$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Calcul intégral Intégrale d'une fonction continue : définition par l'aire sous la
courbe, lien avec les primitives (F(b) - F(a)), linéarité,
positivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par
parties, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.

]]> Calcul intégral — Q01 : Sens géométrique de l'intégrale Soit f continue et positive sur [a ; b]. Que
représente \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ?

]]> Pour f continue positive sur [a ; b],
∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine sous la courbe,
exprimée en unités d'aire du repère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La pente moyenne de la courbe entre a et b

]]> Erreur : la pente moyenne est f(b)-f(a)/b-a
(taux de variation). L'intégrale, elle, cumule les valeurs
de f : c'est une aire.

]]> L'accroissement f(b) - f(a) de la fonction

]]> Confusion : f(b) - f(a) est la variation de f. La
formule F(b) - F(a) fait intervenir une primitive
F, pas f elle-même.

]]> L'aire sous la courbe entre x = a et x = b

]]> Bonne réponse : c'est la définition de l'intégrale d'une
fonction continue positive : l'aire, en unités d'aire,
du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des
abscisses et les droites x = a et x = b.

]]> La longueur de la courbe de f entre a et b

]]> Erreur : l'intégrale mesure une aire, pas une longueur
d'arc (notion hors programme).

]]> Calcul intégral — Q02 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ Que vaut \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx ?

]]> ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = ⅓. Le tiers de l'unité d'aire : c'est l'aire sous
la parabole entre 0 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅔

]]> Erreur : ⅔ est \displaystyle\int_{-1}^{1}
x^2\,dx, sur un intervalle deux fois plus long. Entre
0 et 1, l'aire vaut ⅓.

]]> ⅓

]]> Bonne réponse : une primitive de x² est
x³/3, donc l'intégrale vaut
1³/3 - 0³/3 = ⅓.

]]> ½

]]> Erreur de primitive : x²/2 est une primitive de
x, pas de x². Pour x², on monte à
x³/3.

]]> ¼

]]> Erreur : ¼ viendrait de x⁴/4,
qui est une primitive de x³. Pour x², la primitive
est x³/3, d'où ⅓.

]]> Calcul intégral — Q03 : Une intégrale avec $\dfrac{1}{x}$ Que vaut \displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx ?

]]> Sur ]0 ; +∞[, ∫ 1/x se calcule avec
ln : ∫₁ᵉ dx/x = [ln x]₁ᵉ = 1. C'est même
la définition historique de e.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : une primitive de 1/x est
ln(x), donc l'intégrale vaut
ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.

]]> e

]]> Erreur : il faut la différence F(e) - F(1). Avec
F = ln : 1 - 0 = 1, pas e.

]]> e - 1

]]> Erreur : e - 1 correspondrait à la primitive x
(c'est-à-dire à l'intégrale de la constante 1). Ici la
primitive est ln x.

]]> -1/e² + 1

]]> Erreur de primitive : tu as utilisé -1/x, qui
primitive 1/x². Pour 1/x, la
primitive de référence est ln x.

]]> Calcul intégral — Q04 : Utiliser la linéarité On sait que \displaystyle\int_0^2 f = 4 et
\displaystyle\int_0^2 g = -1. Que vaut
\displaystyle\int_0^2 \left(2f + 3g\right) ?

]]> Linéarité de l'intégrale :
∫ (α f + β g) = α ∫ f + β ∫ g.
Ici : 2 × 4 + 3 × (-1) = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : par linéarité,
2∫ f + 3∫ g = 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 - 3 = 5.

]]> 8

]]> Incomplet : 8 = 2∫ f seul. Il faut ajouter la
contribution 3∫ g = -3.

]]> 11

]]> Erreur de signe : ∫ g = -1 est négative (c'est
possible pour une intégrale). 8 + 3 = 11 oublie ce
signe : le bon calcul est 8 - 3 = 5.

]]> 3

]]> Erreur : 4 - 1 = 3 ignore les coefficients 2 et 3.
La linéarité les conserve : 2 × 4 + 3 × (-1).

]]> Calcul intégral — Q05 : Intégrale d'une fonction négative Soit f continue et négative sur [0 ; 2], avec
\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = -3. Quelle est l'aire du
domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et
les droites x = 0 et x = 2 ?

]]> Sous l'axe, l'intégrale compte l'aire négativement : pour
f ≤ 0 sur [a ; b], l'aire du domaine vaut
-∫ₐᵇ f. Ici : 3 unités d'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 unités d'aire

]]> Erreur : une aire est une grandeur positive. C'est
l'intégrale qui peut être négative ; l'aire correspondante
en est l'opposé.

]]> 3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : pour une fonction négative, l'aire est
l'opposé de l'intégrale :
\mathcal{A} = -\int_0^2 f = 3. Une aire est toujours
positive.

]]> 6 unités d'aire

]]> Erreur : aucun doublement n'intervient. Aire = opposé de
l'intégrale = 3.

]]> 0

]]> Erreur : le domaine entre la courbe et l'axe est bien réel
et étendu ; son aire vaut |-3| = 3.

]]> Calcul intégral — Q06 : Relation de Chasles On sait que \displaystyle\int_0^2 f = 3 et
\displaystyle\int_0^5 f = 10. Que vaut
\displaystyle\int_2^5 f ?

]]> Relation de Chasles :
∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫_bᶜ f. On en tire
∫₂⁵ f = ∫₀⁵ f - ∫₀² f = 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : par la relation de Chasles,
∫₀⁵ = ∫₀² + ∫₂⁵, donc
∫₂⁵ f = 10 - 3 = 7.

]]> 30

]]> Erreur : les intégrales s'ajoutent quand on met les
intervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas.

]]> -7

]]> Erreur de sens : ∫₂⁵ f = 10 - 3 = +7. (Le signe
moins apparaîtrait pour ∫₅² f, bornes échangées.)

]]> 13

]]> Erreur : tu as ajouté au lieu de soustraire. Le morceau
[2 ; 5] est ce qui reste quand on retire [0 ; 2] de
[0 ; 5] : 10 - 3.

