$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Combinatoire et dénombrement
Principes additif et multiplicatif, k-uplets d'un ensemble
(nᵏ), k-uplets d'éléments distincts, permutations et
factorielle, nombre de parties d'un ensemble (2ⁿ),
combinaisons \binom{n}{k}, symétrie et triangle de Pascal,
modélisation (mots, chemins, tirages).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q01 : Principe multiplicatif
Un menu se compose d'une entrée choisie parmi 3 et d'un plat
choisi parmi 4. Combien de menus différents peut-on
composer ?]]>
Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à
n₁, puis n₂ choix, offre n₁ × n₂ possibilités.
Le principe additif (+) sert pour des cas disjoints (l'un
ou l'autre).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
4³]]>
Erreur : 4³ = 64 compterait 3 choix successifs parmi
4 options. La situation n'a que deux étapes :
3 × 4.]]>
7]]>
Erreur : 3 + 4 compterait un choix ou l'autre
(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit
une entrée et un plat : on multiplie.]]>
12]]>
Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :
3 × 4 = 12 menus (principe multiplicatif).]]>
3⁴]]>
Erreur : 3⁴ = 81 compterait 4 choix successifs parmi
3 options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi 3,
puis un parmi 4.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q02 : Permutations
De combien de façons peut-on aligner 5 livres distincts sur
une étagère ?]]>
Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est
n! = n × (n-1) × ⋯ × 1. Ici 5! = 120.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
25]]>
Erreur : 5 × 5 ne modélise que deux étapes avec
remise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :
5!.]]>
5! = 120]]>
Bonne réponse : 5 choix pour la première place, 4 pour
la deuxième, etc. : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 permutations.]]>
5⁵ = 3125]]>
Erreur : 5⁵ autoriserait de replacer le même livre à
plusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule
fois, les choix diminuent à chaque étape : c'est 5!.]]>
5]]>
Erreur : 5 est le nombre de choix pour la première
place seulement. Chaque place suivante multiplie encore les
possibilités.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q03 : $k$-uplets avec répétition
Combien existe-t-il de codes à 4 chiffres (chaque chiffre
allant de 0 à 9) ?]]>
Nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments (répétitions
autorisées) : nᵏ. Ici 10⁴ = 10 000 codes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
4¹⁰]]>
Exposant inversé : la base est le nombre d'options par
position (10), l'exposant le nombre de positions (4).
4¹⁰ compterait des mots de 10 lettres sur 4
symboles.]]>
10 × 9 × 8 × 7 = 5 040]]>
Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous
distincts). Or un code comme 7 7 2 2 est permis :
10⁴.]]>
10⁴ = 10 000]]>
Bonne réponse : 10 choix pour chacune des 4 positions,
répétitions permises : 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ (4-uplets d'un ensemble à 10 éléments).]]>
40]]>
Erreur : 10 × 4 ne correspond à aucun principe de
dénombrement ici. Les choix se multiplient position par
position : 10⁴.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q04 : $k$-uplets d'éléments distincts
Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums
possibles (premier, deuxième, troisième) ?]]>
Nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à
n éléments : n × (n-1) × ⋯ × (n-k+1).
Ici 8 × 7 × 6 = 336 : l'ordre compte, pas de
répétition.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
24]]>
Erreur : 24 = 3! est le nombre de façons d'ordonner un
trio déjà choisi. Il faut aussi choisir le trio parmi
les huit coureurs.]]>
512]]>
Erreur : 8³ = 512 autoriserait un même coureur sur
plusieurs marches. Les éléments doivent être
distincts : les choix décroissent, 8 × 7 × 6.]]>
56]]>
Erreur : \binom{8}{3} = 56 ignore l'ordre, il
compterait les trios de médaillés sans distinguer or,
argent, bronze. Un podium est ordonné : 56 × 3! = 336.]]>
336]]>
Bonne réponse : les places sont ordonnées et un
coureur n'occupe qu'une place : 8 choix pour l'or, 7
pour l'argent, 6 pour le bronze, soit 8 × 7 × 6 = 336.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q05 : Choisir sans ordre
Combien de façons y a-t-il de choisir 3 délégués parmi 8
élèves (les trois rôles étant identiques) ?]]>
Une combinaison compte les parties à k éléments d'un
ensemble à n éléments : \binom{n}{k} =
\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. L'ordre du choix ne compte
pas. Ici \binom{8}{3} = 56.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
56]]>
Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le
groupe compte : c'est une combinaison,
\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = 56.]]>
336]]>
Erreur : 8 × 7 × 6 compte les choix
ordonnés. Chaque groupe de 3 y apparaît 3! = 6
fois : il faut diviser, 336 / 6 = 56.]]>
512]]>
Erreur : 8³ compte des triplets avec répétition (un
élève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une
partie à 3 éléments : \binom{8}{3}.]]>
112]]>
Erreur : 8 × 7 × 6/3 = 112 divise
par 3 au lieu de 3! = 6. Chaque groupe de trois
élèves apparaît 6 fois parmi les 336 choix ordonnés
(autant que d'ordres possibles), pas 3 fois :
