas le cas ici.]]>9/10]]>Somme brute : ½ + ⅖ = 9/10 additionne les deux zones
sans rien retrancher, alors que la réunion est connue.]]>Probabilités — Q37 : Remonter un cheminSur un arbre à deux niveaux, la branche allant de A vers B porte la
pondération ½, et le chemin « A puis B » a pour probabilité
3/10. Quelle pondération porte la branche menant à A ?]]>La probabilité d'un chemin est le produit des pondérations de ses
branches. Connaissant ce produit et l'une des branches, on retrouve
l'autre par une division. Le contrôle est immédiat : le produit retrouvé
doit redonner la probabilité du chemin.]]>1.00.00truetrueabc⅗]]>Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se
multiplient, donc P(A) = 3/10 ÷ ½ = ⅗.]]>⅘]]>Addition injustifiée : on additionne les probabilités de chemins
différents, jamais les pondérations d'un même chemin.]]>⅕]]>Soustraction injustifiée : les branches d'un même chemin ne
s'ajoutent ni ne se retranchent, elles se multiplient.]]>3/20]]>Multiplication au lieu d'une division : 3/10 est déjà le
produit des deux branches, il reste à le partager par ½.]]>Probabilités — Q38 : Un chemin vers le contraireOn donne P(A) = ⅖ et P_A(B) = ¼. Que vaut
P(A ∩ B̄) ?]]>Dans le monde restreint à A, les règles ordinaires s'appliquent :
P_A(B̄) = 1 - P_A(B). On redescend ensuite au chemin complet
par P(A ∩ B̄) = P(A) × P_A(B̄). Contrôle
indispensable : le résultat ne peut pas dépasser P(A).]]>1.00.00truetrueabc¾]]>Chemin laissé inachevé : ¾ est P_A(B̄), mesuré à
l'intérieur de A seulement, et dépasse d'ailleurs P(A).]]>3/10]]>Bonne réponse : dans le monde de A, B̄ pèse
1 - ¼ = ¾, et le chemin complet donne
⅖ × ¾ = 3/10.]]>9/10]]>Contraire pris sur le mauvais événement : 1 - ⅒ mesure « ne
pas avoir A et B », un événement bien plus large.]]>⅒]]>Contraire oublié : ⅖ × ¼ = ⅒ est la probabilité de
A ∩ B, avec B et non son contraire.]]>Probabilités — Q39 : Compléter avant de conditionnerUn club compte 200 adhérents, dont 80 femmes. La natation est
pratiquée par 50 adhérents, dont 30 hommes. On choisit un adhérent
au hasard et on apprend que c'est une femme. Quelle est la probabilité
qu'elle pratique la natation ?]]>Un tableau croisé se complète avant tout calcul : chaque marge est la
somme de sa ligne ou de sa colonne. La condition fixe ensuite le
dénominateur, ici l'effectif des femmes et non l'effectif total.]]>1.00.00truetrueabc⅖]]>Conditionnement inversé : 20/50 répond à « femme
sachant nageur », alors que la condition donnée est « femme ».]]>⅒]]>Univers non réduit : 20/200 est la probabilité d'être à
la fois femme et nageuse, rapportée à tout le club.]]>⅝]]>Case non complétée : 50 compte tous les nageurs. En retirant les
30 hommes, il reste 20 nageuses.]]>¼]]>Bonne réponse : les nageuses sont 50 - 30 = 20, et la
condition réduit l'univers aux 80 femmes :
20/80 = ¼.]]>Probabilités — Q40 : Au moins une rouge, avec remiseUne urne contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. On tire une
boule, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde. Quelle est
la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?]]>Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages, donc les deux
branches portent les mêmes pondérations. Pour « au moins un », on passe
par le contraire « aucun » : un seul produit, puis
P = 1 - P(aucune rouge).]]>1.00.00truetrueabc4/25]]>Événement confondu : ce produit donne « deux rouges », qui n'est
qu'un cas particulier de « au moins une rouge ».]]>⅘]]>Addition abusive : ajouter deux fois ⅖ compte deux
fois le tirage doublement rouge. Le contraire évite ce piège.]]>9/25]]>Contraire non retourné : 9/25 est la probabilité de n'obtenir
aucune rouge. L'événement demandé en est le complément.]]>16/25]]>Bonne réponse : le contraire est « aucune rouge », de probabilité
⅗ × ⅗ = 9/25, d'où
1 - 9/25 = 16/25.]]>Probabilités — Q41 : Combien de fois cette somme ?On lance deux dés équilibrés et on note la somme des deux faces. Un
programme simule 3 960 lancers. Environ combien de fois la somme
