$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Continuité Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la
dérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction
continue (suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ)), théorème des
valeurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,
méthode de dichotomie.

]]> Continuité — Q01 : Continuité en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a.
Que signifie « f est continue en a » ?

]]> Définition : f est continue en a si
\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Trois exigences en une : la
fonction est définie en a, la limite existe, et les deux
coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f est définie en a

]]> Insuffisant : une fonction peut être définie en a avec un
saut (par exemple f(x) = -1 si x < 0, f(x) = 1 si
x ≥ 0, définie en 0 mais discontinue).

]]> \lim\limits_{x \to a} f(x) existe

]]> Incomplet : il faut de plus que cette limite soit égale
à f(a). Une limite existante mais différente de f(a)
laisse un point décroché.

]]> f est dérivable en a

]]> Erreur de sens : la dérivabilité entraîne la continuité,
mais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse
(valeur absolue en 0).

]]> \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)

]]> Bonne réponse : la limite en a existe et coïncide avec
la valeur f(a). Graphiquement, la courbe se trace sans
lever le crayon au voisinage de a.

]]> Continuité — Q02 : Continuité et dérivabilité Quelle affirmation est vraie ?

]]> Hiérarchie à retenir : dérivable ⇒ continue, mais
continue \not\Rightarrow dérivable. Contre-exemple canonique :
x ↦ |x| en 0 (continue, point anguleux).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Continuité et dérivabilité sont équivalentes

]]> Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur
absolue est continue partout sans être dérivable en 0.

]]> Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle

]]> Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité
est une exigence plus forte que la continuité.

]]> Une fonction continue n'est jamais dérivable

]]> Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,
exponentielle…) sont continues. Les deux propriétés
coexistent très souvent.

]]> Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle

]]> Faux : x ↦ |x| est continue sur ℝ mais
pas dérivable en 0 (la courbe a un point anguleux).

]]> Continuité — Q03 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur [1 ; 4] avec f(1) = -2 et
f(4) = 5. Que peut-on affirmer sur l'équation f(x) = 0 ?

]]> TVI : si f est continue sur [a ; b], alors f prend
toute valeur comprise entre f(a) et f(b) au moins une fois.
Ici 0 ∈ [-2 ; 5], donc f(x) = 0 a au moins une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet exactement une solution dans [1 ; 4]

]]> Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser
l'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse
supplémentaire.

]]> Elle admet au moins une solution dans [1 ; 4]

]]> Bonne réponse : 0 est compris entre f(1) = -2 et
f(4) = 5, et f est continue : le théorème des valeurs
intermédiaires garantit au moins un antécédent de 0.

]]> Elle n'admet aucune solution

]]> Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une
valeur positive en restant continue ; elle ne peut pas
« sauter » par-dessus 0.

]]> On ne peut rien dire sans connaître l'expression de f

]]> Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs
intermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des
valeurs aux bornes, sans formule.

]]> Continuité — Q04 : Unicité de la solution Soit f continue et strictement croissante sur
[1 ; 4], avec f(1) = -2 et f(4) = 5. Que peut-on dire
de l'équation f(x) = 0 ?

]]> Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : f
continue et strictement monotone sur [a ; b], avec k
compris entre f(a) et f(b) : l'équation f(x) = k admet
une unique solution dans [a ; b].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle peut ne pas avoir de solution

]]> Erreur : 0 est entre f(1) = -2 et f(4) = 5 et f est
continue : l'existence est garantie.

]]> La solution est x = 2{,}5, milieu de l'intervalle

]]> Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le
théorème donne existence et unicité, pas la valeur (on
l'approche ensuite, par exemple par dichotomie).

]]> Elle admet une unique solution dans [1 ; 4]

]]> Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs
intermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la
fonction ne peut pas repasser deux fois par la même
valeur).

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Impossible : une fonction strictement croissante prend
chaque valeur au plus une fois ; deux antécédents de 0
contrediraient la croissance stricte.

]]> Continuité — Q05 : L'hypothèse de continuité est essentielle Soit f définie sur [0 ; 2] (mais pas nécessairement
continue) avec f(0) = -1 et f(2) = 1. L'équation
f(x) = 0 a-t-elle forcément une solution ?

]]> Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la
continuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier
qui vaut -1 puis 1 change de signe sans s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème exige la continuité. Sans elle, sa
conclusion s'effondre : une fonction en escalier change de
signe sans s'annuler.

]]> Non, la fonction peut sauter par-dessus 0

]]> Bonne réponse : sans continuité, par exemple f(x) = -1
sur [0 ; 1[ et f(x) = 1 sur [1 ; 2] change de
signe sans jamais s'annuler. La continuité est une
hypothèse indispensable du théorème.

]]> Oui, car f change de signe entre 0 et 2

]]> Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une
fonction continue. Une fonction discontinue peut passer
de -1 à 1 d'un coup.

]]> Oui, à condition que f soit croissante

]]> Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut
sauter par-dessus 0 (escalier croissant de -1 à 1).
C'est bien la continuité qui interdit le saut.

]]> Continuité — Q06 : Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ Soit f une fonction continue sur ℝ et (uₙ) la
suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ). On suppose que (uₙ)
converge vers un réel \ell. Que vérifie \ell ?

]]> Si u_n \to \ell et f est continue en \ell, alors
f(u_n) \to f(\ell). Or f(u_n) = u_{n+1} \to \ell. Par
unicité de la limite : f(\ell) = \ell.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(\ell) = 0

]]> Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la
limite (et f n'est même pas supposée dérivable). La
propriété utilisée est la continuité.

]]> \ell = u_0

]]> Erreur : la suite évolue à partir de u₀, elle n'a aucune
raison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation
de point fixe.

]]> f(\ell) = \ell

]]> Bonne réponse : par continuité de f, en passant à la
limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ), on obtient
\ell = f(\ell) : la limite est un point fixe de f.