\binom{8}{3} = 56.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q06 : Nombre de parties d'un ensemble
Combien un ensemble à 5 éléments possède-t-il de parties
(sous-ensembles, y compris ∅ et lui-même) ?]]>
Un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties : chaque élément est
indépendamment retenu ou écarté. C'est aussi
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
5! = 120]]>
Erreur : la factorielle compte les ordres (les
permutations). Une partie n'est pas ordonnée : 2⁵ = 32.]]>
2⁵ = 32]]>
Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités
(dedans ou dehors), d'où 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 parties.]]>
10]]>
Erreur : 10 = \binom{5}{2} ne compte que les parties à
deux éléments. Il faut toutes les tailles, de 0 à
5 : 32 en tout.]]>
5² = 25]]>
Exposant et base inversés : c'est 2 choix (présent ou
absent) répété 5 fois, donc 2⁵, pas 5².]]>
Combinatoire et dénombrement — Q07 : Calculer $\dbinom{6}{2}$
Que vaut \dbinom{6}{2} ?]]>
\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}. Ici
6 × 5/2 = 15 : quinze paires possibles parmi
six éléments.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
12]]>
Erreur : 6 × 2 = 12 n'est pas la formule. On
calcule 6 × 5/2 = 15.]]>
15]]>
Bonne réponse : \binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!} =
\dfrac{30}{2} = 15.]]>
30]]>
Oubli de la division par 2! : 6 × 5 = 30 compte
les couples ordonnés. Chaque paire y figure deux fois :
30/2 = 15.]]>
720]]>
Erreur : 720 = 6! compte toutes les permutations de 6
éléments, pas les paires. \binom{6}{2} =
\dfrac{6!}{2!\,4!} = 15.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q08 : Utiliser la symétrie des combinaisons
Que vaut \dbinom{10}{8} ?]]>
Symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, car choisir les
élus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le
petit indice : \binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
45]]>
Bonne réponse : par symétrie \binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k} : choisir les 8 retenus revient à choisir
les 2 écartés. \binom{10}{8} = \binom{10}{2} =
\dfrac{10 \times 9}{2} = 45.]]>
80]]>
Erreur : 10 × 8 n'est pas une formule de
combinaison. Le raccourci est la symétrie :
\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.]]>
28]]>
Symétrie mal appliquée : \binom{8}{2} = 28 remplace le
10 par 8. La règle conserve le n et remplace k
par n - k : \binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.]]>
90]]>
Oubli de la division par 2! : 10 × 9 = 90 compte
les couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par 2.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q09 : Relation de Pascal
Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour
0 ≤ k ≤ n - 1) ?]]>
Relation de Pascal : \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} =
\binom{n+1}{k+1}. Interprétation combinatoire : pour choisir
k+1 objets parmi n+1, on sépare les choix contenant ou non
un objet fixé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k+2}]]>
Erreur : la somme fait passer à la ligne suivante du
triangle (n+1), pas deux cases plus loin sur la même
ligne.]]>
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k} \times n]]>
Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité
est fausse en général : \binom{4}{2} = 6 \neq
\binom{3}{2} \times 4 = 12).]]>
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}]]>
Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal
est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus
de lui.]]>
\dbinom{n}{k} \times \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}]]>
Erreur : la relation est additive (une somme), pas
multiplicative. Teste : \binom{2}{0} + \binom{2}{1} = 3 =
\binom{3}{1}.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q10 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Que vaut la somme
\dbinom{5}{0} + \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3}
+ \dbinom{5}{4} + \dbinom{5}{5} ?]]>
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n : regrouper les parties d'un
ensemble à n éléments par taille k redonne le nombre total
de parties. Pour n = 5 : 1+5+10+10+5+1 = 32.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
64]]>
Erreur : 64 = 2⁶ est la somme de la ligne suivante
(n = 6). Pour n = 5 : 2⁵ = 32.]]>
31]]>
Presque : 31 = 2⁵ - 1 oublie un terme (souvent
\binom{5}{0} = 1, la partie vide). La somme complète vaut
32.]]>
25]]>
Erreur : 5² inverse base et exposant. La somme d'une
ligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est
2ⁿ.]]>
32]]>
Bonne réponse : 2⁵ = 32, car
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n (démonstration au
programme : on compte les parties d'un ensemble à n
éléments de deux façons).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q11 : Mots binaires à nombre de « 1 » fixé
Combien existe-t-il de mots de longueur 6 formés de 0 et de
1 contenant exactement deux « 1 » ?]]>
Lien fondamental du programme : les mots de longueur n sur
\{0\,;\,1\} ayant exactement k « 1 » sont au nombre de
\binom{n}{k} (choix des positions). C'est le même comptage
que les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de
Bernoulli.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
30]]>
Erreur : 6 × 5 = 30 ordonne les deux positions
(première puis deuxième), comptant chaque mot deux fois.