5 devrait-elle apparaître ?]]>Deux dés forment un univers de 36 couples équiprobables. La loi des
grands nombres relie cette probabilité au nombre d'apparitions
observées : sur 3 960 lancers, on en attend environ 440, à des
fluctuations près.]]>1.00.00truetrueabcenviron 110 fois]]>Un seul couple compté : 4 couples différents donnent la somme
5, ce qui multiplie d'autant le résultat.]]>environ 440 fois]]>Bonne réponse : 4 couples donnent la somme 5, soit une
probabilité 4/36, et
3 960 × 4/36 = 440.]]>environ 660 fois]]>Probabilité d'un dé unique : ⅙ vaut pour une face, pas
pour une somme obtenue avec deux dés.]]>environ 360 fois]]>Sommes supposées équiprobables : les onze sommes de 2 à 12 n'ont
pas le même poids, celle-ci s'obtient de 4 façons sur 36.]]>Probabilités — Q42 : Estimer une probabilité inconnueOn cherche à connaître la probabilité de gagner à un jeu dont le
mécanisme n'est pas public. Un programme simule 40 parties, dont 26
sont gagnées. Que peut-on en conclure ?]]>Quand le modèle n'est pas connu, on l'estime : la fréquence observée sur
un grand nombre de répétitions approche la probabilité. Le nombre de
répétitions décide de la confiance accordée à l'estimation, et quelques
dizaines de parties ne suffisent pas à trancher finement.]]>1.00.00truetrueabcLa fréquence 0{,}65 en donne une estimation grossière]]>Bonne réponse : la fréquence observée estime la probabilité, mais
40 parties restent peu nombreuses. En simuler davantage
resserrerait l'estimation.]]>La probabilité vaut 0{,}5, puisqu'on gagne ou on perd]]>Équiprobabilité décrétée : deux issues ne font pas deux chances
égales, et l'observation suggère ici le contraire.]]>Rien : une simulation ne renseigne jamais sur une probabilité]]>Prudence excessive : estimer une probabilité inconnue par la
fréquence observée est précisément l'usage de la loi des grands
nombres.]]>La probabilité de gagner vaut exactement 0{,}65]]>Fréquence prise pour une probabilité : une autre série de 40
parties donnerait un autre résultat. L'observation estime, elle ne
détermine pas.]]>Probabilités — Q43 : Une de chaque couleurUne urne contient 4 boules rouges et 2 boules bleues. On tire
successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité
d'obtenir une boule de chaque couleur ?]]>Sans remise, la deuxième branche se recalcule sur 5 boules.
« Une de chaque couleur » réunit deux chemins de l'arbre : on multiplie
le long de chacun, puis on additionne les deux résultats.]]>1.00.00truetrueabc4/9]]>Remise supposée : sans remise, le second tirage se fait parmi 5
boules seulement, et non 6.]]>16/15]]>Branches additionnées : le résultat dépasse 1, ce qui est
impossible. Le long d'un chemin, on multiplie.]]>8/15]]>Bonne réponse : deux chemins conviennent, « rouge puis bleue » et
« bleue puis rouge », chacun de probabilité
4/6 × ⅖. Leur somme vaut 8/15.]]>4/15]]>Un seul chemin compté : « bleue puis rouge » convient aussi et
double le résultat, qui vaut 8/15.]]>Probabilités — Q44 : Deux fournisseurs, une pièce de B défectueuseUn atelier reçoit ses pièces de deux fournisseurs. La probabilité qu'une
pièce vienne du fournisseur A vaut ⅗, sinon elle vient de B. Une
pièce de A est défectueuse avec une probabilité 1/20, une pièce de
B avec une probabilité ⅒. Quelle est la probabilité qu'une pièce
prise au hasard vienne de B et soit défectueuse ?]]>Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit
des pondérations de ses branches :
P(B ∩ D) = P(B) × P_B(D).]]>1.00.00truetrueabc3/100]]>Mauvais chemin : ⅗ × 1/20 = 3/100 est la
probabilité qu'une pièce vienne de A et soit défectueuse.]]>1/25]]>Bonne réponse : on suit le seul chemin « B puis défaut » et
on multiplie ses pondérations :
⅖ × ⅒ = 1/25.]]>⅒]]>Conditionnement confondu : ⅒ est la probabilité qu'une
pièce soit défectueuse sachant qu'elle vient de B. Il
reste à la multiplier par P(B) = ⅖.]]>⅖]]>Chemin incomplet : ⅖ est seulement la probabilité que la