]]> Calcul intégral — Q07 : Valeur moyenne d'une fonction Soit f continue sur [1 ; 4] avec
\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 9. Quelle est la valeur
moyenne de f sur [1 ; 4] ?

]]> Valeur moyenne : μ = 1/b-a∫ₐᵇ f(x) dx.
Interprétation : le rectangle de base b - a et de hauteur
μ a exactement l'aire de l'intégrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : μ = 1/b-a∫ₐᵇ f = 9/4-1 = 3. C'est la hauteur du rectangle de base
[1 ; 4] ayant la même aire que le domaine sous la
courbe.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient
en divisant par la longueur de l'intervalle,
b - a = 3.

]]> 27

]]> Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de
diviser. Moyenne = intégrale/longueur = 3.

]]> 9/4

]]> Erreur : on divise par b - a = 4 - 1 = 3, pas par la
borne 4.

]]> Calcul intégral — Q08 : Intégration par parties Que vaut \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx ?

]]> Intégration par parties :
∫ₐᵇ u v' = [u v]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u' v. Avec u = x
(qui se simplifie en dérivant) et v' = eˣ :
e - (e - 1) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e - 1

]]> Erreur : e - 1 = ∫₀¹ eˣ dx, l'intégrale sans
le facteur x. Le facteur x exige une intégration par
parties.

]]> 1

]]> Bonne réponse : par parties avec u = x, v' = eˣ :
[x eˣ]₀¹ - ∫₀¹ eˣ dx = e - (e - 1) = 1.

]]> e²/2

]]> Erreur : tu as primitivé chaque facteur séparément
(x²/2 et eˣ mélangés). Un produit ne se
primitive pas facteur par facteur : c'est précisément le
rôle de l'intégration par parties.

]]> e

]]> Incomplet : e = [x eˣ]₀¹ n'est que le terme tout
intégré ; il faut lui retrancher ∫₀¹ eˣ dx = e - 1.

]]> Calcul intégral — Q09 : Aire sous une parabole [Figure : Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée
vers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses
en -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des
abscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.]

Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
f(x) = 4 - x², l'axe des abscisses et les droites x = -2
et x = 2. Quelle est son aire ?

]]> ∫₋₂²(4-x²) dx = [4x - x³/3]₋₂² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3. (Au passage :
exactement les deux tiers du rectangle 4 × 4, résultat
d'Archimède.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 32/3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : f est positive sur [-2 ; 2], donc
l'aire vaut \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx =
\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} =
\dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx
10{,}7.

]]> 16/3 unités d'aire

]]> Erreur de bornes : 16/3 = ∫₀² (4 - x²) dx, la moitié droite seulement. Le
domaine s'étend de -2 à 2.

]]> 8 unités d'aire

]]> Erreur : 8 serait l'aire du triangle de sommets
(-2 ; 0), (2 ; 0), (0 ; 4). La parabole est
plus « bombée » qu'un triangle : 32/3 > 8.

]]> 16 unités d'aire

]]> Erreur : 16 = 4 × 4 est l'aire du rectangle
englobant (base 4, hauteur 4). La parabole en occupe
les deux tiers : 32/3.

]]> Calcul intégral — Q10 : La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ Soit f continue sur un intervalle I et a ∈ I. On pose
F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt. Que vaut F'(x) ?

]]> Théorème fondamental de l'analyse : pour f continue,
x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable, de dérivée f.
C'est le pont entre aire et primitive, et la preuve que toute
fonction continue admet des primitives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) - F(a)

]]> Erreur : c'est un mélange avec la formule
∫ₐᵇ f = F(b) - F(a). La dérivée de
x ↦ ∫ₐˣ f est f(x).

]]> f(x) - f(a)

]]> Erreur : la borne fixe a ne réapparaît pas dans la
dérivée (elle ne pilote qu'une constante d'intégration).
F'(x) = f(x) tout court.

]]> f'(x)

]]> Erreur d'étage : dériver l'intégrale rend f elle-même,
pas sa dérivée. Intégrer puis dériver ramène au point de
départ.

]]> f(x)

]]> Bonne réponse : c'est le théorème fondamental : F est la
primitive de f qui s'annule en a, donc F' = f.

]]> Calcul intégral — Q11 : Rectangles et fonction décroissante Pour approcher \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx avec f
continue et décroissante, on découpe [0 ; 1] en n
morceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche de chaque morceau. Cette
somme est :

]]> Méthode des rectangles avec fonction monotone : bords gauches
et droits fournissent un encadrement de l'intégrale. Pour
f décroissante : somme à gauche ≥ ∫ ≥ somme à
droite, et l'écart fond quand n grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : f décroissant, sa valeur au bord gauche
est la plus grande du morceau : chaque rectangle dépasse
la courbe. La somme majore l'intégrale.

]]> Exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : les rectangles laissent un écart avec la courbe
(sauf fonction constante). L'égalité n'apparaît qu'à la
limite n → +∞.

]]> Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon n

]]> Erreur : la monotonie fixe le sens pour tout n :
bord gauche et fonction décroissante donnent une majoration systématique.

]]> Inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Erreur de sens : ce serait le cas des rectangles à bord
droit (ou d'une fonction croissante avec bord gauche).
Ici chaque rectangle englobe la courbe.

]]> Calcul intégral — Q12 : Aire entre deux courbes Sur [0 ; 1], on a x ≥ x². Quelle est l'aire du
domaine compris entre les courbes de f(x) = x et de
g(x) = x² sur cet intervalle ?

]]> Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes
vaut ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx. Ici :
∫₀¹ (x - x²) dx = ½ - ⅓ = ⅙.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½ unité d'aire

]]> Incomplet : ½ = ∫₀¹ x dx est l'aire sous
la droite seule. Il faut lui retrancher l'aire sous la
parabole.

]]> ⅙ unité d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire entre deux courbes est
∫₀¹ (x - x²) dx = ½ - ⅓ = ⅙.