]]> f(\ell) = 0

]]> Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de f. Le
passage à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ) donne
\ell = f(\ell), pas f(\ell) = 0.

]]> Continuité — Q07 : Une étape de dichotomie Soit f continue et strictement croissante sur [1 ; 2],
avec f(1) < 0 < f(2). On calcule f(1{,}5) < 0. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de f(x) = 0 ?

]]> Dichotomie : on évalue f au milieu m de l'intervalle. Si
f(m) a le même signe que la borne gauche, la racine est dans
[m ; b] ; sinon dans [a ; m]. Ici f(1{,}5) < 0 comme
f(1) : on garde [1{,}5\,;\,2].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [1\,;\,1{,}5]

]]> Erreur de lecture des signes : sur [1\,;\,1{,}5], la
fonction reste négative aux deux bornes (f(1) < 0 et
f(1{,}5) < 0) : pas de traversée de zéro garantie là.

]]> [1{,}5\,;\,2]

]]> Bonne réponse : le changement de signe se produit entre
f(1{,}5) < 0 et f(2) > 0 : la racine est dans la moitié
droite.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de
f au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient
la racine.

]]> [1{,}25\,;\,1{,}75]

]]> Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour
du milieu, elle choisit la moitié où le signe change.

]]> Continuité — Q08 : Continuité des fonctions usuelles Laquelle de ces fonctions est continue sur ℝ tout
entier ?

]]> Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les
fonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,
racine, inverse…). Pour être continue sur ℝ, il
faut d'abord être définie sur ℝ : seul le polynôme
convient ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ √x

]]> Erreur : la racine carrée n'est définie que sur
[0 ; +∞[, elle ne peut pas être continue sur
ℝ entier.

]]> x ↦ x³ - 2x + 1

]]> Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur
ℝ, comme les fonctions exponentielle, sinus et
cosinus.

]]> La fonction qui vaut -1 si x < 0 et 1 si x ≥ 0

]]> Erreur : cette fonction saute de -1 à 1 en 0 : elle
est définie sur ℝ mais discontinue en 0.

]]> x ↦ 1/x

]]> Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en 0, elle
n'est donc pas continue sur ℝ (elle l'est sur
chacun des intervalles ]-∞ ; 0[ et
]0 ; +∞[).

]]> Continuité — Q09 : Localiser la solution après un calcul Soit f continue et strictement croissante sur [0 ; 1],
avec f(0) = -1 et f(1) = 3. On note α l'unique
solution de f(x) = 0. Sachant que f(0{,}5) = 0{,}8, que
peut-on dire de α ?

]]> On encadre α par les points où f change de signe :
f(0) < 0 < f(0{,}5) et f strictement croissante donnent
\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[. Chaque nouvelle évaluation de f
resserre l'encadrement (principe de la dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[

]]> Erreur de lecture : f(0{,}5) = 0{,}8 > 0 signifie qu'en
0{,}5 la fonction a déjà dépassé 0. Comme elle
croît, elle s'est annulée avant.

]]> \alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[

]]> Bonne réponse : f(0) = -1 < 0 et f(0{,}5) = 0{,}8 > 0 :
le changement de signe (donc α) se situe entre 0 et
0{,}5.

]]> \alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[

]]> Trop précis : le seul calcul disponible localise α
entre 0 et 0{,}5. Resserrer davantage exigerait
d'évaluer f en d'autres points.

]]> \alpha = 0{,}8

]]> Confusion : 0{,}8 est la valeur f(0{,}5), une
ordonnée. α est une abscisse, l'endroit où f
s'annule.

]]> Continuité — Q10 : Image d'une suite convergente Soit f une fonction continue en 2 avec f(2) = 7, et
(uₙ) une suite qui converge vers 2. Que peut-on dire de la
suite (f(uₙ)) ?

]]> Propriété clé (au programme) : si uₙ → a et f est
continue en a, alors f(uₙ) → f(a). C'est elle qui
justifie le passage à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle converge vers 2

]]> Erreur : 2 est la limite des antécédents uₙ. La
suite des images f(uₙ) se rapproche de l'image de 2,
c'est-à-dire 7.

]]> Elle converge vers f(7)

]]> Erreur : 7 est déjà une image (f(2) = 7) ; il n'y a
aucune raison de réappliquer f.

]]> On ne peut rien dire sans monotonie de f

]]> Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en
2 suffit à transporter la convergence des uₙ vers
celle des f(uₙ).

]]> Elle converge vers 7

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la
continuité : uₙ → 2 et f continue en 2 entraînent
f(uₙ) → f(2) = 7.

]]> Continuité — Q11 : Nombre de solutions d'après un tableau de variations Une fonction f, continue sur [0 ; 4], croît strictement
de f(0) = -3 à f(2) = 5, puis décroît strictement de
f(2) = 5 à f(4) = 1. Combien l'équation f(x) = 0
admet-elle de solutions sur [0 ; 4] ?

]]> Méthode : appliquer le corollaire du TVI sur chaque intervalle
de monotonie, en vérifiant si 0 est compris entre les
valeurs aux bornes. Branche montante [-3 ; 5] : une
solution. Branche descendante [1 ; 5] : 0 n'y figure pas,
aucune solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Erreur : sur [0 ; 2], f passe de -3 (négatif) à 5
(positif) en étant continue : elle s'annule forcément.

]]> Exactement deux

]]> Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche
décroissante, f va de 5 à 1 sans traverser 0.
Il faut comparer 0 aux valeurs extrêmes de chaque branche.

]]> Une infinité

]]> Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de
repasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions
se comptent branche par branche.

]]> Exactement une

]]> Bonne réponse : sur [0 ; 2], f passe de -3 à 5 en
croissant strictement : une unique solution. Sur
[2 ; 4], f reste entre 5 et 1, toujours
strictement positive : aucune solution.