Il faut diviser par 2 : 15.]]>
12]]>
Erreur : 6 × 2 ne modélise pas le choix des
positions. Le bon objet est une combinaison :
\binom{6}{2} = 15.]]>
15]]>
Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par
le choix des 2 positions des « 1 » parmi les 6 :
\binom{6}{2} = 15.]]>
64]]>
Erreur : 2⁶ = 64 compte tous les mots de longueur
6, sans contrainte sur le nombre de « 1 ». La
contrainte réduit à \binom{6}{2}.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q12 : Tirage simultané
On tire simultanément 2 cartes dans un jeu de 32
cartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?]]>
Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » signifie sans ordre, donc des combinaisons ; « successivement sans remise » = k-uplets
distincts ; « avec remise » = k-uplets quelconques (nᵏ).
Ici : \binom{32}{2} = 496.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
496]]>
Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :
on compte les paires, \binom{32}{2} = \dfrac{32 \times
31}{2} = 496.]]>
992]]>
Erreur : 32 × 31 = 992 compte les tirages
successifs sans remise (ordre retenu). En tirage
simultané, {as, roi} et {roi, as} sont le même tirage :
on divise par 2.]]>
64]]>
Erreur : 32 × 2 ne correspond à aucun principe de
comptage. Paires parmi 32 : \binom{32}{2} = 496.]]>
1024]]>
Erreur : 32² = 1024 compte les tirages successifs
avec remise (la même carte pouvant sortir deux
fois), ce qui est impossible simultanément.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q13 : La convention $0! = 1$
Que vaut 0! ?]]>
0! = 1 : le produit de zéro facteur vaut 1 (élément
neutre de la multiplication). Indispensable pour
\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 : les cas extrêmes des
formules.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0]]>
Erreur : avec 0! = 0, toutes les formules en
factorielle diviseraient par zéro : la convention
0! = 1 est justement choisie pour les sauver.]]>
Non défini]]>
Erreur : 0! est parfaitement défini, par convention
égale à 1 : le produit vide vaut 1 (comme une somme
vide vaut 0).]]>
1]]>
Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement
une façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle
fait marcher toutes les formules (\binom{n}{0} =
\frac{n!}{0!\,n!} = 1).]]>
-1]]>
Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :
jamais négative.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q14 : Les poignées de main
Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien
de poignées de main sont échangées ?]]>
Choisir 2 objets parmi n sans ordre : \binom{n}{2} =
\frac{n(n-1)}{2}. Modèle des poignées de main, des matchs
d'un tournoi, des segments joignant n points…]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
56]]>
Double comptage : 8 × 7 = 56 compte les paires
ordonnées (Alice-Bob et Bob-Alice), ce qui n'a pas
de sens pour une poignée de main : diviser par 2.]]>
28]]>
Bonne réponse : une poignée de main est une paire de
personnes, sans ordre : \binom{8}{2} = \frac{8 \times
7}{2} = 28.]]>
64]]>
Erreur : 8² = 64 inclut les couples ordonnés ET les «
poignées avec soi-même » : la bonne structure est la
paire non ordonnée d'éléments distincts.]]>
40 320]]>
Erreur : 8! = 40 320 ordonne les huit personnes en
file : rien à voir avec le choix de 2 personnes parmi
8.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q15 : Le podium
Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums
(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?]]>
Avec ordre et sans répétition, on compte des k-uplets d'éléments distincts :
n(n-1)⋯(n-k+1). La question à se poser d'abord :
l'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →
combinaison.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
1000]]>
Répétition indue : 10³ = 1000 autorise le même
coureur aux trois places, impossible dans une course.]]>
720]]>
Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,
et l'ordre compte (or, argent, bronze) : 10 × 9 × 8 = 720, un 3-uplet d'éléments distincts.]]>
27]]>
Erreur : 10 + 9 + 8 = 27 additionne, or les choix
successifs se multiplient (principe multiplicatif).]]>
120]]>
Ordre perdu : \binom{10}{3} = 120 compte les
groupes de trois médaillés sans distinguer or,
argent, bronze : chaque groupe donne 3! = 6 podiums,
120 × 6 = 720.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q16 : Compter par le complémentaire
