$course$/QCM de maths/Seconde/Vecteurs du plan Égalité de deux vecteurs, coordonnées d'un vecteur et de
AB⃗, somme et produit par un réel, relation de
Chasles, colinéarité et déterminant, norme, milieu d'un segment,
alignement et parallélisme.

]]> Vecteurs du plan — Q01 : Égalité de vecteurs et parallélogramme Soient A, B, C, D quatre points du plan (non alignés).
Que signifie l'égalité AB⃗ = DC⃗ ?

]]> AB⃗ = DC⃗ ⇔
ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). La
translation qui envoie A sur B envoie alors D sur C.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A = D et B = C

]]> Erreur : deux vecteurs égaux peuvent avoir des
représentants d'origines différentes ; c'est tout l'intérêt
de la notion.

]]> Les segments [AB] et [DC] ont la même longueur

]]> Incomplet : l'égalité de vecteurs exige aussi même
direction et même sens. Deux segments de même
longueur peuvent pointer n'importe où.

]]> ABCD est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : AB⃗ = DC⃗
signifie que [AB] et [DC] ont même direction, même sens
et même longueur : c'est la caractérisation vectorielle du
parallélogramme ABCD.

]]> ABCD est un rectangle

]]> Trop fort : l'égalité vectorielle ne dit rien des angles.
Elle garantit un parallélogramme, rectangle seulement si un
angle droit s'y ajoute.

]]> Vecteurs du plan — Q02 : Lire les coordonnées d'un vecteur [Figure : Repère orthonormé avec quadrillage. Le point A est en (1 ; 1)
et le point B en (4 ; 3). Le vecteur u, tracé en bleu de A
vers B, avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux
vers le haut.]

Sur la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées du
vecteur u⃗ = AB⃗ ?

]]> Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement :
AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (4-1 ; 3-1) = (3 ; 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(2 ; 3)

]]> Coordonnées inversées : le déplacement horizontal (3)
s'écrit en premier, le vertical (2) en second.

]]> u⃗(4 ; 3)

]]> Erreur : (4 ; 3) sont les coordonnées du point
B. Celles du vecteur mesurent le déplacement de A
vers B.

]]> u⃗(3 ; 2)

]]> Bonne réponse : pour aller de A à B, on se déplace de
3 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut :
u⃗(3 ; 2).

]]> u⃗(5 ; 4)

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées de A et
B. Un vecteur se lit par différence (arrivée moins
départ).

]]> Vecteurs du plan — Q03 : Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ Soient A(2 ; -1) et B(5 ; 3). Quelles sont les
coordonnées de AB⃗ ?

]]> AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) : toujours
« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :
3 - (-1) = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-3 ; -4)

]]> Sens inversé : (-3 ; -4) est le vecteur
BA⃗, du point d'arrivée vers le point de
départ.

]]> (7 ; 2)

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La
formule est une différence : arrivée moins départ.

]]> (3 ; 4)

]]> Bonne réponse : AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (5 - 2 ; 3 - (-1)) = (3 ; 4).

]]> (3 ; 2)

]]> Erreur de signe : y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4.
Soustraire un négatif revient à additionner.

]]> Vecteurs du plan — Q04 : Somme de deux vecteurs Soient u⃗(2 ; 3) et v⃗(-1 ; 4). Quelles sont
les coordonnées de u⃗ + v⃗ ?

]]> u⃗(x ; y) + v⃗(x' ; y') = (x + x' ; y + y') : les déplacements s'enchaînent, les
coordonnées s'ajoutent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3 ; 7)

]]> Erreur de signe : 2 + (-1) = 1, pas 3 (tu as soustrait
-1 au lieu de l'ajouter).

]]> (1 ; 7)

]]> Bonne réponse : on additionne coordonnée par coordonnée :
(2 + (-1) ; 3 + 4) = (1 ; 7).

]]> (-2 ; 12)

]]> Erreur : tu as multiplié les coordonnées. La somme de
vecteurs est une addition coordonnée par coordonnée.

]]> (1 ; -1)

]]> Erreur : la deuxième coordonnée vaut 3 + 4 = 7. Chaque
coordonnée s'additionne indépendamment.

]]> Vecteurs du plan — Q05 : Produit d'un vecteur par un réel Soit u⃗(2 ; -1). Quelles sont les coordonnées de
-3u⃗ ?

]]> k u⃗(x ; y) = (kx ; ky). Pour k = -3 :
(-6 ; 3), vecteur de sens opposé et trois fois plus long.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-6 ; 3)

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
-3 : (-3 × 2 ; -3 × (-1)) = (-6 ; 3).

]]> (6 ; 3)

]]> Erreur : la première coordonnée vaut -3 × 2 = -6.
Le facteur -3 s'applique avec son signe.

]]> (-1 ; -4)

]]> Erreur : tu as soustrait 3 aux coordonnées.
Multiplier un vecteur par un réel multiplie chaque
coordonnée.

]]> (-6 ; -3)

]]> Erreur de signe : -3 × (-1) = +3. Le produit de
deux négatifs est positif.

]]> Vecteurs du plan — Q06 : Relation de Chasles Pour trois points A, B, C quelconques, que vaut la somme
AB⃗ + BC⃗ ?

]]> Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ : la lettre
intermédiaire (B) s'efface quand elle termine le premier
vecteur et commence le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AC⃗

]]> Bonne réponse : aller de A à B puis de B à C
revient à aller directement de A à C : c'est la
relation de Chasles.

]]> CA⃗

]]> Sens inversé : l'enchaînement part de A et aboutit à
C, donc AC⃗ (et non le retour
CA⃗).

]]> BB⃗

]]> Erreur : BB⃗ = 0⃗. La somme ne
s'annule que pour un aller-retour, comme
AB⃗ + BA⃗.

]]> AB⃗ × BC⃗

]]> Erreur de nature : on ne « multiplie » pas deux vecteurs
en seconde. La relation de Chasles concerne la somme.