]]> ⅓ unité d'aire

]]> Erreur : ⅓ = ∫₀¹ x² dx est l'aire sous
la parabole. L'aire entre les deux courbes est la
différence ½ - ⅓.

]]> ⅚ unité d'aire

]]> Erreur : tu as ajouté les deux aires
(½ + ⅓). Le domaine entre les courbes
correspond à leur différence.

]]> Calcul intégral — Q13 : Intégrale d'une constante Que vaut \displaystyle\int_2^5 3\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ c dt = c(b - a) : le rectangle de base. Point de
contrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de 3
(3t + C) redonne 15 - 6 = 9.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Largeur oubliée : la hauteur 3 doit être multipliée
par la longueur de l'intervalle (3) : l'intégrale
d'une constante n'est pas la constante.

]]> 15

]]> Erreur : 15 = 3 × 5 prend la borne au lieu de la
largeur 5 - 2 = 3 de l'intervalle.

]]> 9

]]> Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur 5 - 2 = 3 et de hauteur 3 : 3 × 3 = 9.

]]> 9/2

]]> Erreur : la division par 2 vaudrait pour un triangle ;
une constante dessine un rectangle plein.

]]> Calcul intégral — Q14 : Échanger les bornes Sachant que \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3},
que vaut \displaystyle\int_1^0 x^2\,dx ?

]]> ∫_bᵃ f = -∫ₐᵇ f : conséquence directe de
[F]ₐᵇ = F(b) - F(a). Utile pour remettre les bornes dans
le bon ordre avant tout calcul ou toute relation de Chasles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -⅓

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe :
∫_bᵃ = -∫ₐᵇ (avec F primitive : F(0) - F(1) = -(F(1) - F(0))).

]]> ⅓

]]> Erreur : l'intégrale est orientée : parcourir
l'intervalle à rebours renverse le signe.

]]> ⅔

]]> Erreur : aucun doublement : seule l'orientation change,
donc seulement le signe.

]]> 0

]]> Erreur : ∫ₐᵃ = 0 exige des bornes égales ;
ici elles sont échangées : signe opposé.

]]> Calcul intégral — Q15 : Une intégrale d'exponentielle Que vaut \displaystyle\int_0^1 e^t\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ eᵗ dt = eᵇ - eᵃ. L'oubli du -F(a), surtout
quand F(a) ≠ 0 comme ici, est l'étourderie la plus
fréquente du chapitre : toujours écrire le crochet complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Borne basse oubliée : le crochet soustrait la valeur en
0, et e⁰ = 1 ne vaut pas zéro !

]]> e - 1

]]> Bonne réponse : eᵗ est sa propre primitive :
[e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72.

]]> 1 - e

]]> Signe : F(0) - F(1) = 1 - e est l'opposé du résultat ;
le crochet se lit F(1) - F(0) = e - 1, et une
intégrale de fonction positive est positive.

]]> e + 1

]]> Signe : le crochet est F(1) \textbf{−} F(0) : on
soustrait, on n'additionne pas.

]]> Calcul intégral — Q16 : Positivité de l'intégrale f est continue et positive sur [a\ ;\ b] (avec a < b). Que peut-on dire de \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt ?

]]> Positivité : f ≥ 0 sur [a\ ;\ b] (et a ≤ b)
⇒ ∫ₐᵇ f ≥ 0. Combinée à la linéarité,
elle fournit la comparaison des intégrales : le duo
théorique du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut f(b) - f(a)

]]> Confusion : F(b) - F(a) fait intervenir une
primitive F, pas la fonction elle-même.

]]> On ne peut rien dire sans calculer

]]> Erreur : c'est un théorème général (la positivité), qui
donne le signe sans aucun calcul : l'argument le plus
économique des sujets.

]]> Elle est strictement positive

]]> Trop fort : la fonction nulle est positive et son
intégrale vaut 0 : l'inégalité large est la bonne
conclusion.

]]> Elle est positive ou nulle

]]> Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de
l'axe ne peut pas être négative : la positivité passe de
la fonction à l'intégrale.

]]> Calcul intégral — Q17 : Comparer deux intégrales Sur [0\ ;\ 1], on sait que f(t) ≤ g(t) pour tout
t. Que peut-on en déduire ?

]]> Croissance : f ≤ g sur [a\ ;\ b] ⇒ ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g (pour a ≤ b). C'est l'outil des
encadrements d'intégrales qu'on ne sait pas calculer : on
encadre la fonction, on intègre l'encadrement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \geq \int_0^1 g(t)\,dt

]]> Sens renversé : intégrer ne retourne pas les
inégalités : plus la fonction est haute, plus l'aire est
grande.

]]> f(t) = g(t) quelque part

]]> Hors sujet : l'hypothèse n'exige aucun contact entre les
courbes ; la conclusion porte sur les aires.

]]> Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités

]]> Erreur : la croissance de l'intégrale est un théorème
(conséquence de la positivité appliquée à g - f).

]]> \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt

]]> Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre (dans
le sens croissant des bornes) : l'aire sous la courbe la
plus basse est la plus petite.

]]> Calcul intégral — Q18 : Une intégrale de cosinus Que vaut \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos t\,dt ?

]]> ∫ cos = sin, ∫ sin = -cos : les deux crochets
trigonométriques à connaître. \int_0^{\pi/2}\cos t\,dt = 1
est le résultat de référence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/2

]]> Erreur : π/2 est la largeur de
l'intervalle : l'aire sous le cosinus se calcule avec la
primitive sin.

]]> 0

]]> Erreur : 0 serait \int_0^{\pi} (l'arche complète
symétrique)… non : \int_0^{\pi}\cos = 0 par
compensation ; sur [0\ ;\ π/2], le cosinus
reste positif : aire 1.

]]> 1

]]> Bonne réponse : [\sin t]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}
- \sin 0 = 1 - 0 = 1 : l'arche montante du cosinus
enferme une aire exactement égale à 1.