Combien de mots binaires de longueur 5 contiennent au
moins un 1 ?]]>
« Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au
lieu d'une somme de cinq termes (\binom{5}{1} + \dots +
\binom{5}{5} = 31, le contrôle). Réflexe valable tel quel
en probabilités.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
16]]>
Erreur : 2⁴ = 16, fixer un 1 quelque part, ne
modélise pas « au moins un » (surcomptage et
sous-comptage mêlés). La voie sûre : total moins le cas
interdit.]]>
31]]>
Bonne réponse : le total 2⁵ = 32 moins le seul mot
sans aucun 1 (00000) : 2⁵ - 1 = 31. « Au moins un
» se compte presque toujours par le complémentaire.]]>
32]]>
Un mot de trop : 2⁵ = 32 compte tous les mots, dont
00000 qui ne contient aucun 1 : il faut le retirer
du total.]]>
5]]>
Erreur : 5 compte les mots avec exactement un 1
(\binom{5}{1}) : « au moins un » englobe un, deux…
jusqu'à cinq 1.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q17 : Anagrammes de MATHS
Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former
avec les lettres du mot MATHS ?]]>
Permutation de n objets distincts : n!. (Avec des
lettres répétées, on diviserait par les factorielles des
répétitions : hors programme, mais la question tombe avec
des lettres distinctes.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\dbinom{5}{5} = 1]]>
Erreur : la combinaison choisit sans ordonner :
choisir les 5 lettres parmi 5, certes une façon,
mais l'anagramme est un ordre : 5!.]]>
5! = 120]]>
Bonne réponse : cinq lettres toutes distinctes à
ordonner : une permutation de 5 objets, soit 5! = 120.]]>
5 × 4 = 20]]>
Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.]]>
5⁵ = 3125]]>
Répétition indue : 5⁵ autorise MMMMM : chaque lettre
ne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q18 : Comité avec contrainte
Un groupe compte 5 filles et 4 garçons. Combien de
comités de 3 personnes contiennent exactement 2 filles ?]]>
Schéma « exactement k de type A » : \binom{|A|}{k} \times
\binom{|B|}{r-k} : combinaison dans chaque catégorie,
produit entre catégories. La structure exacte des questions
de loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
40]]>
Bonne réponse : deux choix indépendants, les 2 filles
parmi 5 puis le garçon parmi 4 : \binom{5}{2}
\times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40, le principe
multiplicatif assemble les deux.]]>
84]]>
Contrainte ignorée : \binom{9}{3} = 84 compte tous
les comités de 3, y compris ceux à 0, 1 ou 3
filles.]]>
10]]>
Incomplet : \binom{5}{2} = 10 ne choisit que les
filles ; le comité a 3 membres, il reste à choisir le
garçon (4 façons).]]>
14]]>
Addition au lieu de multiplication : \binom{5}{2} +
\binom{4}{1} = 14. On choisit les filles et le
garçon : étapes successives, donc produit (la somme
servirait pour des cas exclusifs).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q19 : Calculer $\dbinom{10}{3}$
Combien vaut \dbinom{10}{3} ?]]>
Le coefficient \dbinom{n}{k} compte les parties de k éléments d'un
ensemble de n éléments. Il vaut le nombre de listes ordonnées divisé par
k!, car l'ordre ne compte pas.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
120]]>
Bonne réponse : 10 × 9 × 8/3 × 2 × 1 = 720/6.]]>
720]]>
Division oubliée : 720 compte les tirages ordonnés de trois éléments
distincts, donc chaque groupe six fois.]]>
1 000]]>
Tirages avec répétition : 10³ compte les listes ordonnées où un
élément peut revenir.]]>
30]]>
Produit trop court : le numérateur comporte trois facteurs
décroissants, pas seulement 10 × 3.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q20 : Au moins une fille
Dans un groupe de 12 personnes dont 5 filles, combien de comités
de 3 personnes comptent au moins une fille ?]]>
Compter par le complémentaire évite de distinguer les cas « une fille »,
« deux filles » et « trois filles ». On retranche au total le nombre de
comités sans aucune fille.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
185]]>
Bonne réponse : \dbinom{12}{3} - \dbinom{7}{3} = 220 - 35.]]>
220]]>
Total de tous les comités : il faut encore retirer ceux qui ne
comptent aucune fille.]]>
105]]>
Comités à exactement une fille : 5 \times \dbinom{7}{2} oublie ceux
qui en comptent deux ou trois.]]>
35]]>
Comités sans aucune fille : c'est précisément l'événement contraire.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q21 : Un code à quatre chiffres