]]> Vecteurs du plan — Q07 : Tester la colinéarité par le déterminant Soient u⃗(2 ; 3) et v⃗(4 ; 6). Ces vecteurs
sont-ils colinéaires ?

]]> u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') sont colinéaires
⇔ \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 0
(produit en croix). Ici 12 - 12 = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car leurs coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité,
pas l'égalité. Ici v⃗ = 2u⃗ : colinéaires.

]]> Non, car 2 × 6 + 3 × 4 = 24 ≠ 0

]]> Erreur de formule : le déterminant est une différence
en croix, xy' - yx', pas une somme.

]]> Oui, car \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = 2 \times 6 - 3
\times 4 = 0

]]> Bonne réponse : le déterminant xy' - yx' est nul, c'est
le critère de colinéarité (on voit d'ailleurs que
v⃗ = 2u⃗).

]]> Oui, car toutes leurs coordonnées sont positives

]]> La conclusion est bonne mais l'argument est faux : les
signes ne disent rien de la colinéarité. Seul le
déterminant nul (ou la proportionnalité) conclut.

]]> Vecteurs du plan — Q08 : Calculer un déterminant Que vaut le déterminant de u⃗(2 ; 3) et
v⃗(1 ; 5), et que peut-on en déduire ?

]]> \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 10 - 3 = 7.
Déterminant non nul ⇔ vecteurs non
colinéaires : ils forment deux directions distinctes du plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \det = 7 : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Bonne réponse : 2 × 5 - 3 × 1 = 10 - 3 = 7 ≠ 0 : les directions sont distinctes.

]]> \det = 0 : les vecteurs sont colinéaires

]]> Erreur de calcul : 2 × 5 = 10 et 3 × 1 = 3
ne se compensent pas : \det = 7 \neq 0.

]]> \det = 13 : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Erreur de formule : 13 = 2 × 5 + 3 × 1
additionne au lieu de soustraire. Le déterminant est
xy' - yx' = 7 (la conclusion reste bonne, pas le
calcul).

]]> \det = 7 : les vecteurs sont colinéaires

]]> Calcul juste, conclusion inversée : la colinéarité
correspond à un déterminant nul. Ici 7 ≠ 0 :
non colinéaires.

]]> Vecteurs du plan — Q09 : Coordonnées du milieu Soient A(1 ; 2) et B(5 ; 8). Quelles sont les
coordonnées du milieu I de [AB] ?

]]> Milieu de [AB] :
I(x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2)
: la moyenne des coordonnées. Ici (3 ; 5).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc I(3 ; 5)

]]> Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :
I(1 + 5/2 ; 2 + 8/2) = (3 ; 5).

]]> I(6 ; 10)

]]> Oubli de la division par 2 : (6 ; 10) est la
somme des coordonnées. Le milieu en est la moitié.

]]> I(2 ; 3)

]]> Erreur : (2 ; 3) est la demi-différence
(la moitié de AB⃗), pas le milieu. On
moyenne : (x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2).

]]> I(4 ; 6)

]]> Erreur de calcul : 1 + 5/2 = 3 et
2 + 8/2 = 5. Vérifie tes moyennes.

]]> Vecteurs du plan — Q10 : Norme d'un vecteur Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur
u⃗(3 ; 4) ?

]]> En repère orthonormé : \|u⃗(x ; y)\| = √x² + y² (théorème de Pythagore). Ici
√9 + 16 = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √7

]]> Erreur : √3 + 4 oublie d'élever les coordonnées
au carré : √3² + 4² = √25.

]]> 25

]]> Oubli de la racine : 25 est le carré de la norme.
\|u⃗\| = √25 = 5.

]]> 7

]]> Erreur : 3 + 4 additionne les coordonnées. La norme
passe par les carrés : √9 + 16.

]]> 5

]]> Bonne réponse : \|u⃗\| = √3² + 4² = √25 = 5.

]]> Vecteurs du plan — Q11 : Alignement de trois points Soient A(0 ; 1), B(2 ; 4) et C(6 ; 10). Ces trois
points sont-ils alignés ?

]]> A, B, C alignés ⇔ AB⃗
et AC⃗ colinéaires ⇔
\det = 0. Ici \det = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 0 :
alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir sans tracer la figure dans un
repère

]]> Erreur : le calcul du déterminant tranche sans figure :
\det(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}) = 0,
points alignés. C'est la force du calcul vectoriel.

]]> Non, car les trois points ont des ordonnées différentes

]]> Erreur : seuls les points d'une droite horizontale
partagent la même ordonnée. Une droite oblique traverse
toutes les ordonnées.

]]> Non, car les longueurs AB et AC sont différentes

]]> Erreur : des points alignés n'ont aucune raison d'être
équidistants. L'alignement se teste par la
colinéarité des vecteurs, pas par les longueurs.

]]> Oui, car AB⃗ et AC⃗
sont colinéaires

]]> Bonne réponse : AB⃗(2 ; 3) et
AC⃗(6 ; 9) ont un déterminant nul,
2 × 9 - 3 × 6 = 18 - 18 = 0 : les vecteurs
sont colinéaires (AC⃗ = 3AB⃗), donc les points alignés.

]]> Vecteurs du plan — Q12 : Caractérisation vectorielle du milieu Soit A, B et I trois points du plan. Quelle égalité vectorielle caractérise « I est le milieu de
[AB] » ?

]]> Caractérisation vectorielle du milieu (au programme) : I
milieu de [AB] ⇔ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗ ⇔
AI⃗ = ½AB⃗. La
version « longueurs » IA = IB décrit la médiatrice entière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc IA⃗ = IB⃗

]]> Piège : deux vecteurs égaux ont le même sens ; ici
IA⃗ et IB⃗ pointent
dans des sens opposés. L'égalité forcerait A = B.

]]> AI⃗ = 2 AB⃗

]]> Erreur de coefficient : ce point serait au-delà de
B, deux fois trop loin. Le milieu correspond à
AI⃗ = ½AB⃗.