]]> Continuité — Q12 : Ce que dit exactement le théorème Soit f continue sur [a ; b]. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le TVI est un théorème d'existence : chaque valeur
intermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni
unicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut
des calculs, par exemple une dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f est strictement monotone sur [a ; b]

]]> Erreur : la monotonie est une hypothèse supplémentaire
qu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même
n'en dit rien.

]]> Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte
exactement une fois

]]> Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être
atteinte plusieurs fois (courbe qui oscille).

]]> f ne prend aucune valeur en dehors de
[f(a) ; f(b)]

]]> Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à
l'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le
théorème parle des valeurs intermédiaires, pas d'un
encadrement de f.

]]> Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte
au moins une fois sur [a ; b]

]]> Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur
intermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur
position.

]]> Continuité — Q13 : Une fonction en escalier La fonction partie entière (qui à x associe le plus grand
entier inférieur ou égal à x) est-elle continue en 2 ?

]]> La partie entière est en escalier : discontinue en chaque
entier (saut de hauteur 1), continue partout ailleurs.
L'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique
pas « continue ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car elle n'est pas définie en 2

]]> Diagnostic faux : elle est parfaitement définie
(\lfloor 2 \rfloor = 2) : c'est le saut à gauche
qui casse la continuité.

]]> Oui : elle est définie en 2

]]> Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité
exige que les valeurs voisines rejoignent la valeur
au point, or à gauche elles restent à 1.

]]> Non : elle saute de 1 à 2 en x = 2

]]> Bonne réponse : juste avant 2 (x = 1{,}99), elle
vaut 1 ; en 2, elle vaut 2 : le saut interdit de
tracer la courbe sans lever le crayon.

]]> Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues

]]> Erreur : la partie entière est justement LE
contre-exemple usuel : continue nulle part sur les
entiers.

]]> Continuité — Q14 : Raccorder deux expressions en un point La fonction f est définie sur ℝ par f(x) = x² + a si x < 2 et f(x) = 3x si x ≥ 2. Pour quelle valeur du réel a la fonction f est-elle continue en 2 ?

]]> f est continue en 2 lorsque f(x) tend vers f(2) quand x tend vers 2. À droite, 3x tend vers 6, qui est f(2) ; à gauche, x² + a tend vers 4 + a. Il faut donc 4 + a = 6, soit a = 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a = 6

]]> Le terme x² a été oublié : à gauche de 2, f(x) tend vers 2² + a = 4 + a, et non vers a.

]]> a = 10

]]> Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche 4 + a soit égale à f(2) = 6.

]]> a = 2

]]> Bonne réponse : à gauche de 2, f(x) tend vers 4 + a, et f(2) = 6 ; la continuité en 2 impose 4 + a = 6.

]]> a = -2

]]> Erreur de signe : 4 + a = 6 donne a = 6 - 4 = 2.

]]> Continuité — Q15 : Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$ Soit f(x) = x³ + x - 1. Pourquoi l'équation f(x) = 0
admet-elle une solution dans [0\ ;\ 1] ?

]]> Schéma de rédaction TVI : 1) f continue ; 2) f(a) et
f(b) calculées, de signes opposés ; 3) conclusion
d'existence. (Ici f' = 3x² + 1 > 0 offre en prime
l'unicité : corollaire du TVI.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que f(0{,}5) = 0 exactement

]]> Faux : f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 : le
TVI garantit l'existence sans exhiber la valeur.

]]> Parce que f est strictement croissante sur [0 ; 1]

]]> Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro
(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la
croissance ajoutera l'unicité.

]]> Par le TVI : f continue, f(0) < 0 < f(1)

]]> Bonne réponse : le trio complet, continuité plus valeurs
de signes opposés aux bornes, f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : la courbe doit traverser l'axe entre 0 et
1.

]]> Tout polynôme s'annule quelque part

]]> Faux en général : x² + 1 ne s'annule jamais. C'est le
changement de signe observé qui fait fonctionner le
théorème.

]]> Continuité — Q16 : Encadrer la solution par balayage f est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0 et
f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0. Que peut-on conclure sur la
solution α de f(x) = 0 ?

]]> Balayage : tableau de valeurs au pas 10⁻ⁿ, repérer le
changement de signe : encadrement d'amplitude 10⁻ⁿ.
(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par 2
à chaque étape.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \alpha = 1{,}325 exactement

]]> Trop précis : le milieu de l'intervalle est une
approximation raisonnable, pas la valeur exacte : le
balayage ne donne que des encadrements.

]]> 1{,}32 < \alpha < 1{,}33

]]> Bonne réponse : un encadrement d'amplitude 10⁻².
Changement de signe entre deux valeurs consécutives du
balayage : α est coincé dans cet intervalle.

]]> \alpha = 1{,}33

]]> Erreur : 1{,}33 est la valeur où f devient positive,
mais f(1{,}33) > 0 strictement : le zéro est franchi
avant 1{,}33, quelque part dans l'intervalle.

]]> Rien, la calculatrice ne prouve rien

]]> Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les
calculs de la machine fournissent un encadrement
parfaitement rigoureux.

]]> Continuité — Q17 : Le corollaire du TVI f est continue et strictement croissante sur
[2\ ;\ 5], avec f(2) = -3 et f(5) = 4. Combien de
solutions l'équation f(x) = 1 a-t-elle dans [2\ ;\ 5] ?

]]> Corollaire du TVI : si f est continue et strictement monotone sur [a\ ;\ b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a exactement UNE solution dans [a\ ;\ b]. Le mot « exactement » vaut des points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : 1 n'est ni f(2) ni f(5)

]]> Contresens du théorème : le TVI affirme justement que
les valeurs intermédiaires entre f(2) et f(5)
sont toutes atteintes.

]]> Au moins une, peut-être plusieurs

]]> Version faible : c'est le TVI sans monotonie ; la
stricte croissance interdit tout second passage :
exactement une.