Combien de codes de quatre chiffres peut-on former avec les chiffres
de 0 à 9, répétitions autorisées ?]]>
Quand les répétitions sont autorisées et l'ordre compte, le nombre de
listes de k éléments choisis parmi n vaut nᵏ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
5 040]]>
Répétitions interdites : 10 × 9 × 8 × 7 compte les
codes à chiffres tous distincts.]]>
1 000]]>
Une position oubliée : 10³ compte les codes de trois chiffres, pas
de quatre.]]>
210]]>
Nombre de choix sans ordre : \dbinom{10}{4} ignore que la position
des chiffres compte.]]>
10 000]]>
Bonne réponse : quatre positions, dix possibilités chacune, soit
10⁴.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q22 : Une égalité entre coefficients
À quoi \dbinom{15}{12} est-il égal ?]]>
La symétrie \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} traduit qu'une partie et son
complémentaire se correspondent. On l'utilise pour ramener le calcul au
plus petit des deux indices.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\dbinom{15}{3}]]>
Bonne réponse : choisir 12 éléments revient à en écarter 3, d'où
la symétrie \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}.]]>
\dbinom{15}{12} \times \dbinom{15}{3}]]>
Les deux coefficients sont égaux, ils ne se multiplient pas.]]>
\dbinom{15}{12} n'a pas d'autre écriture]]>
La symétrie des coefficients binomiaux en donne toujours une seconde,
souvent plus simple à calculer.]]>
\dbinom{12}{15}]]>
Écriture impossible : on ne peut pas choisir 15 éléments parmi 12.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q23 : Ranger des livres
De combien de façons peut-on ranger 5 livres distincts sur une
étagère ?]]>
Ranger n objets distincts revient à compter les permutations, soit n!.
Chaque place réduit d'une unité le nombre de choix restants.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
3 125]]>
Répétitions autorisées : 5⁵ supposerait qu'un même livre puisse
occuper plusieurs places.]]>
120]]>
Bonne réponse : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.]]>
25]]>
Produit erroné : 5² ne correspond à aucun comptage de cette
situation.]]>
10]]>
Choix sans ordre : \dbinom{5}{2} compterait des paires, alors qu'il
s'agit de ranger tous les livres.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q24 : Partager un comptage en cas
Pour compter les comités de 3 personnes comptant exactement une
fille parmi 5 filles et 7 garçons, que calcule-t-on ?]]>
Quand des choix s'enchaînent, leurs nombres se multiplient. Quand des cas
s'excluent, leurs nombres s'additionnent. Ici la fille et les garçons se
choisissent successivement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\dbinom{12}{3}]]>
Total de tous les comités, sans la contrainte sur le nombre de filles.]]>
5 + \dbinom{7}{2}]]>
Choix successifs additionnés : le principe multiplicatif s'applique
quand les choix se combinent.]]>
\dbinom{5}{1} \times \dbinom{7}{3}]]>
Effectif du comité dépassé : une fille et trois garçons font quatre
personnes.]]>
5 \times \dbinom{7}{2}]]>
Bonne réponse : on choisit la fille, puis les deux garçons, et l'on
multiplie les deux comptages.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q25 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Que vaut la somme \dbinom{6}{0} + \dbinom{6}{1} + \dbinom{6}{2} +
\cdots + \dbinom{6}{6} ?]]>
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} = 2^n : on classe les
parties d'un ensemble à n éléments selon leur nombre d'éléments.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
21]]>
Erreur : 21 = \dbinom{7}{2} n'est qu'un coefficient, pas la
somme d'une ligne.]]>
720]]>
Erreur : 6! = 720 compte les permutations, pas les parties.]]>
64]]>
Bonne réponse : chaque terme compte les parties à k éléments
d'un ensemble à 6 éléments ; la somme les compte toutes, soit
2⁶.]]>
36]]>
Erreur : 6² ne compte pas les parties d'un ensemble.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q26 : Simultané ou successif
Un tirage simultané de trois jetons dans une urne se compte avec quel
outil ?]]>
Un tirage simultané se compte par des combinaisons, un tirage successif
sans remise par des listes d'éléments distincts, et un tirage successif
avec remise par des puissances.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une factorielle seule]]>