]]> -1

]]> Signe : la primitive de cos est +sin (le moins
appartient à la primitive de sin, qui est -cos).

]]> Calcul intégral — Q19 : Intégrale d'une fonction impaire Que vaut \displaystyle\int_{-2}^{2} t^3\,dt ?

]]> Fonction impaire sur [-a\ ;\ a] : intégrale nulle, par
symétrie. Réflexe d'économie (t³, t⁵, sin…), et
leçon en creux : intégrale nulle ne signifie pas aire nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Erreur : 16 = 2⁴ est la primitive t⁴ prise sans
le facteur ¼ et évaluée à la seule borne
supérieure. La primitive de t³ est t⁴/4,
et le crochet entre -2 et 2 vaut 4 - 4 = 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : la fonction cube est impaire et
l'intervalle est centré en 0 : les aires de part et
d'autre de l'origine sont opposées et se compensent
exactement. Calcul de contrôle :
[t⁴/4]₋₂² = 4 - 4 = 0.

]]> 4

]]> Erreur : 4 = 2⁴/4 n'est qu'une moitié du
crochet : l'autre borne apporte -4… c'est-à-dire
-(-2)⁴/4 : total nul.

]]> 8

]]> Erreur : 8 = 2⁴/4 + 2⁴/4 additionne
ce qui doit se soustraire : (-2)⁴ = +16 aussi : le
crochet donne 4 - 4 = 0.

]]> Calcul intégral — Q20 : Intégrale nulle, fonction nulle ? On sait que \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0 avec
f continue. Peut-on en déduire que f est nulle sur
[-1\ ;\ 1] ?

]]> ∫ f = 0 : bilan équilibré, pas fonction nulle. Le
complément vrai : si f ≥ 0, continue, d'intégrale
nulle, alors f = 0 : c'est la positivité stricte qui
interdit la compensation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle

]]> Faux : ∫₋₁¹ t dt = 0 par imparité, et f(t) = t n'est pas la fonction nulle : la compensation des
signes fait le travail.

]]> Non, mais f doit s'annuler en 0 précisément

]]> Presque : f doit s'annuler quelque part (elle
change de signe), mais pas nécessairement en 0.

]]> Oui, si f est continue

]]> La continuité ne sauve pas l'énoncé : f(t) = t est
continue. (Le résultat devient vrai en ajoutant f ≥ 0 : là, aucune compensation possible.)

]]> Non : f(t) = t a une intégrale nulle sans être nulle

]]> Bonne réponse : les zones positives et négatives peuvent
se compenser : une intégrale nulle dit que le bilan
est équilibré, pas que la fonction est plate.

]]> Calcul intégral — Q21 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ Par intégration par parties, que vaut
\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ uv' = [uv]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u'v : choisir u = t
(qui se simplifie en dérivant) et v' = eᵗ. Résultat à
contrôler : ∫₀¹ teᵗ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Arrêt au crochet : [teᵗ]₀¹ = e, mais l'intégration
par parties retranche encore ∫₀¹ eᵗ = e - 1.

]]> e²/2

]]> Erreur : primitiver chaque facteur (t²/2,
eᵗ) puis multiplier n'est pas une règle : le produit
exige l'intégration par parties.

]]> 1

]]> Bonne réponse : u = t, v' = eᵗ : [t eᵗ]₀¹ - ∫₀¹ eᵗ dt = e - (e - 1) = 1.

]]> e - 1

]]> Incomplet : e - 1 est le terme ∫ eᵗ seul ; il
faut le soustraire du crochet [teᵗ]₀¹ = e :
e - (e - 1) = 1.

]]> Calcul intégral — Q22 : Encadrer une intégrale Sur [0\ ;\ 2], on sait que 1 ≤ f(t) ≤ 3. Quel
encadrement de \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt en
découle ?

]]> m ≤ f ≤ M sur [a\ ;\ b] ⇒ m(b-a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b-a) : l'inégalité de la moyenne.
Autrement dit, la valeur moyenne de f reste entre m et
M.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun : il faut connaître f exactement

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt de la comparaison :
encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale, sans
la calculer.

]]> 1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 3

]]> Largeur oubliée : l'encadrement de f se multiplie par
la longueur de l'intervalle (2) : c'est la valeur
moyenne qui reste entre 1 et 3.

]]> 0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 1

]]> Erreur : la fonction vaut au moins 1 sur une largeur
2 : l'aire ne peut pas être inférieure à 2.

]]> 2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 6

]]> Bonne réponse : intégrer l'encadrement : ∫₀² 1 = 2 en bas, ∫₀² 3 = 6 en haut : les bornes sont
multipliées par la largeur 2.

]]> Calcul intégral — Q23 : Dériver $x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$ Soit F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt. Que vaut
F'(x) ?

]]> Théorème fondamental : pour f continue, F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable et F' = f. Il fabrique des
primitives même quand aucune formule n'existe : c'est le cas
de e^{-t^2} (la gaussienne).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible : e^{-t^2} n'a pas de primitive explicite

]]> Confusion : pas de primitive par formule, certes,
mais la primitive existe (fonction continue) et c'est
précisément F : sa dérivée se lit sans calcul.

]]> F'(x) = -2x\,e^{-x^2}

]]> Erreur : -2xe^{-x^2} est la dérivée de e^{-x^2} :
mais F n'est pas e^{-x^2}, c'est son intégrale : la
dérivation la ramène à e^{-x^2} exactement.

]]> F'(x) = e^{-x^2}

]]> Bonne réponse : théorème fondamental : x ↦ ∫₀ˣ f(t) dt est LA primitive de f qui s'annule
en 0 : sa dérivée est f(x), ici e^{-x^2}.

]]> F'(x) = e^{-t^2}

]]> Variable fantôme : t est la variable muette
d'intégration : la dérivée s'exprime en x :
e^{-x^2}.

]]> Calcul intégral — Q24 : Aire quand la fonction change de signe Sur [0\ ;\ 2π], \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin
t\,dt = 0. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de
sinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?