]]> IA⃗ + IB⃗ = 0⃗

]]> Bonne réponse : depuis le milieu, les vecteurs vers A et
vers B sont opposés, leur somme est nulle. Formulation
équivalente : AI⃗ = ½AB⃗.

]]> IA = IB

]]> Insuffisant : l'égalité des longueurs caractérise
toute la médiatrice de [AB], pas seulement son milieu.
Il faut l'information vectorielle (direction comprise).

]]> Vecteurs du plan — Q13 : Image par une translation Quelle est l'image du point A(2\ ;\ 1) par la translation
de vecteur u⃗(3\ ;\ -2) ?

]]> Translation de vecteur u⃗(a\ ;\ b) : chaque point
glisse de a horizontalement et b verticalement : A'(x_A + a\ ;\ y_A + b). Le vecteur EST le déplacement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A'(3\ ;\ -2)

]]> Point de départ oublié : (3\ ;\ -2) sont les
coordonnées du vecteur : l'image part de A et se
décale de u⃗.

]]> A'(5\ ;\ -1)

]]> Bonne réponse : appliquer une translation revient à ajouter les coordonnées du vecteur : (2 + 3\ ;\ 1 - 2).

]]> A'(-1\ ;\ 3)

]]> Soustraction : (2 - 3\ ;\ 1 + 2) applique le vecteur
opposé : la translation ajoute u⃗, elle ne le
retire pas.

]]> A'(6\ ;\ -2)

]]> Multiplication : les coordonnées du vecteur
s'ajoutent à celles du point, elles ne les
multiplient pas.

]]> Vecteurs du plan — Q14 : Vecteur opposé Quel est l'opposé du vecteur u⃗(4\ ;\ -3) ?

]]> -u⃗ : mêmes coordonnées avec signes opposés.
Propriété clé : u⃗ + (-u⃗) = 0⃗, et
BA⃗ = -AB⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-4\ ;\ -3)

]]> Une seule coordonnée basculée : l'opposé retourne le
vecteur entier : les deux signes changent.

]]> -u⃗(-4\ ;\ 3)

]]> Bonne réponse : l'opposé change le signe des deux
coordonnées : même direction, même longueur, sens
contraire.

]]> (¼\ ;\ -⅓)

]]> Confusion : les inverses concernent les nombres ;
l'opposé d'un vecteur change les signes, pas les
valeurs.

]]> (4\ ;\ 3)

]]> Erreur : seul le signe du -3 a changé : ce vecteur
n'est ni u⃗ ni son opposé.

]]> Vecteurs du plan — Q15 : Multiplier un vecteur par un réel Soit u⃗(2\ ;\ -1). Quelles sont les coordonnées de
3u⃗ ?

]]> ku⃗ : les deux coordonnées multipliées par k.
Géométriquement : longueur multipliée par |k|, sens
conservé si k > 0, retourné si k < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (6\ ;\ -1)

]]> Multiplication partielle : le facteur 3 s'applique aux
deux coordonnées.

]]> (5\ ;\ 2)

]]> Addition : (2 + 3\ ;\ -1 + 3) ajoute 3 au lieu de
multiplier par 3.

]]> (6\ ;\ -3)

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
3 : même direction et même sens, longueur multipliée
par 3.

]]> (6\ ;\ 3)

]]> Signe : 3 × (-1) = -3 : multiplier par un
positif conserve les signes.

]]> Vecteurs du plan — Q16 : Coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$ Soient u⃗(5\ ;\ 2) et v⃗(1\ ;\ 4). Quelles
sont les coordonnées de u⃗ - v⃗ ?

]]> u⃗ - v⃗ : soustraction coordonnée par
coordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi u⃗ + (-v⃗) : ajouter l'opposé.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4\ ;\ -2)

]]> Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : (5 - 1\ ;\ 2 - 4) = (4\ ;\ -2).

]]> (-4\ ;\ 2)

]]> Ordre inversé : (1 - 5\ ;\ 4 - 2) calcule v⃗ - u⃗, l'opposé du résultat cherché.

]]> (4\ ;\ 2)

]]> Signe : 2 - 4 = -2 ; on soustrait dans l'ordre,
u⃗ moins v⃗.

]]> (6\ ;\ 6)

]]> Addition : (5 + 1\ ;\ 2 + 4) calcule u⃗ + v⃗ : la différence soustrait.

]]> Vecteurs du plan — Q17 : Construire le quatrième sommet Soient A(0\ ;\ 0), B(3\ ;\ 1) et C(4\ ;\ 3). Où
placer D pour que ABCD soit un parallélogramme ?

]]> ABCD parallélogramme \iff \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC} (attention à l'ordre des lettres :
les sommets se suivent le long du bord). Le calcul : une
égalité vectorielle et une soustraction de coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc D(1\ ;\ 2)

]]> Bonne réponse : ABCD parallélogramme \iff
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : avec
AB⃗(3\ ;\ 1) : D = C - (3\ ;\ 1) = (1\ ;\ 2).

]]> D(-3\ ;\ -1)

]]> Erreur : A - AB⃗ prolonge [BA] :
le quatrième sommet se construit à partir de C.

]]> D(7\ ;\ 4)

]]> Mauvais côté : (7\ ;\ 4) = C + AB⃗
construit ABDC (ordre des lettres différent) : pour
ABCD, le côté [DC] est parallèle à [AB] : D = C - AB⃗.

]]> D(4\ ;\ 3)

]]> Erreur : c'est le point C : un parallélogramme a
quatre sommets distincts.

]]> Vecteurs du plan — Q18 : Chasles en chaîne Que vaut la somme AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ ?

]]> Chasles se cascade : dans une somme de vecteurs « bout à
bout », seuls comptent le départ et l'arrivée. Boucle
fermée (AB⃗ + BC⃗ + CA⃗) : vecteur nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc DA⃗

]]> Sens inversé : le trajet part de A et finit en D :
AD⃗.