La factorielle compte les rangements de tous les éléments, pas le choix
de trois d'entre eux.]]>
Une combinaison]]>
Bonne réponse : la simultanéité supprime l'ordre, on compte donc des
parties.]]>
Une somme de combinaisons]]>
Une seule combinaison suffit ici : la somme servirait à réunir des cas
disjoints.]]>
Une puissance]]>
Une puissance compte des listes avec répétition, impossibles dans un
tirage simultané.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q27 : Utiliser la relation de Pascal
À quoi \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} est-il égal ?]]>
La relation de Pascal engendre le triangle du même nom : chaque coefficient
est la somme des deux situés juste au-dessus de lui.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\dbinom{16}{7}]]>
Indices additionnés : la relation n'ajoute qu'une unité à chacun d'eux.]]>
\dbinom{9}{4}]]>
Bonne réponse : la relation de Pascal donne
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}.]]>
\dbinom{8}{7}]]>
Indices du bas additionnés seulement : le nombre du haut augmente lui
aussi d'une unité.]]>
\dbinom{9}{3}]]>
Indice du bas mal choisi : c'est le plus grand des deux, augmenté de
rien, qui apparaît.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q28 : Podium sans ex aequo
Combien de podiums différents peut-on former avec 8 coureurs ?]]>
Un podium est une liste de trois éléments distincts : le premier choix
offre huit possibilités, le deuxième sept, le troisième six.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
512]]>
Répétitions autorisées : 8³ supposerait qu'un coureur puisse
occuper deux places.]]>
56]]>
Ordre ignoré : \dbinom{8}{3} compte les trios sans distinguer les
places.]]>
336]]>
Bonne réponse : 8 × 7 × 6, l'ordre des trois places
comptant.]]>
40 320]]>
Classement complet : 8! ordonne les huit coureurs, pas seulement les
trois premiers.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q29 : Ce que change l'ordre
Quelle question faut-il se poser avant tout dénombrement ?]]>
Répondre à ces deux questions oriente vers l'outil : puissance si l'ordre
compte avec répétition, liste d'éléments distincts sans répétition,
combinaison si l'ordre ne compte pas.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles permises]]>
Bonne réponse : ces deux réponses déterminent entièrement l'outil à
utiliser.]]>
Les effectifs sont-ils pairs ou impairs]]>
La parité des effectifs n'intervient dans aucune des formules de
dénombrement.]]>
Les éléments sont-ils numérotés]]>
Les éléments d'un ensemble sont toujours supposés distincts, qu'ils
portent un numéro ou non.]]>
Le résultat sera-t-il un grand nombre]]>
L'ordre de grandeur du résultat ne dit rien de la méthode à employer.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q30 : Deux cartes de la même couleur
Dans un jeu de 32 cartes réparties en quatre couleurs de 8
cartes, combien y a-t-il de mains de deux cartes de même couleur ?]]>
On partage le comptage selon la couleur, quatre cas disjoints, et l'on
compte dans chacun les paires possibles. Les cas s'additionnent, d'où la
multiplication par quatre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
256]]>
Ordre pris en compte : 4 × 8 × 8 compterait deux fois
chaque main et autoriserait la même carte deux fois.]]>
28]]>
Une seule couleur comptée : il reste à multiplier par les quatre
couleurs possibles.]]>
112]]>
Bonne réponse : 4 \times \dbinom{8}{2} = 4 \times 28.]]>
496]]>
Total de toutes les mains : \dbinom{32}{2} ne tient pas compte de la
contrainte de couleur.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q31 : Choisir tous les éléments
Que vaut \dbinom{12}{12} ?]]>
\dbinom{n}{n} = 1 et \dbinom{n}{0} = 1 : prendre tout le
monde, ou ne prendre personne, se fait d'une seule façon. Ces
deux cas extrêmes encadrent chaque ligne du triangle de Pascal.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0 : aucun élément n'est écarté du tout]]>
Erreur : un coefficient binomial compte des parties, et il
en existe bien une, l'ensemble entier. Un coefficient nul
signifierait qu'aucun choix n'est possible.]]>
12 : autant de choix que d'éléments]]>
Erreur : 12 = \dbinom{12}{1} compte les parties à un
élément. Ici les douze éléments sont tous retenus, ce qui
ne laisse aucune liberté.]]>
12! : tous les ordres possibles comptent]]>
Erreur : une combinaison ne tient pas compte de l'ordre.