]]> L'aire entre la courbe et l'axe est ∫ |f| : découper l'intervalle
aux zéros de f, intégrer morceau par morceau, sommer les
valeurs absolues. L'intégrale brute, elle, fait le bilan
algébrique : 0 ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 unités d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire se découpe aux changements de
signe : \displaystyle\int_0^{\pi}\sin t\,dt =
[-\cos t]_0^{\pi} = 2 pour l'arche au-dessus de l'axe,
et l'arche en dessous contribue autant, comptée
positivement (|-2| = 2) : total 4.

]]> 0 unité d'aire

]]> Confusion aire/intégrale : l'intégrale vaut 0 parce
qu'elle compte les zones sous l'axe négativement ;
l'aire, toujours positive, les compte en valeur absolue.

]]> 2π unités d'aire

]]> Erreur : 2π est la largeur de l'intervalle ; l'aire
se calcule avec la primitive de sin, arche par arche.

]]> 2 unités d'aire

]]> Une arche oubliée : chaque arche vaut 2 unités d'aire,
et il y en a deux sur [0\ ;\ 2π].

]]> Calcul intégral — Q25 : Une intégrale de polynôme Combien vaut \displaystyle\int_1^2 (2x + 1)\,dx ?

]]> Une intégrale se calcule en prenant une primitive, puis en soustrayant ses
valeurs aux deux bornes. Le choix de la constante est sans importance,
elle disparaît dans la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Borne inférieure oubliée : 6 est la valeur de la primitive en 2,
il reste à retrancher sa valeur en 1.

]]> 3

]]> Primitive incomplète : le terme constant 1 donne x dans la
primitive, souvent oublié.

]]> 5

]]> Valeur de la fonction : 2 × 2 + 1 donne 5, mais une intégrale
n'est pas une image.

]]> 4

]]> Bonne réponse : une primitive est x² + x, et 6 - 2 = 4.

]]> Calcul intégral — Q26 : Aire et signe de la fonction Une fonction est négative sur [a ; b]. Que représente
\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ?

]]> L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,
négative en dessous. Pour obtenir une aire géométrique, on intègre la
valeur absolue, ou l'on découpe selon le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Zéro, faute d'aire au-dessus de l'axe

]]> L'intégrale d'une fonction strictement négative n'est jamais nulle.

]]> L'aire entre la courbe et l'axe

]]> Une aire est positive, alors que cette intégrale est négative.

]]> La moitié de l'aire concernée

]]> Aucun facteur ½ n'apparaît : seul le signe distingue
l'intégrale de l'aire.

]]> L'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe

]]> Bonne réponse : l'intégrale est négative, l'aire géométrique étant sa
valeur absolue.

]]> Calcul intégral — Q27 : Calculer une valeur moyenne Quelle est la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 4] ?

]]> La valeur moyenne de f sur [a ; b] vaut
\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. C'est la hauteur du
rectangle de même aire que celle sous la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Calcul inversé : diviser 4 par 8 ne correspond à aucune étape.

]]> 2

]]> Bonne réponse : l'intégrale vaut 8, que l'on divise par l'amplitude
4.

]]> 4

]]> Borne supérieure recopiée : elle sert de diviseur, elle n'est pas le
résultat.

]]> 8

]]> Division oubliée : 8 est la valeur de l'intégrale, pas la moyenne.

]]> Calcul intégral — Q28 : Choisir les fonctions d'une intégration par parties Pour calculer \displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx par parties, que
choisit-on de dériver ?

]]> On choisit de dériver le facteur dont la dérivée se simplifie, ici le
polynôme, et de primitiver celui dont la primitive reste simple, ici
l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun, on primitive le produit

]]> Un produit n'a pas de primitive immédiate : c'est justement le rôle de
l'intégration par parties.

]]> Les deux facteurs à la fois

]]> La formule impose de dériver l'un et de primitiver l'autre, jamais les
deux.

]]> Le facteur eˣ

]]> Sa dérivée ne se simplifie pas, et l'intégrale obtenue serait plus
compliquée que celle de départ.

]]> Le facteur x

]]> Bonne réponse : sa dérivée vaut 1, ce qui simplifie l'intégrale
restante.

]]> Calcul intégral — Q29 : Découper une intégrale Sachant \displaystyle\int_0^3 f = 7 et
\displaystyle\int_0^5 f = 12, combien vaut
\displaystyle\int_3^5 f ?

]]> La relation de Chasles décompose une intégrale selon un point
intermédiaire. Elle se réarrange pour obtenir l'intégrale sur une portion
manquante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -5

]]> Sens de la soustraction : on retranche l'intégrale sur la portion la
plus courte.

]]> 2

]]> Bornes soustraites : 5 - 3 donne l'amplitude, pas la valeur de
l'intégrale.

]]> 5

]]> Bonne réponse : la relation de Chasles donne 12 - 7.

]]> 19

]]> Intégrales additionnées : elles se retranchent, la première portion
étant incluse dans la seconde.

]]> Calcul intégral — Q30 : Comparer deux intégrales sans les calculer Sur [0 ; 1], on a x³ ≤ x². Que peut-on en déduire pour
leurs intégrales sur cet intervalle ?

]]> Si f ≤ g sur [a ; b] avec a ≤ b, alors l'intégrale de f y
est inférieure à celle de g. Cette propriété sert à encadrer une
intégrale que l'on ne sait pas calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_0^1 x^3 \leq \displaystyle\int_0^1 x^2

]]> Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre sur un intervalle
parcouru dans le sens croissant.

]]> On ne peut rien conclure

]]> La croissance de l'intégrale conclut directement à partir de
l'inégalité entre les fonctions.

]]> Les deux intégrales sont égales

]]> Les deux fonctions ne coïncident qu'en 0 et en 1, l'inégalité est
stricte ailleurs.

]]> \displaystyle\int_0^1 x^3 \geq \displaystyle\int_0^1 x^2

]]> Ordre inversé : les valeurs sont ¼ et ⅓.