]]> 0⃗

]]> Erreur : la somme ne s'annule que si le chemin
revient à son départ (+DA⃗
manquerait pour boucler).

]]> AD⃗

]]> Bonne réponse : les points intermédiaires s'effacent en
cascade : A → B → C → D revient à A → D.

]]> AB⃗ + CD⃗ : on ne
peut pas simplifier

]]> Erreur : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ d'abord, puis AC⃗ + CD⃗ = AD⃗ : tout
s'enchaîne.

]]> Vecteurs du plan — Q19 : Paramètre de colinéarité Pour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(3\ ;\ m)
et v⃗(6\ ;\ 10) sont-ils colinéaires ?

]]> Colinéarité : xy' - x'y = 0. Avec un paramètre, le
déterminant devient une équation du premier degré. Contrôle
final par la proportionnalité des colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : les premières coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité
(6 = 2 × 3 passe très bien), pas l'égalité.

]]> m = 5

]]> Bonne réponse : déterminant nul : 3 \times 10 - 6
\times m = 30 - 6m = 0 \iff m = 5. (Cohérent :
v⃗ = 2u⃗.)

]]> m = 20

]]> Équation mal posée : le déterminant est xy' - x'y = 30 - 6m, qui s'annule en 5 (pas 60/3).

]]> m = 7

]]> Erreur : 30 - 42 = -12 ≠ 0 : la proportionnalité
exige m/10 = 3/6, soit m = 5.

]]> Vecteurs du plan — Q20 : Le vecteur nul Que vaut AB⃗ + BA⃗ ?

]]> BA⃗ = -AB⃗, donc leur
somme est 0⃗ (coordonnées (0\ ;\ 0), aucune
direction). Distinguer soigneusement 0⃗ (vecteur) de
0 (nombre).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2AB⃗

]]> Erreur : 2AB⃗ = AB⃗ + AB⃗ (deux fois le MÊME sens) : ici le
retour annule l'aller.

]]> AB⃗

]]> Erreur : ajouter BA⃗ n'est pas neutre :
c'est l'opposé exact de AB⃗ : tout
s'annule.

]]> Le nombre 0

]]> Erreur de nature : la somme de deux vecteurs est un
vecteur : le vecteur nul 0⃗, pas le réel 0.

]]> 0⃗, le vecteur nul

]]> Bonne réponse : aller de A à B puis revenir :
déplacement total nul (BA⃗ = -AB⃗).

]]> Vecteurs du plan — Q21 : Distance entre deux points Soient A(1\ ;\ 2) et B(4\ ;\ 6). Que vaut la distance
AB ?

]]> AB = √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² : la norme du
vecteur AB⃗ : écarts, carrés, somme,
racine : quatre gestes dans cet ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : AB⃗(3\ ;\ 4), et AB = \|AB⃗\| = √3² + 4² = 5 : le
triangle 3-4-5.

]]> 7

]]> Erreur : 3 + 4 additionne les écarts : la distance
« à vol d'oiseau » passe par Pythagore : √9 + 16.

]]> 25

]]> Racine oubliée : 25 est AB² : la distance vaut
5.

]]> √7

]]> Erreur : √3 + 4 oublie les carrés : la
formule est √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)².

]]> Vecteurs du plan — Q22 : Quel parallélogramme pour $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ? On sait que AB⃗ = CD⃗
(points non alignés). Quel quadrilatère est un
parallélogramme ?

]]> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC
parallélogramme ; \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC} \iff ABCD parallélogramme. L'ordre des
lettres du contour suit les flèches : dessiner deux flèches
égales rend l'ordre évident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ABCD (dans cet ordre)

]]> Le piège de l'ordre des lettres : ABCD parallélogramme
correspond à AB⃗ = DC⃗ (le D et le C inversés) : ici
les sommets se suivent en A, B, D, C.

]]> ABDC (dans cet ordre)

]]> Bonne réponse : AB⃗ = CD⃗ envoie A sur B et C sur D
par la même translation : les côtés [AB] et [CD]
sont parallèles de même sens : le tour du quadrilatère
se lit A, B, D, C.

]]> ACBD

]]> Erreur : cet ordre croise les côtés (papillon) :
l'égalité donnée apparie [AB] avec [CD] dans le même
sens : contour A, B, D, C.

]]> Aucun : une égalité vectorielle ne fait pas un
parallélogramme

]]> Erreur : c'est LA caractérisation vectorielle du
parallélogramme : deux côtés opposés portés par des
vecteurs égaux.

]]> Vecteurs du plan — Q23 : La règle du parallélogramme u⃗ et v⃗ sont tracés depuis la même origine
O. Comment se construit géométriquement u⃗ + v⃗ ?

]]> Deux visualisations de u⃗ + v⃗ : mettre
v⃗ au bout de u⃗ (Chasles), ou compléter le
parallélogramme depuis l'origine commune : sa diagonale
issue de O est la somme (l'autre diagonale : la
différence).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est l'autre diagonale du parallélogramme

]]> Erreur : l'autre diagonale représente la différence
u⃗ - v⃗ (elle joint les extrémités des deux
vecteurs).

]]> C'est la diagonale issue de O du parallélogramme
construit sur u⃗ et v⃗

]]> Bonne réponse : compléter le parallélogramme : la somme
part de O et rejoint le sommet opposé : équivalent du
« bout à bout » de Chasles.

]]> C'est le vecteur qui joint l'extrémité de u⃗ à
celle de v⃗

]]> C'est la différence v⃗ - u⃗ : la somme, elle,
part de l'origine commune vers le sommet opposé.

]]> On ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine

]]> Erreur : deux constructions existent : bout à bout
(Chasles) ou parallélogramme (même origine) : le
résultat est le même vecteur.

]]> Vecteurs du plan — Q24 : Multiplier par un réel négatif Comment -2u⃗ se compare-t-il à u⃗ (non nul) ?