]]> Exactement une, car 1 est compris entre -3 et 4

]]> Bonne réponse : existence par le TVI (1 ∈ [-3\ ;\ 4]), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne
peut pas repasser deux fois par la même valeur).

]]> Deux : une en montant, une en descendant

]]> Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement
croissante) : un seul franchissement du niveau 1.

]]> Continuité — Q18 : Sans continuité, le TVI s'effondre Une fonction f définie sur [0\ ;\ 2] vérifie f(0) = -1
et f(2) = 1, mais l'équation f(x) = 0 n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?

]]> L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle
qui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.
Toute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,
sous peine d'appliquer un théorème faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est impossible : le TVI l'interdit

]]> Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues :
l'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est
pas.

]]> f prend des valeurs complexes entre les deux

]]> Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs
réelles : l'explication est le saut d'une fonction
discontinue.

]]> f n'est pas définie sur tout l'intervalle

]]> Contradiction avec l'énoncé : f est définie sur [0\ ;\ 2], avec f(0) = -1 ; c'est la continuité, pas la
définition, qui manque.

]]> f n'est pas continue sur [0\ ;\ 2]

]]> Bonne réponse : elle saute par-dessus la valeur 0.
Sans continuité, rien n'oblige à passer par les valeurs
intermédiaires : une fonction en escalier (par exemple
-1 puis 1) enjambe le zéro.

]]> Continuité — Q19 : Repérer une discontinuité sur une courbe Sur une courbe, à quoi reconnaît-on qu'une fonction n'est pas continue
en un point ?

]]> Une discontinuité se voit à un saut du tracé. Un angle, un extremum ou un
passage par zéro n'ont, eux, aucune incidence sur la continuité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe change de sens de variation

]]> Un changement de sens décrit un extremum, compatible avec la
continuité.

]]> La courbe présente un saut en ce point

]]> Bonne réponse : les valeurs à gauche et à droite ne se rejoignent pas,
le tracé impose de lever le crayon.

]]> La courbe présente un angle en ce point

]]> Un angle signale une non-dérivabilité : la valeur absolue reste
continue en 0.

]]> La courbe coupe l'axe des abscisses

]]> Traverser l'axe est le comportement le plus banal, et il n'empêche
nullement la continuité.

]]> Continuité — Q20 : Combien de solutions garantit le théorème Une fonction continue sur [0 ; 5] vérifie f(0) = -2 et
f(5) = 7. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une
solution. Son corollaire, qui ajoute la stricte monotonie, garantit en
outre l'unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution à f(x) = 0

]]> Le changement de signe entre les deux bornes impose au contraire un
passage par zéro.

]]> Au moins une solution à f(x) = 0

]]> Bonne réponse : le théorème assure l'existence, l'unicité exigeant en
plus la stricte monotonie.

]]> Exactement deux solutions à f(x) = 0

]]> Le théorème ne compte jamais les solutions : il en garantit
l'existence.

]]> Exactement une solution à f(x) = 0

]]> L'unicité demande la stricte monotonie, dont l'énoncé ne dit rien.

]]> Continuité — Q21 : Une fonction continue sur son ensemble Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle continue ?

]]> Les fonctions usuelles, polynômes, exponentielle, logarithme, inverse,
racine, sinus, cosinus, sont continues sur tout intervalle de leur
ensemble de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur aucun intervalle, à cause du saut en 0

]]> Il n'y a pas de saut : la fonction n'est simplement pas définie en 0,
et sa courbe est continue de part et d'autre.

]]> Sur ℝ tout entier

]]> Elle n'est pas définie en 0, la continuité n'y a donc aucun sens.

]]> Sur ℝ privé de 0

]]> Bonne réponse : elle est continue partout où elle est définie, donc sur
chacun des deux intervalles.

]]> Sur ]0 ; +∞[ seulement

]]> Elle est tout aussi continue sur les nombres négatifs, où sa courbe est
d'un seul tenant.

]]> Continuité — Q22 : Réduire l'intervalle par dichotomie Une solution est localisée dans [1 ; 2]. Après trois étapes de
dichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?

]]> La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après n
étapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par 2ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}333

]]> Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en
trois.

]]> 0{,}125

]]> Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit
1/2³.

]]> 0{,}25

]]> Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux.

]]> 0{,}5

]]> Une seule étape prise en compte : il en reste deux.

]]> Continuité — Q23 : Une hypothèse manquante Quelle hypothèse ajoute-t-on au théorème des valeurs intermédiaires
pour obtenir l'unicité de la solution ?

]]> Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ajoute la stricte
monotonie, ce qui transforme l'existence en existence et unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La dérivabilité sur l'intervalle

]]> La dérivabilité sert souvent à établir la monotonie, mais elle ne suffit
pas à elle seule.

]]> La positivité de la fonction

]]> Le signe de la fonction n'a aucun rapport avec le nombre de solutions.

]]> La stricte monotonie sur l'intervalle

]]> Bonne réponse : une fonction strictement monotone ne peut pas prendre
deux fois la même valeur.

]]> La convexité sur l'intervalle

]]> Une fonction convexe peut prendre deux fois la même valeur, de part et
d'autre de son minimum.

]]> Continuité — Q24 : Continuité et suite convergente Une suite (uₙ) converge vers \ell et f est continue en
\ell. Vers quoi tend (f(uₙ)) ?

]]> La continuité en \ell autorise l'écriture
lim f(uₙ) = f(lim uₙ). C'est ce qui permet de déterminer la limite
d'une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle peut ne pas converger

]]> La continuité garantit la convergence de la suite image.

]]> Vers \ell

]]> La fonction transforme les termes : la limite obtenue est l'image de
\ell, pas \ell lui-même.

]]> Vers f(\ell)

]]> Bonne réponse : la continuité permet de faire passer la limite à
l'intérieur de la fonction.