]]> Calcul intégral — Q31 : Retrouver une borne Pour quelle valeur strictement positive de b a-t-on
\displaystyle\int_0^b 4\,dt = 20 ?

]]> Sur [0 ; b], le domaine sous la droite d'équation y = 4 est un
rectangle de hauteur 4 et de largeur b : son aire vaut 4b.
L'égalité demandée devient une simple équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc b = 80

]]> Multiplication au lieu d'une division : de 4b = 20 on tire
b = 20/4 = 5.

]]> b = 20

]]> La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser
par la hauteur 4, ce qui donne b = 5.

]]> b = 5

]]> Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante
multipliée par la longueur de l'intervalle, soit 4b. On
résout donc 4b = 20, ce qui donne b = 5.

]]> b = 4

]]> La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est b qui mesure
l'intervalle, et il vaut 5.

]]> Calcul intégral — Q32 : Somme de deux intégrales opposées Soit f une fonction continue sur [1 ; 3]. Que vaut
\displaystyle\int_3^1 f(t)\,dt + \int_1^3 f(t)\,dt ?

]]> Par convention, \displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f. Ajouter les
deux intégrales revient donc à ajouter un nombre et son opposé, ce qui
donne 0 quelle que soit la fonction continue f.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe de
l'intégrale, donc les deux termes sont opposés et leur somme est
nulle.

]]> 2\displaystyle\int_1^3 f(t)\,dt

]]> Les deux intégrales ne sont pas égales : celle de 3 à 1 est
l'opposée de celle de 1 à 3, pas sa copie.

]]> f(3) - f(1)

]]> Confusion avec les primitives : c'est F(3) - F(1) qui intervient
dans un calcul d'intégrale, et non f(3) - f(1).

]]> \displaystyle\int_1^3 f(t)\,dt

]]> Un des deux termes a été oublié : celui de 3 à 1 ne vaut pas
zéro, il vaut l'opposé de l'autre.

]]> Calcul intégral — Q33 : Ajouter une constante à la fonction Soit f une fonction continue telle que
\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5. Que vaut
\displaystyle\int_0^3 \bigl(f(x) - 2\bigr)\,dx ?

]]> La linéarité permet d'écrire
\displaystyle\int_0^{3}(f + k) = \int_0^{3} f + \int_0^{3} k.
La seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la
constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11

]]> Signe inversé : le terme constant apporte -2 × 3, qu'il
faut ajouter à 5.

]]> -10

]]> La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,
puisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration.

]]> -1

]]> Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et
celle de la constante -2 sur [0 ; 3] vaut
-2 × 3. On obtient 5 - 6 = -1.

]]> 3

]]> La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante -2
apporte -2 × 3, et non -2.

]]> Calcul intégral — Q34 : Choisir la primitive utile Pour calculer \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\,dx, quelle
primitive de x ↦ 1/x² utilise-t-on ?

]]> Calculer une intégrale commence toujours par le choix d'une primitive,
que l'on contrôle en la dérivant. Ici 1/x² = x⁻² a pour
primitive -x⁻¹, c'est-à-dire -1/x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ ln(x²)

]]> Confusion avec 1/x : le logarithme intervient pour
l'inverse, pas pour l'inverse du carré.

]]> x ↦ -1/x

]]> Bonne réponse : la dérivée de -1/x vaut
1/x². L'intégrale vaut alors
-½ + 1 = ½.

]]> x ↦ 1/x

]]> Signe oublié : la dérivée de 1/x est
-1/x², soit l'opposé de la fonction à intégrer.

]]> x ↦ -2/x³

]]> C'est la dérivée de 1/x², pas une primitive : les deux
opérations ont été échangées.

]]> Calcul intégral — Q35 : Intégrale d'une exponentielle composée Que vaut \displaystyle\int_0^1 e^{2t}\,dt ?

]]> Une primitive de t ↦ eᵃᵗ est t \mapsto \dfrac{e^{at}}{a}.
L'intégrale vaut donc \dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}, soit
\dfrac{e^{a} - 1}{a}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e² - 1

]]> Ajustement oublié : la primitive de e²ᵗ comporte un facteur
½ que l'on ne peut pas omettre.

]]> 2\,\bigl(e^{2} - 1\bigr)

]]> Ajustement inversé : on divise par 2, puisque la dérivation de
e²ᵗ ferait sortir ce facteur.

]]> \dfrac{e^{2} - 1}{2}

]]> Bonne réponse : une primitive de e²ᵗ est
\dfrac{e^{2t}}{2}, d'où
\dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{1}{2}.

]]> \dfrac{e^{2}}{2} - 1

]]> La borne 0 a été mal traitée : elle donne
\dfrac{e^{0}}{2} = \dfrac{1}{2}, et non 1.

]]> Calcul intégral — Q36 : Une intégrale imposée Pour quelle valeur de b, supérieure à 1, a-t-on
\displaystyle\int_1^b \dfrac{1}{x}\,dx = 2 ?

]]> Sur ]0 ; +∞[, une primitive de 1/x est ln, donc
\displaystyle\int_1^b \dfrac{1}{x}\,dx = \ln b. L'équation
ln b = k se résout en appliquant l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc b = e²

]]> Bonne réponse : l'intégrale vaut ln b - ln 1 = ln b.
L'équation ln b = 2 a pour unique solution b = e².

]]> b = 2

]]> La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut
encore résoudre ln b = 2.

]]> b = 2e

]]> L'exponentielle ne se transforme pas en produit : ln b = 2
équivaut à b = e², et non à b = 2e.

]]> b = ln(2)

]]> Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait
le logarithme, donc b = e².

]]> Calcul intégral — Q37 : Calculer une intégrale avec une primitive Soit f une fonction continue sur [a ; b] et F une primitive de
f sur cet intervalle. Que vaut \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ?