]]> ku⃗ : direction inchangée, longueur × |k|,
sens conservé si k > 0, inversé si k < 0. Les trois
attributs d'un vecteur (direction, sens, norme) réagissent
chacun à sa façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Même direction, sens contraire, longueur doublée

]]> Bonne réponse : le signe retourne le sens, le |{-2}| =
2 double la longueur, la direction (la droite) ne
change jamais.

]]> Direction différente, même sens, longueur doublée

]]> Erreur : ku⃗ reste toujours sur la même droite
que u⃗ (c'est la définition de la colinéarité),
et le signe négatif retourne le sens.

]]> Même direction, même sens, longueur doublée

]]> Signe ignoré : le facteur négatif retourne le
vecteur : sens contraire.

]]> Même direction, sens contraire, longueur divisée par 2

]]> Erreur : la longueur est multipliée par |k| = 2, pas
par ½.

]]> Vecteurs du plan — Q25 : Parallélisme de deux droites Dans un repère, A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(0 ; 0) et
D(6 ; 2). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

]]> Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont
colinéaires, ce que le déterminant détecte : il est nul si et seulement
s'il y a colinéarité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car les points sont distincts

]]> Deux droites parallèles peuvent être distinctes : c'est même le cas
général. Le critère porte sur les vecteurs directeurs.

]]> Oui, car le déterminant est nul

]]> Bonne réponse : AB⃗(3 ; 1) et
CD⃗(6 ; 2) donnent
3 × 2 - 1 × 6 = 0.

]]> Non, car les vecteurs ont des normes différentes

]]> La norme n'intervient pas : CD⃗ = 2AB⃗
reste colinéaire à AB⃗.

]]> Oui, car les quatre points sont alignés

]]> Conclusion juste, raison fausse : C n'appartient pas à (AB),
puisque AC⃗(-1 ; -2) n'est pas colinéaire à
AB⃗(3 ; 1).

]]> Vecteurs du plan — Q26 : Ce qui définit un vecteur Deux flèches tracées à des endroits différents du plan peuvent-elles
représenter le même vecteur ?

]]> Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Il
admet donc une infinité de représentants, tous parallèles et de même
longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, sauf si les deux flèches sont opposées

]]> Des flèches opposées représentent au contraire deux vecteurs
différents, u⃗ et -u⃗.

]]> Oui, à condition qu'elles se coupent

]]> Deux représentants d'un même vecteur sont parallèles, donc ils ne se
coupent généralement pas.

]]> Non, chaque vecteur a une origine fixée

]]> L'origine n'appartient pas au vecteur : elle sert seulement à en
tracer un représentant.

]]> Oui, si direction, sens et longueur coïncident

]]> Bonne réponse : un vecteur n'a pas de position, seuls ces trois
caractères le définissent.

]]> Vecteurs du plan — Q27 : Retrouver un point à partir du milieu On donne A(-1 ; 4) et B(2 ; 1). Quelles sont les coordonnées du
point C tel que B soit le milieu de [AC] ?

]]> Dire que B est le milieu de [AC] équivaut à
AB⃗ = BC⃗. On ajoute donc à B les
coordonnées de AB⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C(1 ; 6)

]]> Sens inversé : on a retranché AB⃗ au lieu de
l'ajouter, ce qui place C du mauvais côté de B.

]]> C(3 ; -3)

]]> Vecteur pris pour un point : (3 ; -3) sont les coordonnées de
AB⃗, qu'il faut ajouter à celles de B.

]]> C(0{,}5\,;\,2{,}5)

]]> Rôles échangés : ce sont les coordonnées du milieu de [AB], alors que
B est déjà le milieu cherché.

]]> C(5 ; -2)

]]> Bonne réponse : de x_B = x_A + x_C/2 on tire
x_C = 2x_B - x_A = 5, et de même y_C = -2.

]]> Vecteurs du plan — Q28 : Le vecteur nul et la colinéarité Le vecteur nul 0⃗ est-il colinéaire au vecteur
u⃗(2 ; -5) ?

]]> Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par
un réel. Le vecteur nul vérifie cette condition avec tout vecteur, ce qui
explique la convention.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car il n'a pas de direction

]]> L'absence de direction n'empêche pas la colinéarité : la définition
demande seulement un réel k tel que 0⃗ = ku⃗.

]]> Oui, car 0⃗ = 0 × u⃗

]]> Bonne réponse : le vecteur nul s'obtient en multipliant n'importe quel
vecteur par 0, il est donc colinéaire à tous.

]]> Oui, mais seulement si u⃗ est nul

]]> Aucune condition sur u⃗ : le facteur 0 convient quel que soit
le vecteur choisi.

]]> Non, car ses coordonnées sont nulles

]]> Le déterminant conclut : 0 × (-5) - 0 × 2 = 0, donc les
deux vecteurs sont bien colinéaires.

]]> Vecteurs du plan — Q29 : Reconnaître un parallélogramme On donne A(0 ; 1), B(3 ; 2), C(4 ; 5) et D(1 ; 4).
Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?

]]> Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
AB⃗ = DC⃗. L'ordre des lettres compte :
on parcourt le contour dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car AB⃗ = CD⃗

]]> Sommets mal ordonnés : CD⃗(-3 ; -1) est l'opposé de
AB⃗, il faut comparer avec DC⃗.

]]> Oui, car AB⃗ = DC⃗

]]> Bonne réponse : AB⃗(3 ; 1) et
DC⃗(3 ; 1) sont égaux.

]]> Non, car les côtés n'ont pas la même longueur

]]> Ils l'ont : AB = DC = √10, et AD = BC = √10 également.

]]> Non, car les diagonales ne se coupent pas

]]> Elles se coupent en leur milieu commun (2 ; 3), ce qui confirme au
contraire le parallélogramme.

]]> Vecteurs du plan — Q30 : Norme d'un vecteur multiplié Le vecteur u⃗ a pour norme 2.
Quelle est la norme du vecteur -3u⃗ ?