Les 12! rangements des douze éléments donnent tous la
même partie.]]>
1 : une seule façon de tout prendre]]>
Bonne réponse : il n'existe qu'une partie à 12 éléments
dans un ensemble qui en compte 12, l'ensemble tout
entier. La formule le confirme :
12!/12! 0! = 1.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q32 : Les réglages d'un cadenas
Un cadenas comporte 4 molettes, chacune portant 6
symboles différents. Combien de réglages ce cadenas
permet-il ?]]>
Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on
compte des k-uplets d'un ensemble à n éléments, soit
nᵏ. Ici 6⁴ = 1296.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
1296]]>
Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des
autres, avec 6 possibilités à chaque fois :
6⁴ = 1296.]]>
360]]>
Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant
suppose des symboles tous différents, alors que deux
molettes peuvent afficher le même.]]>
4096]]>
Base et exposant inversés : la base est le nombre de
symboles par molette (6), l'exposant le nombre de
molettes (4), d'où 6⁴ = 1296.]]>
24]]>
Erreur : 6 × 4 n'est pas un principe de
dénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs
nombres de positions se multiplient entre eux.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q33 : Des lettres toutes différentes
Combien de mots de 3 lettres deux à deux différentes
peut-on écrire avec les 6 premières lettres de
l'alphabet ?]]>
Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des
listes de k éléments distincts, soit
n × (n-1) × ⋯ × (n-k+1). Ici 120.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
120]]>
Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune
lettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une
unité à chaque place : le produit vaut 120.]]>
18]]>
Erreur : 6 × 3 additionne des idées sans
rapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où
un produit de 3 facteurs décroissants.]]>
20]]>
Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes
de lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots
d'ordres différents sont bien deux mots.]]>
216]]>
Répétitions indues : 6³ autoriserait deux fois la
même lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix
diminuent : 120.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q34 : Nommer le nombre de parties
Comment nomme-t-on le nombre de parties à k éléments d'un
ensemble à n éléments ?]]>
\dbinom{n}{k}, le coefficient binomial, compte les parties à
k éléments d'un ensemble à n éléments. Vocabulaire à
distinguer des listes (ordonnées) et des puissances
(répétitions autorisées).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un coefficient binomial]]>
Bonne réponse : ce nombre se note \dbinom{n}{k} et se lit
« k parmi n ». C'est aussi le coefficient qui apparaît
dans le triangle de Pascal.]]>
Une liste d'éléments distincts]]>
Erreur : une liste retient l'ordre des éléments, alors
qu'une partie ne le retient pas. Les deux comptages
diffèrent d'un facteur k!.]]>
Une factorielle d'ordre k]]>
Erreur : une factorielle compte les rangements d'un
ensemble, pas le choix d'une partie. Elle intervient au
dénominateur du coefficient binomial.]]>
Une puissance nᵏ]]>
Erreur : une puissance nᵏ compte des listes avec
répétition. Une partie n'est ni ordonnée ni répétitive.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q35 : Une poignée de jetons
Un sac contient 10 jetons de couleurs toutes différentes.
On en prélève 3 en une seule fois. Combien de
prélèvements différents peut-on obtenir ?]]>
Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)
signifie sans ordre et sans répétition, donc
\dbinom{n}{k}. Un prélèvement un par un demanderait le
produit décroissant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
720]]>
Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les
prélèvements un par un. Chaque poignée y figure 3!
fois, d'où la division à faire.]]>
120]]>
Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir
une partie, sans ordre : \dbinom{10}{3} = 120.]]>
1000]]>
Répétitions indues : 10³ suppose que le même jeton
puisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un
seul prélèvement.]]>
30]]>
Erreur : 10 × 3 ne correspond à aucun modèle. Un
prélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q36 : Le troisième terme d'une ligne
Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang n = 7
commence par 1 puis par 7. Quel est son terme
suivant ?]]>
La ligne de rang n du triangle de Pascal donne
\dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{1}, \dbinom{n}{2}, etc. Son
troisième terme vaut donc n(n-1)/2 = 21.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
14]]>
Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du
triangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours
\dbinom{n}{2}.]]>
21]]>
Bonne réponse : ce terme est \dbinom{7}{2} =
\dfrac{7 \times 6}{2} = \dfrac{42}{2} =
21.]]>
42]]>
Division oubliée : 42 compte les couples
ordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où
\dbinom{7}{2} = 21.]]>
15]]>
Ligne voisine : 15 est le troisième terme de
la ligne de rang 7 - 1. La relation de Pascal fait
passer de l'une à l'autre.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q37 : Anagrammes commençant par une lettre imposée
Les lettres du mot JEUX sont toutes différentes. Combien de
ses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la
lettre J ?]]>
Fixer la première lettre revient à permuter les autres :
il reste une permutation de n - 1 lettres, soit (n-1)!.