]]> Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors
\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). Le choix de la
primitive est sans importance : une constante ajoutée s'élimine dans
la soustraction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(a) - F(b)

]]> Bornes inversées : on retranche la valeur en a à celle en b.
Ce choix donnerait l'opposé de l'intégrale.

]]> f(b) - f(a)

]]> C'est la primitive F, et non f, que l'on évalue aux bornes.
La fonction f ne sert qu'à la déterminer.

]]> F(b) × F(a)

]]> L'intégrale est une différence, pas un produit : elle mesure ce
que la primitive a gagné entre a et b.

]]> F(b) - F(a)

]]> Bonne réponse : l'intégrale est la variation de la primitive entre
les deux bornes, ce que l'on note
\bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a).

]]> Calcul intégral — Q38 : Aire sous une droite [Figure : Repère orthonormé avec la droite d'équation y = x + 1, qui passe
par les points de coordonnées (0 ; 1) et (3 ; 4). Le domaine
compris entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites
verticales d'abscisses 0 et 3 est colorié en bleu clair : c'est un
trapèze de bases 1 et 4 et de hauteur 3.]

La droite tracée ci-dessous est la courbe de la fonction f définie
par f(x) = x + 1. Quelle est l'aire du domaine coloré, compris entre
cette droite, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 3 ?

]]> Quand la courbe est une droite, l'aire se lit directement comme celle
d'un trapèze : (petite base + grande base) × hauteur/2. Le calcul intégral redonne ce résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9/2 unités d'aire

]]> Le +1 a été oublié : 9/2 est l'aire sous la droite
d'équation y = x, c'est-à-dire le triangle seul.

]]> 3 unités d'aire

]]> Seul le rectangle de hauteur 1 a été compté : il faut y ajouter
le triangle situé au-dessus, d'aire 4{,}5.

]]> 12 unités d'aire

]]> C'est l'aire du rectangle 3 × 4 qui contient le domaine :
la partie située au-dessus de la droite n'en fait pas partie.

]]> 7{,}5 unités d'aire

]]> Bonne réponse : le domaine est un trapèze de bases 1 et 4 et
de hauteur 3, d'aire \dfrac{(1 + 4) \times 3}{2} = 7{,}5. Le
calcul ∫₀³ (x+1) dx donne la même valeur.

]]> Calcul intégral — Q39 : Lire le signe à partir de l'intégrale Une fonction f est continue sur [0 ; 2] et vérifie
\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt = -1. Que peut-on affirmer ?

]]> La positivité de l'intégrale se lit dans un seul sens : une fonction
positive a une intégrale positive. Par contraposée, une intégrale
strictement négative interdit à f de rester positive partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de f reste totalement indéterminé

]]> On sait au moins une chose : f ne peut pas rester positive sur
tout l'intervalle, sans quoi l'intégrale le serait.

]]> f est négative sur tout l'intervalle [0 ; 2]

]]> Trop fort : la fonction peut être positive par endroits, pourvu
que la partie négative l'emporte sur l'ensemble.

]]> f prend des valeurs strictement négatives

]]> Bonne réponse : si f était positive sur tout l'intervalle, son
intégrale le serait aussi. Une intégrale négative impose donc au
moins une valeur strictement négative.

]]> f est positive sur au moins une partie de [0 ; 2]

]]> Rien ne l'impose : une fonction négative partout convient aussi et
donne bien une intégrale négative.

]]> Calcul intégral — Q40 : Intégrale d'une fonction paire La fonction f est continue et paire sur ℝ, et
\displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt = 4. Que vaut
\displaystyle\int_{-3}^{3} f(t)\,dt ?

]]> Pour une fonction paire, \displaystyle\int_{-a}^{a} f =
2\int_0^{a} f : les deux moitiés du domaine sont symétriques par
rapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> C'est le résultat pour une fonction impaire, dont les deux
moitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter.

]]> 8

]]> Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la
même contribution : 2 × 4 = 8.

]]> 4

]]> Une seule moitié a été comptée : l'intervalle
[-3 ; 3] est deux fois plus long que [0 ; 3].

]]> 12

]]> La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie
double l'intégrale, quelle que soit la valeur de 3.

]]> Calcul intégral — Q41 : Reconnaître une fonction impaire Que vaut \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{t}{t^2 + 1}\,dt ?

]]> Sur un intervalle symétrique [-a ; a], l'intégrale d'une fonction
impaire est nulle. Repérer cette parité évite tout calcul : ici
f(-t) = -f(t) pour tout réel t.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : la fonction est impaire, car remplacer t par
-t change le numérateur en son opposé sans toucher au
dénominateur. Sur un intervalle symétrique, les deux moitiés se
compensent.

]]> ½ln 2

]]> La primitive ½ln(t²+1) est correcte, mais elle
prend la même valeur en -1 et en 1 : la différence est nulle.

]]> 2ln 2

]]> Les deux moitiés ont été ajoutées comme pour une fonction paire,
alors qu'ici elles sont de signes contraires.

]]> ln 2

]]> C'est ce que donnerait la primitive évaluée en 1 seulement : la
borne -1 fournit exactement la même valeur, qui se retranche.

]]> Calcul intégral — Q42 : Somme de deux rectangles On approche \displaystyle\int_0^2 x^2\,dx en découpant
[0 ; 2] en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur
chacun, la hauteur du rectangle au bord droit. Que vaut la somme
des aires de ces deux rectangles ?

]]> La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des
rectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et
une fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur 2/2
et pour hauteurs respectives
(2/2)² et 2², d'où la somme 5.

]]> 10

]]> La largeur a été prise égale à 2 au lieu de 2/2 :
le résultat obtenu est deux fois trop grand.

]]> 8/3

]]> C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles
n'en donne qu'une approximation, ici par excès.

]]> 1

]]> Les hauteurs ont été prises au bord gauche : le premier
rectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut 1.

]]> Calcul intégral — Q43 : Aire entre une parabole et une droite Les courbes de f(x) = x² et de g(x) = 3x se coupent aux points
d'abscisses 0 et 3, et g(x) ≥ f(x) sur [0 ; 3].
Quelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?