]]> Pour tout réel k, la norme de ku⃗ vaut |k| fois celle de
u⃗. Le signe de k n'agit que sur le sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Le facteur est oublié : multiplier par -3 triple la longueur, seul
un facteur de valeur absolue 1 la laisserait inchangée.

]]> 6

]]> Bonne réponse : la longueur est multipliée par |-3| = 3, donc elle
passe de 2 à 6.

]]> -1

]]> Somme au lieu de produit : le calcul fait est 2 - 3, alors que la
norme se multiplie.

]]> -6

]]> Une norme est une longueur, donc toujours positive. Le signe change
seulement le sens du vecteur.

]]> Vecteurs du plan — Q31 : Coordonnées du vecteur opposé Dans un repère, le vecteur AB⃗ a pour coordonnées
(5 ; -2). Quelles sont celles de BA⃗ ?

]]> Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :
BA⃗ = -AB⃗, de coordonnées
(-x ; -y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-5 ; -2)

]]> Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur
entier, donc l'ordonnée change elle aussi.

]]> (-5 ; 2)

]]> Bonne réponse : BA⃗ = -AB⃗, donc
les deux coordonnées changent de signe.

]]> (5 ; 2)

]]> Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la
même façon, puisque tout le vecteur se retourne.

]]> (5 ; -2)

]]> Ce sont les coordonnées de AB⃗ : parcourir le
chemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé.

]]> Vecteurs du plan — Q32 : Retrouver le vecteur d'une translation Une translation de vecteur t⃗ transforme le point
A(2 ; 5) en le point B(7 ; 1). Quelles sont les
coordonnées de t⃗ ?

]]> Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :
t⃗ = AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-5 ; 4)

]]> Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est
BA⃗, qui ramènerait B sur A.

]]> (9 ; 6)

]]> Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur
s'obtiennent par la différence « arrivée moins départ ».

]]> (7 ; 1)

]]> Ce sont les coordonnées du point B : celles du vecteur mesurent
le déplacement qui mène de A jusqu'à B.

]]> (5 ; -4)

]]> Bonne réponse : t⃗ = AB⃗, dont les
coordonnées valent (7 - 2 ; 1 - 5).

]]> Vecteurs du plan — Q33 : Faire apparaître un point intermédiaire On souhaite faire apparaître le point B dans l'écriture du vecteur
AC⃗. Par quelle somme peut-on le remplacer ?

]]> La relation de Chasles se lit dans les deux sens : elle permet aussi de
découper un vecteur en passant par un point choisi, à condition que ce
point termine le premier vecteur et commence le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc BA⃗ + BC⃗

]]> Le premier vecteur est retourné : le trajet doit commencer en A,
donc débuter par AB⃗.

]]> BA⃗ + CB⃗

]]> Les deux vecteurs sont retournés : cette somme vaut
CA⃗, soit l'opposé du vecteur cherché.

]]> AB⃗ + BC⃗

]]> Bonne réponse : le point ajouté termine le premier vecteur et
commence le second, si bien que le trajet mène encore de A à C.

]]> AB⃗ + CB⃗

]]> Le second vecteur est retourné : il faut partir de B pour
rejoindre C, donc écrire BC⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q34 : Ce qui manque pour conclure à l'égalité Deux vecteurs non nuls ont la même direction et la même longueur.
Que faut-il vérifier de plus pour affirmer qu'ils sont égaux ?

]]> Un vecteur est déterminé par trois caractères : sa direction, son sens
et sa longueur. Deux vecteurs sont égaux exactement quand ces trois
caractères coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Qu'ils ont tous deux des coordonnées positives

]]> Le signe des coordonnées ne joue aucun rôle : deux vecteurs de
coordonnées négatives peuvent parfaitement être égaux.

]]> Qu'ils sont orientés dans le même sens

]]> Bonne réponse : direction, sens et longueur définissent un vecteur.
Les deux premiers caractères étant acquis, il reste le sens.

]]> Qu'ils partent tous deux du même point

]]> L'origine ne fait pas partie du vecteur : deux représentants tracés
à des endroits différents décrivent le même vecteur.

]]> Qu'ils sont portés par une même droite

]]> Cette condition est déjà contenue dans « même direction », et elle
ne dit toujours rien du sens des deux flèches.

]]> Vecteurs du plan — Q35 : Traduire une symétrie par une égalité Le point C est le symétrique du point A par rapport au point B.
Quelle égalité vectorielle traduit cette situation ?

]]> Dire que C est le symétrique de A par rapport à B revient à dire
que B est le milieu de [AC], ce que traduit l'égalité
AB⃗ = BC⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AB⃗ = CB⃗

]]> Le second vecteur est retourné : cette égalité imposerait
A = C, alors que B doit se trouver entre les deux.

]]> BA⃗ = BC⃗

]]> Ces deux vecteurs partent de B dans des sens opposés : leur
égalité forcerait encore une fois A = C.

]]> AB⃗ = BC⃗

]]> Bonne réponse : B est le milieu de [AC], donc le déplacement de
A vers B se répète à l'identique de B vers C.

]]> AC⃗ = BC⃗

]]> Cette égalité signifierait A = B : c'est le déplacement de A à
B qu'il faut retrouver de B à C.

]]> Vecteurs du plan — Q36 : Retrouver un vecteur dans une somme Le vecteur u⃗ a pour coordonnées (3 ; -2) et la somme
u⃗ + w⃗ a pour coordonnées (7 ; 3). Quelles sont
les coordonnées de w⃗ ?

]]> De u⃗ + w⃗ = s⃗ on tire w⃗ = s⃗ - u⃗,
et la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4 ; 5)

]]> Bonne réponse : on retranche u⃗ coordonnée par coordonnée,
soit (7 - 3 ; 3 - (-2)).

]]> (10 ; 1)

]]> Addition au lieu d'une soustraction : u⃗ a déjà été compté
dans la somme, il faut donc le retirer.