]]> Vers 0

]]> Aucune raison : si f est la fonction carré et \ell = 3, la limite
vaut 9.

]]> Continuité — Q25 : Compter les solutions sur un tableau Une fonction continue décroît de 5 à -1 sur [0 ; 3], puis
croît de -1 à 4 sur [3 ; 8]. Combien l'équation f(x) = 2
a-t-elle de solutions ?

]]> On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque
intervalle de stricte monotonie, puis on additionne les solutions
obtenues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois

]]> Le tableau ne comporte que deux phases monotones, donc au plus deux
solutions.

]]> Deux

]]> Bonne réponse : la valeur 2 est encadrée par les valeurs extrêmes de
chacune des deux phases.

]]> Aucune

]]> La valeur 2 appartient à l'intervalle [-1 ; 5], elle est donc
bien atteinte.

]]> Une seule

]]> Chaque phase de monotonie fournit une solution, puisque 2 y est
encadré.

]]> Continuité — Q26 : Continue sans être dérivable Quelle fonction est continue en 0 sans y être dérivable ?

]]> Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Un
point anguleux donne un exemple de continuité sans dérivabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'exponentielle

]]> Elle est dérivable sur tout ℝ, et sa dérivée est
elle-même.

]]> La fonction carré

]]> Elle est dérivable partout, de dérivée 2x.

]]> La fonction inverse

]]> Elle n'est même pas définie en 0, donc ni continue ni dérivable en ce
point.

]]> La valeur absolue

]]> Bonne réponse : sa courbe forme un angle en 0, sans saut mais sans
tangente unique.

]]> Continuité — Q27 : Encadrer une solution Pour f continue et strictement croissante, on trouve
f(1{,}3) < 0 et f(1{,}4) > 0. Où se situe la solution de
f(x) = 0 ?

]]> Un balayage repère l'intervalle où la fonction change de signe. En
raffinant le pas, on encadre la solution avec la précision voulue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas la localiser

]]> Le changement de signe fournit précisément un encadrement au dixième
près.

]]> En dessous de 1{,}3

]]> La stricte croissance impose que f y soit encore plus négative.

]]> Au-dessus de 1{,}4

]]> La fonction y est déjà positive et continue de croître.

]]> Entre 1{,}3 et 1{,}4

]]> Bonne réponse : le changement de signe localise la solution entre ces
deux valeurs.

]]> Continuité — Q28 : Compter les solutions de $x^3 - 3x = 1$ Combien de solutions réelles l'équation x³ - 3x = 1 admet-elle ?

]]> On étudie g(x) = x³ - 3x : g'(x) = 3x² - 3 s'annule en -1 et en 1. Sur ]-∞\ ;\ -1], g croît de -∞ à 2 ; sur [-1\ ;\ 1], elle décroît de 2 à -2 ; sur [1\ ;\ +∞[, elle croît de -2 à +∞. Sur chaque intervalle, g est continue et strictement monotone et 1 est une valeur intermédiaire : une solution par intervalle, soit trois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> L'équation n'a pas de solution évidente, mais g(x) = x³ - 3x est continue et passe de 2 en -1 à -2 en 1 : le TVI garantit une solution dans ]-1\ ;\ 1[, et deux autres existent hors de cet intervalle.

]]> Trois

]]> Bonne réponse : g(x) = x³ - 3x a pour dérivée 3(x - 1)(x + 1). g croît de -∞ à g(-1) = 2, décroît jusqu'à g(1) = -2, puis croît vers +∞ ; la valeur 1 est atteinte une fois sur chacun des trois intervalles.

]]> Une seule

]]> Le corollaire du TVI s'applique séparément sur chaque intervalle où g(x) = x³ - 3x est strictement monotone : il y en a trois, et 1 est atteint sur chacun, car g(-1) = 2 et g(1) = -2.

]]> Deux

]]> Deux est le nombre de changements de variation de g(x) = x³ - 3x (en -1 et en 1), pas le nombre de solutions : ces changements délimitent trois intervalles de stricte monotonie.

]]> Continuité — Q29 : Non continue, donc non dérivable Une fonction f est définie sur un intervalle I contenant le réel a, et elle n'est pas continue en a. Que peut-on en déduire ?

]]> Le programme affirme que toute fonction dérivable est continue. Par contraposée, une fonction qui n'est pas continue en a n'est pas dérivable en a. La réciproque est fausse : la racine carrée est continue en 0 sans y être dérivable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe admet une asymptote verticale en a

]]> Pas nécessairement : la fonction égale à 0 sur ]-∞\ ;\ 1[ et à 1 sur [1\ ;\ +∞[ n'est pas continue en 1, et sa courbe n'a aucune asymptote verticale.

]]> f n'est pas dérivable en a

]]> Bonne réponse : toute fonction dérivable en a est continue en a. Si f était dérivable en a, elle y serait continue, ce qui est exclu.

]]> f n'est dérivable en aucun point de I

]]> La discontinuité ne concerne que le point a : la fonction égale à x pour x < a et à x + 1 pour x ≥ a est dérivable en tout autre point.

]]> On ne peut rien dire de sa dérivabilité en a

]]> Confusion avec la réciproque, qui est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable, mais une fonction dérivable est toujours continue.

]]> Continuité — Q30 : Sans continuité, plus de garantie Une fonction non continue vaut -1 en 0 et 3 en 1.
Prend-elle nécessairement la valeur 0 ?

]]> L'hypothèse de continuité est ce qui interdit les sauts. Sans elle, une
fonction peut passer d'une valeur négative à une valeur positive sans
jamais s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle peut sauter par-dessus

]]> Bonne réponse : une fonction valant -1 avant 0{,}5 et 3 ensuite
ne prend jamais la valeur 0.

]]> Non, car elle n'est pas définie partout

]]> Conclusion juste, raison fausse : une fonction en escalier est définie
sur tout l'intervalle.