pièce vienne de B, défectueuse ou non.]]>Probabilités — Q45 : Ce qu'une conditionnelle ne dit pasDans un lycée, on sait seulement que
P_{\text{interne}}(\text{sportif}) = 0{,}6. Que peut-on en déduire ?]]>Une probabilité conditionnelle mesure une proportion à l'intérieur de la
condition. Pour en tirer l'intersection, on multiplie par la probabilité
de la condition : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Échanger les rôles
de A et de B change le dénominateur, donc le résultat.]]>1.00.00truetrueabcRien : P(interne ∩ sportif) reste inconnue]]>Bonne réponse : P(\text{interne} \cap \text{sportif}) =
P(\text{interne}) \times 0{,}6, et la part des internes dans le
lycée n'est pas donnée.]]>Que les internes sont plus sportifs que les élèves externes]]>Comparaison non fondée : aucune information n'est donnée sur les
élèves externes, avec lesquels il faudrait comparer.]]>Que P_{\text{sportif}}(\text{interne}) vaut 0{,}6 par symétrie]]>Inversion du conditionnement : cette seconde probabilité a pour
dénominateur l'effectif des sportifs, et non celui des internes.]]>Que P(interne ∩ sportif) vaut aussi 0{,}6]]>Confusion entre « et » et « sachant » : 0{,}6 se rapporte aux seuls
internes. Rapportée à tout le lycée, l'intersection est plus petite.]]>Probabilités — Q46 : Fréquence observéeOn lance 100 fois une pièce équilibrée et on obtient 56 fois « pile
». Quelle est la fréquence observée de « pile » ?]]>La fréquence observée d'un résultat est le quotient de son effectif par
la taille de l'échantillon. Elle varie d'un échantillon à l'autre,
autour de la probabilité.]]>1.00.00truetrueabc0{,}56]]>Bonne réponse : \dfrac{56}{100} = 0{,}56.]]>56]]>56 est l'effectif de « pile ». La fréquence est cet effectif divisé
par le nombre de lancers.]]>0{,}5]]>0{,}5 est la probabilité de « pile » pour une pièce équilibrée. La
fréquence observée se calcule sur les lancers réalisés :
56/100.]]>0{,}44]]>C'est la fréquence de « face » : 44/100.]]>Probabilités — Q47 : La sensibilité d'un testOn applique un test de dépistage à 1000 personnes. Parmi les
100 personnes malades, 90 ont un test positif ; parmi les
900 personnes saines, 45 ont aussi un test positif. La sensibilité du test est la probabilité qu'il soit positif
sachant que la personne est malade. Que vaut-elle ici ?]]>Sensibilité : P_M(T), la capacité du test à repérer les
malades. Spécificité : P_{\overline{M}}(\overline{T}), sa
capacité à rassurer les personnes saines. Les faux positifs sont
les personnes saines au test positif.]]>1.00.00truetrueabc90/135]]>Conditionnement inversé : 90/135 est la part de
malades parmi les 135 tests positifs, soit P_T(M), et non
P_M(T).]]>90/1000]]>Mauvais dénominateur : 90/1000 est la probabilité
d'être malade et positif, P(M ∩ T), rapportée à toute
la population.]]>90/100]]>Bonne réponse : on se place parmi les 100 malades et on
compte les tests positifs : P_M(T) = 90/100.]]>855/900]]>Erreur : 855/900 est la part de tests négatifs
parmi les personnes saines, c'est-à-dire la spécificité
du test.]]>Probabilités — Q48 : Taille de l'échantillonQue se passe-t-il pour les fréquences observées quand on augmente la
taille des échantillons ?]]>Plus les échantillons sont grands, plus les fréquences observées se
resserrent autour de la proportion p : c'est ce qui permet d'estimer
une proportion à partir d'un échantillon.]]>1.00.00truetrueabcElles fluctuent moins autour de la proportion.]]>Bonne réponse : c'est la loi des grands nombres ; plus n
est grand, plus la fréquence observée est proche de p, sauf
exception.]]>La proportion dans la population change.]]>La proportion p est une donnée de la population : la taille des
échantillons ne la modifie pas.]]>Elles fluctuent davantage autour de la proportion.]]>C'est l'inverse : plus l'échantillon est grand, plus les
fréquences observées se resserrent autour de la proportion.]]>Elles deviennent toutes égales à la proportion.]]>La fluctuation diminue mais ne disparaît pas : deux échantillons, même
grands, donnent en général des fréquences différentes.]]>