]]> (-4 ; -5)

]]> Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de
w⃗, car les termes ont été inversés.

]]> (4 ; -5)

]]> L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le
mauvais ordre : il faut calculer 3 - (-2).

]]> Vecteurs du plan — Q37 : Différence de deux vecteurs de même origine Soient A, B et C trois points du plan. Quel vecteur est égal à
AB⃗ - AC⃗ ?

]]> Une différence se ramène à une somme :
AB⃗ - AC⃗ = AB⃗ + CA⃗ = CB⃗. Deux vecteurs de même
origine ont pour différence le vecteur qui joint leurs extrémités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc BC⃗

]]> Sens inversé : c'est AC⃗ - AB⃗
qui vaut BC⃗, l'opposé du vecteur cherché.

]]> BA⃗

]]> Le point C a disparu du résultat alors qu'il figure dans le
calcul : c'est lui qui devient l'origine du vecteur obtenu.

]]> CA⃗

]]> Calcul arrêté trop tôt : -AC⃗ vaut bien
CA⃗, mais il reste à lui ajouter
AB⃗.

]]> CB⃗

]]> Bonne réponse : soustraire revient à ajouter l'opposé, donc
CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q38 : Distance exacte entre deux points Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de
la distance AB, avec A(1 ; 2) et B(5 ; 4) ?

]]> Dans un repère orthonormé,
AB = √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)². Quand le résultat n'est
pas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √6

]]> Carrés oubliés : les écarts 4 et 2 ont été additionnés
tels quels, alors que la formule les élève au carré.

]]> 20

]]> Racine oubliée : 20 est le carré de la distance, il reste à en
prendre la racine.

]]> √12

]]> Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,
comme dans le théorème de Pythagore.

]]> √20

]]> Bonne réponse : AB⃗(4 ; 2), donc
AB = √4² + 2² = √20.

]]> Vecteurs du plan — Q39 : Colinéarité et position de deux droites Les vecteurs AB⃗ et CD⃗ sont
colinéaires et non nuls. Que peut-on affirmer des droites (AB) et
(CD) ?

]]> Deux droites sont parallèles, au sens large, exactement quand leurs
vecteurs directeurs sont colinéaires. Distinguer le cas confondu
demande une information supplémentaire, par exemple un point commun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont confondues, comme les deux vecteurs

]]> Deux vecteurs colinéaires ne sont pas confondus pour autant : ils
peuvent être portés par deux droites parallèles distinctes.

]]> Elles sont parallèles, voire confondues

]]> Bonne réponse : la colinéarité donne une direction commune, mais
rien n'interdit aux quatre points d'être sur une même droite.

]]> Elles sont sécantes en un unique point du plan

]]> Deux droites sécantes ont des directions différentes, donc des
vecteurs directeurs non colinéaires.

]]> Elles sont parallèles et forcément distinctes

]]> Trop fort : si C appartient à la droite (AB), les deux droites
sont confondues et la colinéarité reste vraie.

]]> Vecteurs du plan — Q40 : Retrouver le coefficient de colinéarité Les vecteurs u⃗(3 ; -2) et v⃗(-9 ; 6) sont
colinéaires. Pour quel réel k a-t-on v⃗ = k u⃗ ?

]]> Deux vecteurs colinéaires vérifient v⃗ = k u⃗ pour un réel
k unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe
indique si les deux vecteurs vont dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc k = -⅓

]]> Quotient renversé : k s'obtient en divisant les coordonnées de
v⃗ par celles de u⃗, et non l'inverse.

]]> k = -12

]]> Soustraction au lieu d'un quotient : k multiplie les coordonnées
de u⃗, il ne s'y ajoute pas.

]]> k = -3

]]> Bonne réponse : -3 × 3 = -9 et
-3 × -2 = 6. Le facteur étant négatif, les deux
vecteurs sont de sens contraires.

]]> k = 3

]]> Signe perdu : avec ce facteur positif, v⃗ pointerait dans le
même sens que u⃗, ce que les coordonnées démentent.

]]> Vecteurs du plan — Q41 : Longueur d'une somme de vecteurs Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs non nuls. À quelle
condition a-t-on \|u⃗ + v⃗\| = \|u⃗\| + \|v⃗\| ?

]]> Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements. Le
trajet direct est au plus aussi long que le trajet en deux étapes, avec
égalité exactement quand les deux étapes vont dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Jamais, car une longueur ne s'additionne pas ainsi

]]> Le cas de deux vecteurs de même sens fournit un contre-exemple
immédiat, en alignant les deux déplacements.

]]> Pour n'importe quels vecteurs non nuls du plan

]]> Faux dès que les directions diffèrent : le chemin direct est plus
court que le détour par l'extrémité de u⃗.

]]> Lorsqu'ils ont même direction et même sens

]]> Bonne réponse : les deux déplacements s'enchaînent alors en ligne
droite, et les longueurs s'ajoutent bout à bout.

]]> Lorsqu'ils ont même direction et des sens contraires

]]> Les deux déplacements se compensent alors en partie : la somme est
plus courte que chacune des deux longueurs additionnées.

]]> Vecteurs du plan — Q42 : Chasles avec des termes en désordre Soient A, B, C et D quatre points du plan. Que vaut la somme
AB⃗ + CD⃗ + BC⃗ ?

]]> L'addition de vecteurs est commutative : on peut réordonner les termes
pour que les points intermédiaires s'enchaînent, puis appliquer la
relation de Chasles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc DA⃗

]]> Sens inversé : l'enchaînement part de A et aboutit en D, ce qui
donne AD⃗.

]]> BD⃗

]]> Le trajet commence en A, pas en B : seul le point de départ et
le point d'arrivée subsistent dans le résultat.

]]> AD⃗

]]> Bonne réponse : une somme se réordonne librement, et
AB⃗ + BC⃗ + CD⃗
mène de A à D.