]]> Oui, si elle est croissante

]]> La fonction en escalier de l'exemple est croissante et saute pourtant
par-dessus 0.

]]> Oui, comme toute fonction

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité, écartée
par l'énoncé.

]]> Continuité — Q31 : Limite à gauche en un point de raccord La fonction f est définie sur ℝ par f(x) = 2x + 1
si x < 3, et par f(x) = 4x - 1 si x ≥ 3.
Quelle est la limite de f en 3 par valeurs inférieures ?

]]> Pour une limite à gauche en 3, on n'utilise que l'expression
valable avant 3. Ici elle donne 7 alors que
f(3) = 11 : les deux nombres diffèrent, donc f n'est pas
continue en 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression
donne 2 × 3 + 1 = 7.

]]> 11

]]> C'est f(3), calculé avec la seconde expression : il s'agit de
la limite à droite, pas de la limite à gauche.

]]> 7

]]> Bonne réponse : à gauche de 3, seule la première expression
intervient, et 2 × 3 + 1 = 7.

]]> 3

]]> C'est la valeur vers laquelle tend x, pas celle vers laquelle
tendent les images f(x).

]]> Continuité — Q32 : Continuité sur un intervalle Que signifie « la fonction f est continue sur l'intervalle
[0\ ;\ 3] » ?

]]> Être continue sur un intervalle signifie être continue en chacun de ses
points. Graphiquement, la courbe se trace d'un seul trait, sans saut ni
trou.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante sur tout l'intervalle [0\ ;\ 3]

]]> La continuité ne dit rien du sens de variation : une fonction peut
être continue et changer plusieurs fois de sens.

]]> Sa courbe est un segment de droite sur [0\ ;\ 3]

]]> Une courbe continue se trace sans lever le crayon, mais elle n'a
aucune raison d'être rectiligne.

]]> Elle est continue en chaque réel de cet intervalle

]]> Bonne réponse : la continuité sur un intervalle se définit point par
point, en chaque réel de cet intervalle.

]]> Elle garde le même signe sur tout l'intervalle [0\ ;\ 3]

]]> Une fonction continue peut très bien changer de signe : c'est même
ce qui rend le théorème des valeurs intermédiaires utile.

]]> Continuité — Q33 : La partie entière loin des entiers La fonction partie entière est-elle continue en 1{,}5 ?

]]> La fonction partie entière saute d'une unité en chaque entier, et
seulement là. En dehors des entiers, elle est localement constante,
donc continue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, elle est constante autour de 1{,}5

]]> Bonne réponse : sur ]1\ ;\ 2[ la fonction est constante égale à
1, donc elle est continue en chaque point de cet intervalle.

]]> Oui, car elle est croissante sur ℝ tout entier

]]> Conclusion juste, raison fausse : la croissance n'entraîne pas la
continuité, comme le montrent les sauts aux entiers.

]]> Non, elle n'est continue en aucun réel de ℝ

]]> Les sauts n'ont lieu qu'aux entiers. Entre deux entiers, la
fonction est constante, donc continue.

]]> Non, car elle est constante sur des morceaux séparés

]]> Être constante par morceaux n'empêche pas d'être continue à
l'intérieur de chaque morceau : seuls les raccords posent problème.

]]> Continuité — Q34 : Ensemble des valeurs prises sur un intervalle Soit f une fonction continue et strictement croissante sur
[-1\ ;\ 4], avec f(-1) = 2 et f(4) = 9.
Quel est l'ensemble des valeurs prises par f sur [-1\ ;\ 4] ?

]]> L'image d'un intervalle [a\ ;\ b] par une fonction continue et
strictement croissante est l'intervalle [f(a)\ ;\ f(b)], bornes
comprises.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2\ ;\ 9]

]]> Bonne réponse : f étant continue et strictement croissante, elle
prend une fois et une seule chaque valeur entre 2 et 9.

]]> ]2\ ;\ 9[

]]> Les bornes sont atteintes, puisque f(-1) = 2 et
f(4) = 9 : l'intervalle image est fermé.

]]> [-1\ ;\ 9]

]]> Les deux bornes ont été mélangées : -1 est un antécédent alors
que 9 est une image.

]]> [-1\ ;\ 4]

]]> Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont
les images, comprises entre 2 et 9.

]]> Continuité — Q35 : Situer l'unique solution La fonction f est continue sur [0\ ;\ 6]. Elle croît strictement de
f(0) = -4 à f(2) = 3, puis décroît strictement de f(2) = 3 à
f(6) = -1. L'équation f(x) = -2 admet une seule solution : où
se situe-t-elle ?

]]> On applique le théorème des valeurs intermédiaires branche par branche.
Sur chacune, la solution existe si la valeur visée est comprise entre
les deux valeurs extrêmes de la branche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le tableau ne permet pas de conclure

]]> Le tableau donne les valeurs extrêmes de chaque branche : il suffit
de regarder laquelle contient -2.

]]> Dans l'intervalle [2\ ;\ 3]

]]> Les nombres 2 et 3 sont une abscisse et une image : ils ne
délimitent pas un intervalle d'abscisses.

]]> Dans l'intervalle [2\ ;\ 6]

]]> Sur cette partie, f prend toutes les valeurs de [-1\ ;\ 3], et
-2 est strictement plus petit que -1.

]]> Dans l'intervalle [0\ ;\ 2]

]]> Bonne réponse : sur [0\ ;\ 2], f parcourt [-4\ ;\ 3], qui
contient -2 ; sur [2\ ;\ 6], elle ne descend que jusqu'à -1.

]]> Continuité — Q36 : Les valeurs qui donnent deux solutions La fonction f est continue sur [0\ ;\ 7]. Elle croît strictement de
f(0) = -1 à f(4) = 3, puis décroît strictement de f(4) = 3 à
f(7) = 0. Pour quelles valeurs du réel k l'équation f(x) = k
admet-elle exactement deux solutions ?