]]> Lorsque g ≥ f sur [α ; β], l'aire entre les deux
courbes vaut \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\bigl(g(x) -
f(x)\bigr)\,dx. On intègre toujours la différence, jamais les deux
aires séparément.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9/4 unités d'aire

]]> Une division de trop : la différence des deux aires vaut 9/2, il
n'y a pas lieu de la partager ensuite.

]]> 9/2 unités d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire vaut
\displaystyle\int_0^{3}\bigl(3x - x^2\bigr)\,dx =
\dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}.

]]> 27/2 unités d'aire

]]> Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore
retirer celle qui se trouve sous la parabole.

]]> 9 unités d'aire

]]> C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est
compris entre les deux courbes.

]]> Calcul intégral — Q44 : Fonction positive d'intégrale nulle Une fonction f est continue et positive sur [0 ; 1], et
\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 0. Que peut-on en déduire ?

]]> Pour une fonction continue et positive, l'intégrale mesure une aire :
elle ne peut s'annuler que si cette aire est vide, donc si la fonction
est nulle sur tout l'intervalle. La continuité est indispensable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f est nulle sur [0 ; 1]

]]> Bonne réponse : si f prenait une valeur strictement positive,
sa continuité la maintiendrait positive sur tout un intervalle
autour de ce point, ce qui donnerait une aire strictement
positive.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître f

]]> La conclusion est au contraire complète : positivité et intégrale
nulle forcent la fonction à être nulle partout.

]]> f s'annule seulement en 0 et en 1

]]> Beaucoup trop peu : s'annuler en deux points isolés laisserait une
aire strictement positive entre les deux.

]]> f change de signe sur [0 ; 1]

]]> L'énoncé l'interdit : la fonction est positive, aucune
compensation entre parties positives et négatives n'est possible.

]]> Calcul intégral — Q45 : Intégrale d'un sinus sur une arche Que vaut \displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin t\,dt ?

]]> Une primitive de sin est -cos, donc
\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\,dt = -\cos\pi + \cos 0 = 2. Un
coefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : une primitive de 2sin t est
-2cos t, d'où
-2cos π + 2cos 0 = 2 + 2 = 4.

]]> 2π

]]> La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une
fonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche.

]]> 2

]]> Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs
-2cos π et 2cos 0 s'ajoutent toutes les deux.

]]> 0

]]> C'est le résultat sur [0 ; 2π], où les deux arches se
compensent. Sur [0 ; π], le sinus reste positif.

]]> Calcul intégral — Q46 : Une suite d'intégrales Pour tout entier naturel n, on pose
I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,dx. Que peut-on dire de la suite
(Iₙ) ?

]]> Même sans calcul, on voit que (Iₙ) est décroissante, car
xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ sur [0 ; 1], et minorée par 0, car
xⁿ ≥ 0 ; elle converge donc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (Iₙ) est croissante, car xⁿ augmente avec n

]]> Erreur : pour 0 ≤ x ≤ 1, on a xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ ; la
suite est décroissante.

]]> Iₙ = 1/n + 1, donc (Iₙ) tend vers 0

]]> Bonne réponse : une primitive de xⁿ est \dfrac{x^{n+1}}{n + 1},
d'où Iₙ = 1/n + 1, qui tend vers 0.

]]> Iₙ = 1/n, donc (Iₙ) tend vers 0

]]> Erreur : une primitive de xⁿ est \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} ;
d'ailleurs I₀ = 1, alors que 1/0 n'existe pas.

]]> Iₙ = 1 pour tout n, car 1ⁿ = 1

]]> Erreur : xⁿ ne vaut 1 qu'en x = 1 ; sur [0 ; 1[, il est
strictement inférieur à 1.

]]> Calcul intégral — Q47 : Une relation de récurrence par parties Pour tout entier naturel n, on pose
I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx. Une intégration par
parties donne une relation entre Iₙ₊₁ et Iₙ. Laquelle ?

]]> Avec I₀ = e - 1, la relation donne I₁ = e - (e - 1) = 1, ce
que l'on vérifie par un calcul direct.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Iₙ₊₁ = e + (n + 1) Iₙ

]]> Erreur de signe : la formule d'intégration par parties
retranche l'intégrale de u'v.

]]> Iₙ₊₁ = e - (n + 1) Iₙ

]]> Bonne réponse : avec u = xⁿ⁺¹ et v' = eˣ, on obtient
Iₙ₊₁ = [xⁿ⁺¹eˣ]₀¹ - (n + 1) Iₙ, et le
crochet vaut e.

]]> Iₙ₊₁ = (n + 1) Iₙ

]]> Erreur : le terme entre crochets, [xⁿ⁺¹eˣ]₀¹ = e,
a été oublié.

]]> Iₙ₊₁ = e - n Iₙ

]]> Erreur : la dérivée de xⁿ⁺¹ est (n + 1)xⁿ, pas nxⁿ.

]]> Calcul intégral — Q48 : Intégrale lue comme une aire [Figure : Fonction affine par morceaux : segment de (0 ; 1) à (2 ; 3), puis
segment horizontal de (2 ; 3) à (4 ; 3). Le domaine sous la courbe
entre 0 et 4 est grisé.]

La fonction f représentée ci-contre est positive sur
[0 ; 4]. Que vaut \displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx ?

]]> Pour une fonction positive, l'intégrale est l'aire du domaine sous
la courbe, en unités d'aire ; on la découpe en figures simples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : un trapèze d'aire (1 + 3) × 2/2 = 4, puis un rectangle d'aire 3 × 2 = 6.

]]> 3

]]> Erreur : 3 est la valeur maximale de f, pas une aire.

]]> 8

]]> Erreur : la première partie est un trapèze d'aire 4, pas un
triangle d'aire 2.

]]> 12

]]> Erreur : 3 × 4 = 12 est l'aire du rectangle qui contient
le domaine.

]]>