]]> AC⃗

]]> Un terme a été laissé de côté : après AC⃗, il
reste à ajouter CD⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q43 : Paramètre et alignement de trois points Soient A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(6 ; m). Pour
quel réel m les points A, B et C sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés quand AB⃗ et
AC⃗ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une
équation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 8

]]> Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter
depuis A, et non depuis B.

]]> m = 12

]]> Bonne réponse : AB⃗(2 ; 4) et
AC⃗(6 - 1 ; m - 2) ont un déterminant
nul pour m = 12.

]]> m = -8

]]> Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur
AB⃗, pas dans le sens contraire.

]]> m = 6

]]> Ce choix place C à la même hauteur que B : la droite (AB)
n'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés.

]]> Vecteurs du plan — Q44 : Quatrième sommet de $ABDC$ Soient A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5).
Quelles sont les coordonnées du point D pour que ABDC soit un
parallélogramme ?

]]> Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :
ABDC équivaut à AB⃗ = CD⃗, d'où
D obtenu en translatant C du vecteur AB⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-1 ; 4)

]]> Ordre des lettres mal lu : retrancher AB⃗ à C
construit le parallélogramme ABCD, pas ABDC.

]]> (6 ; 8)

]]> Coordonnées simplement additionnées : AB⃗ se
calcule par une différence, que la somme B + C ignore.

]]> (5 ; 6)

]]> Bonne réponse : le contour A, B, D, C impose
AB⃗ = CD⃗, donc on ajoute
(3 ; 1) aux coordonnées de C.

]]> (3 ; 0)

]]> Rôles échangés : ce point complète ACBD, où C et B occupent
des sommets opposés.

]]> Vecteurs du plan — Q45 : Coordonnées de $2\vec{u} - \vec{v}$ Soient u⃗(3 ; -1) et v⃗(4 ; 2). Quelles sont
les coordonnées du vecteur 2u⃗ - v⃗ ?

]]> Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :
2u⃗ - v⃗ a pour coordonnées
(2xᵤ - xᵥ ; 2yᵤ - yᵥ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (10 ; 0)

]]> Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de
2u⃗ + v⃗.

]]> (-2 ; -6)

]]> Facteur mal placé : le 2 ne multiplie que u⃗, il ne
s'applique pas à la différence entière.

]]> (2 ; -4)

]]> Bonne réponse : on double d'abord u⃗, puis on retranche
v⃗ : (2 × 3 - 4 ; 2 × -1 - 2).

]]> (-1 ; -3)

]]> Facteur oublié : les coordonnées de u⃗ doivent d'abord être
doublées avant la soustraction.

]]> Vecteurs du plan — Q46 : Écrire un vecteur avec $\vec{i}$ et $\vec{j}$ Dans une base orthonormée (i⃗, j⃗), le vecteur
u⃗ a pour coordonnées (3 ; -2). Quelle écriture
lui correspond ?

]]> Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique
u⃗ = xi⃗ + yj⃗ : x et y sont ses
coordonnées dans la base (i⃗, j⃗).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ = -2i⃗ + 3j⃗

]]> Ordre inversé : la première coordonnée multiplie i⃗,
la seconde multiplie j⃗.

]]> u⃗ = 3i⃗ - 2j⃗

]]> Bonne réponse : u⃗(x ; y) signifie
u⃗ = xi⃗ + yj⃗, ici avec x = 3 et
y = -2.

]]> u⃗ = 3(i⃗ - 2j⃗)

]]> Erreur : en développant, on obtient
3i⃗ - 6j⃗ ; le coefficient de j⃗
serait -6 au lieu de -2.

]]> u⃗ = 3i⃗ + 2j⃗

]]> Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut -2.

]]> Vecteurs du plan — Q47 : Repérer la somme de deux vecteurs [Figure : Quadrillage. Depuis O, un vecteur bleu va vers U, trois carreaux
à droite et un en haut, et un vecteur rouge va vers V, un
carreau à droite et trois en haut. Quatre points sont marqués,
avec O pour origine : A (4 ; 4), B (2 ; -2), C (-2 ; 2) et
D (2 ; 2).]

Sur la figure, OU⃗ représente u⃗ et
OV⃗ représente v⃗. Quel point M vérifie
OM⃗ = u⃗ + v⃗ ?

]]> Règle du parallélogramme : avec des représentants de même origine
O, u⃗ + v⃗ est représenté par la diagonale issue de
O du parallélogramme construit sur u⃗ et v⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point A

]]> Bonne réponse : OUAV est un parallélogramme ; A s'obtient
en appliquant à U la translation de vecteur v⃗
(un carreau à droite, trois en haut).

]]> Le point C

]]> Confusion : OC⃗ = v⃗ - u⃗, l'autre
diagonale du parallélogramme orientée de U vers V.

]]> Le point D

]]> Erreur : D est le milieu de [OA] ;
OD⃗ = ½(u⃗ + v⃗), pas
la somme elle-même.

]]> Le point B

]]> Confusion : OB⃗ = u⃗ - v⃗. Pour
la somme, on enchaîne u⃗ puis v⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q48 : Placer l'extrémité d'un vecteur On représente le vecteur u⃗(-1 ; 2) à partir du point
A(2 ; 1). Quelles sont les coordonnées de son extrémité
B ?

]]> AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) : pour placer B,
on ajoute aux coordonnées de A celles du vecteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B(-1 ; 2)

]]> Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de
u⃗, pas celles de l'extrémité d'un représentant
d'origine A.

]]> B(4 ; 0)

]]> Erreur : les coordonnées de u⃗ ont été échangées ;
l'abscisse -1 s'ajoute à x_A, l'ordonnée 2 à y_A.

]]> B(1 ; 3)

]]> Bonne réponse : AB⃗ = u⃗ donne
x_B = 2 + (-1) et y_B = 1 + (2).

]]> B(3 ; -1)

]]> Erreur : on a soustrait les coordonnées de u⃗. Ce
point C vérifie CA⃗ = u⃗, et non
AB⃗ = u⃗.

]]>