]]> Sur chaque branche, f est continue et strictement monotone : elle prend
une fois et une seule chaque valeur comprise entre les extrémités de la
branche. On compte donc les branches dont les valeurs encadrent k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour k dans [-1\ ;\ 3]

]]> C'est l'ensemble des valeurs prises par f. Entre -1 et 0, la
seconde branche ne descend pas assez bas pour donner une solution.

]]> Pour k dans [0\ ;\ 3]

]]> La valeur k = 3 est le maximum, atteint en x = 4 seulement : les
deux branches s'y rejoignent et la solution est unique.

]]> Pour k dans [0\ ;\ 3[

]]> Bonne réponse : chaque branche fournit une solution quand k est
compris entre ses extrémités, et k = 3 ne donne que x = 4.

]]> Pour k dans ]0\ ;\ 3[

]]> La valeur k = 0 convient pourtant : elle est atteinte une fois sur
la première branche, et une seconde fois en x = 7.

]]> Continuité — Q37 : Un point anguleux sur la courbe La courbe de f est formée de deux segments qui se rejoignent en
formant un angle au point d'abscisse 1. Que peut-on dire de f
en 1 ?

]]> Continuité et dérivabilité ne se lisent pas de la même façon : la
continuité interdit les sauts, la dérivabilité exige en plus une
tangente unique. Un point anguleux sépare les deux notions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est dérivable en 1, mais elle n'y est pas continue

]]> Impossible : toute fonction dérivable en un point y est continue.
C'est la réciproque qui est fausse.

]]> Elle n'est ni continue ni dérivable au point d'abscisse 1

]]> Les deux segments se rejoignent, donc la courbe ne présente aucun
saut : la fonction est bien continue en 1.

]]> Elle est continue et dérivable au point d'abscisse 1

]]> Les deux segments n'ont pas la même pente : il n'existe pas de
tangente unique, donc pas de nombre dérivé en 1.

]]> Elle est continue en 1, mais elle n'y est pas dérivable

]]> Bonne réponse : la courbe se trace sans lever le crayon, mais elle
n'admet pas de tangente unique au point anguleux.

]]> Continuité — Q38 : Une hypothèse à vérifier avant tout Peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction
inverse sur l'intervalle [-1\ ;\ 1] ?

]]> Avant d'appliquer le théorème, on vérifie deux points : la fonction est
définie sur tout l'intervalle fermé, et elle y est continue. La fonction
inverse échoue sur le premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, elle est continue sur son ensemble de définition

]]> Le théorème exige la continuité sur l'intervalle étudié tout
entier, et 0 appartient à [-1\ ;\ 1].

]]> Non, car elle n'est pas croissante sur [-1\ ;\ 1]

]]> Conclusion juste, raison fausse : la monotonie n'est requise que
pour l'unicité, pas pour l'existence.

]]> Non, elle n'est pas définie en 0, donc pas continue

]]> Bonne réponse : l'hypothèse de continuité sur tout l'intervalle
n'est pas remplie, puisque la fonction n'existe pas en 0.

]]> Oui, car elle change de signe entre -1 et 1

]]> Le changement de signe ne remplace pas la continuité : ici la
fonction ne prend jamais la valeur 0.

]]> Continuité — Q39 : La réciproque sur les suites Soit f une fonction continue sur ℝ et (uₙ) une suite
telle que la suite (f(uₙ)) converge. Peut-on en déduire
que (uₙ) converge ?

]]> La continuité permet de passer de la limite de (uₙ) à celle de
(f(uₙ)), jamais l'inverse. Un contre-exemple avec une
fonction constante suffit à écarter la réciproque.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : si f est constante, (f(uₙ)) converge toujours

]]> Bonne réponse : avec f constante et uₙ = (-1)ⁿ, la suite
(f(uₙ)) est constante alors que (uₙ) diverge.

]]> Oui, mais seulement si la fonction f est croissante

]]> La croissance ne suffit pas non plus : une fonction croissante peut
être constante sur un intervalle entier.

]]> Oui : la continuité de f transporte la limite dans les deux sens

]]> La propriété du cours va dans un seul sens : si (uₙ) converge
vers \ell, alors (f(uₙ)) converge vers f(\ell).

]]> Non, sauf si la suite (uₙ) est bornée

]]> Une suite bornée ne converge pas forcément : la suite de terme
général (-1)ⁿ le montre.

]]> Continuité — Q40 : Calculer la limite d'une suite récurrente La suite (uₙ) est définie par u₀ = 0 et, pour tout entier n,
uₙ₊₁ = √uₙ + 6. On admet qu'elle converge vers un réel
\ell \geq 0. Que vaut \ell ?

]]> Si uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue et si (uₙ) converge vers
\ell, alors \ell vérifie \ell = f(\ell). On résout cette équation,
puis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> 6 est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :
l'équation \ell^2 = \ell + 6 donne \ell = 3.

]]> 0

]]> C'est la valeur de u₀. Dès le rang suivant, u₁ = √6
est strictement positif, et la suite croît.

]]> 3

]]> Bonne réponse : la fonction x ↦ √x + 6 est continue,
donc \ell = \sqrt{\ell + 6}, soit \ell^2 = \ell + 6. La
seule racine positive est 3.

]]> -2

]]> C'est l'autre racine de \ell^2 - \ell - 6 = 0, écartée car tous
les termes de la suite sont positifs ou nuls.

]]> Continuité — Q41 : Affiner un balayage Pour une fonction continue et strictement croissante, un balayage au pas
de 0{,}1 donne f(1{,}4) < 0 et f(1{,}5) > 0. Comment obtenir un
encadrement de la solution α d'amplitude 0{,}01 ?

]]> Le balayage se poursuit en divisant le pas par dix sur le dernier
intervalle trouvé. Chaque reprise ajoute une décimale à l'encadrement de
la solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En balayant [1{,}4\ ;\ 1{,}5] au pas de 0{,}01

]]> Bonne réponse : on reprend le balayage sur le seul intervalle qui
contient α, avec un pas dix fois plus petit.

]]> En annonçant la valeur approchée \alpha \approx 1{,}45

]]> Rien ne dit que α est au milieu de l'intervalle : une valeur
annoncée sans calcul n'est pas un encadrement.

]]> En reprenant le balayage de [1{,}4\ ;\ 1{,}5] au pas de 0{,}1

]]> Un pas de 0{,}1 sur un intervalle d'amplitude 0{,}1 ne fournit
aucune valeur intermédiaire : l'encadrement ne progresse pas.

]]> En balayant [0\ ;\ 2] au pas de 0{,}01

]]> Le résultat serait correct, mais on testerait inutilement des
centaines de valeurs déjà écartées par le premier balayage.

]]> Continuité — Q42 : Quelle équation a sûrement une solution La fonction f est continue sur [0\ ;\ 3], avec f(0) = 4 et
f(3) = 1. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution
dans [0\ ;\ 3] ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise
entre f(a) et f(b) est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle
descende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 5

]]> La valeur 5 dépasse f(0) = 4 : le théorème ne renseigne pas sur
les valeurs situées au-delà de f(0) et de f(3).

]]> f(x) = -1

]]> La valeur -1 est hors de l'encadrement [1\ ;\ 4] : le théorème
ne permet aucune conclusion à son sujet.

]]> f(x) = 0

]]> La valeur 0 est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit
que f descende jusque-là entre 0 et 3.

]]> f(x) = 2

]]> Bonne réponse : 2 est compris entre f(3) = 1 et f(0) = 4, donc
une fonction continue prend forcément cette valeur au passage.

]]> Continuité — Q43 : Image d'un intervalle par une fonction continue Que peut-on dire de l'ensemble des valeurs prises par une fonction
continue sur l'intervalle [1\ ;\ 5] ?

]]> C'est une autre formulation du théorème des valeurs intermédiaires :
l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est nécessairement l'intervalle [1\ ;\ 5]

]]> L'intervalle [1\ ;\ 5] est celui des antécédents : les images
peuvent occuper un tout autre intervalle.

]]> C'est une réunion de plusieurs intervalles

]]> Ce serait le cas pour une fonction qui saute, donc discontinue.
Ici les valeurs forment un seul bloc.

]]> C'est nécessairement un intervalle

]]> Bonne réponse : la continuité interdit les sauts, donc toutes les
valeurs entre deux images sont elles-mêmes des images.

]]> C'est un ensemble de valeurs isolées

]]> Des valeurs isolées correspondent à une fonction en escalier, qui
n'est pas continue.

]]> Continuité — Q44 : Croissante ne suffit pas Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires réclame une
fonction strictement monotone. Une fonction croissante au sens large
garantit-elle l'unicité de la solution ?

]]> La stricte monotonie garantit que chaque valeur est atteinte au plus une
fois. Avec une croissance au sens large, un palier suffit à ruiner
l'unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, à condition que la fonction soit continue

]]> La continuité assure l'existence de la solution, pas son unicité.
C'est la stricte monotonie qui écarte les répétitions.

]]> Non : un palier donne une infinité de solutions

]]> Bonne réponse : si f est constante égale à 2 sur [1\ ;\ 3],
l'équation f(x) = 2 a une infinité de solutions.

]]> Non, car une telle fonction n'est jamais continue

]]> Conclusion juste, raison fausse : une fonction croissante au sens
large peut parfaitement être continue.

]]> Oui : la croissance au sens large suffit toujours

]]> Une croissance au sens large autorise les paliers, sur lesquels la
fonction prend une même valeur une infinité de fois.

]]> Continuité — Q45 : Régler la pente pour raccorder La fonction f est définie sur ℝ par f(x) = 2x + 3
si x < 4, et par f(x) = mx - 9 si x ≥ 4. Pour quelle
valeur du réel m la fonction f est-elle continue en 4 ?

]]> Une fonction définie par deux expressions est continue au point de
raccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit
cette égalité, puis on la résout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : la continuité impose 11 = 4m - 9,
équation dont la solution est m = 5.

]]> 2

]]> Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent
seulement prendre la même valeur en 4.

]]> 20

]]> L'équation a bien été posée, mais la division finale par 4 a
été oubliée, ce qui donne m = 5.

]]> 11

]]> C'est la valeur commune des deux expressions en 4, pas le
coefficient cherché : il reste à résoudre 4m - 9 = 11.

]]> Continuité — Q46 : Nombre de solutions lu sur une courbe [Figure : Courbe d'une fonction continue sur [0 ; 5] : elle part de -2 en 0,
monte jusqu'à un maximum voisin de 2,5 près de x = 2,6, puis
redescend jusqu'à -1 en 5.]

La courbe ci-contre représente une fonction f continue sur
[0 ; 5]. Combien de solutions l'équation f(x) = 1 admet-elle
dans cet intervalle ?

]]> Sur chaque intervalle où f est continue et strictement monotone,
l'équation f(x) = k a au plus une solution, et exactement une si
k est entre les valeurs aux bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : la droite d'équation y = 1 coupe la courbe une
fois pendant la montée et une fois pendant la descente.

]]> Aucune

]]> Erreur : la courbe dépasse bien la hauteur 1.

]]> Une seule, d'après le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème garantit au moins une solution sur chaque
intervalle où 1 est atteint ; la fonction n'est pas monotone.

]]> Trois

]]> Erreur : après son maximum, la courbe ne fait que descendre ; elle
ne repasse qu'une fois par la hauteur 1.

]]>