Contrôle : les familles selon la première lettre partagent
bien les n! anagrammes en n paquets égaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
12]]>
Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en
deux familles, mais en autant de familles que de premières
lettres possibles.]]>
6]]>
Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à
ranger librement les autres lettres, soit 6
permutations.]]>
2]]>
Une lettre de trop bloquée : seule la première place est
imposée, les autres restent entièrement libres.]]>
24]]>
Contrainte ignorée : 24 compte toutes les
anagrammes. Celles qui commencent par J n'en sont
qu'une part.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q38 : Une ligne privée de ses extrémités
Que vaut la somme des coefficients \dbinom{4}{k} lorsque
k parcourt les entiers de 1 à 3 ?]]>
\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n compte toutes les parties
d'un ensemble à n éléments. En écartant la partie vide et
l'ensemble entier, il reste 2ⁿ - 2 parties.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
15]]>
Un seul terme retiré : les deux extrémités valent 1
chacune, il faut donc retrancher 2 au total.]]>
14]]>
Bonne réponse : la ligne entière vaut 2⁴ = 16,
et l'on en retire les deux extrémités
\dbinom{4}{0} = 1 et \dbinom{4}{4} = 1.]]>
8]]>
Ligne voisine : 2³ = 8 est la somme de
la ligne précédente, pas celle de la ligne de rang 4.]]>
16]]>
Extrémités conservées : 2⁴ = 16 est la somme
de la ligne complète, dont les deux 1 du bord sont
ici exclus.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q39 : Deux coefficients connus
On sait que \dbinom{7}{2} = 21 et que
\dbinom{7}{3} = 35. Que vaut \dbinom{8}{3} ?]]>
Relation de Pascal : \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} =
\dbinom{n+1}{k+1}. Elle permet de remplir le triangle de
proche en proche, sans aucun calcul de factorielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
735]]>
Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal
s'engendre par des sommes, chaque coefficient étant le
total des deux situés au-dessus.]]>
56]]>
Bonne réponse : la relation de Pascal donne
\dbinom{7}{2} + \dbinom{7}{3} =
\dbinom{8}{3}, soit 21 + 35 = 56.]]>
35]]>
Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à
négliger \dbinom{7}{2} = 21, qui compte aussi dans
la somme.]]>
14]]>
Soustraction à la place de l'addition : on additionne les
deux coefficients de la ligne 7 pour obtenir celui de
la ligne suivante.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q40 : Au moins deux filles dans l'équipe
Un atelier réunit 6 filles et 3 garçons. On y forme
une équipe de 3 personnes. Combien d'équipes comptent au
moins deux filles ?]]>
« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement
deux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix
successifs se multiplient ; entre les cas, les nombres
s'additionnent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
84]]>
Contrainte ignorée : 84 compte toutes les équipes
de trois personnes, y compris celles qui ne comptent
aucune fille.]]>
35]]>
Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi
deux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie
le nombre d'équipes par 3.]]>
65]]>
Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un
garçon (45 équipes), ou trois filles (20
équipes). Les cas s'excluent, donc les nombres
s'additionnent.]]>
45]]>
Un cas oublié : 45 compte les équipes à exactement
deux filles. Les équipes entièrement féminines en
comptent aussi au moins deux.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q41 : Les diagonales d'un polygone
Un polygone convexe possède 8 sommets. Une diagonale
joint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone
a-t-il de diagonales ?]]>
On compte les paires de sommets, \dbinom{n}{2}, puis on
retire les n paires de sommets consécutifs, qui donnent les
côtés. D'où n(n-3)/2 diagonales.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
20]]>
Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de
\dbinom{8}{2} = 28, dont 8 sont des côtés :
il reste 28 - 8 = 20 diagonales.]]>
28]]>
Côtés comptés : \dbinom{8}{2} = 28 compte toutes
les paires de sommets, or les 8 paires de sommets
voisins forment les côtés, pas des diagonales.]]>
40]]>
Double comptage : de chaque sommet partent 8 - 3
diagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une
par extrémité.]]>
8]]>
Erreur : 8 est le nombre de côtés du polygone. Les
diagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de
sommets dépasse quatre.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q42 : Une lettre imposée un nombre de fois
Combien de mots de 5 lettres écrits avec l'alphabet
\{A\,;\,B\,;\,C\} contiennent exactement 2 fois la
lettre A ?]]>
Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places
de la lettre imposée, \dbinom{n}{k}, puis remplir les
n - k places restantes avec les deux autres lettres,
2ⁿ⁻ᵏ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
8]]>
Première étape oubliée : 8 remplit les places
libres, mais il faut d'abord décider où se trouvent
les lettres A.]]>
10]]>
Deuxième étape oubliée : 10 ne place que les
lettres A. Les places restantes admettent encore deux
lettres chacune.]]>
243]]>
Contrainte ignorée : 3⁵ = 243 compte tous les
mots de 5 lettres, sans condition sur le nombre de
A.]]>
80]]>
Bonne réponse : on choisit les 2 places du A
(10 façons), puis on remplit les autres avec
B ou C (8 façons) : 10 × 8 = 80.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q43 : Simplifier un quotient de factorielles
Que vaut 8!/6! ?]]>
n!/(n-2)! = n × (n-1) : le dénominateur
annule tous les facteurs de 1 à n-2. Cette simplification
est celle qui donne \dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
336]]>
Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs
strictement supérieurs à 6, c'est-à-dire deux
facteurs seulement.]]>
56]]>
Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à 6 se
simplifient, et il reste les deux plus grands :
8 × 7 = 56.]]>
64]]>
Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne
sont pas égaux. Le second vaut 8 - 1, pas 8.]]>
16]]>
Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait
pas au numérateur. Un quotient de factorielles se
simplifie facteur par facteur.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q44 : Des trajets en deux étapes
Entre les villes A et B passent 4 routes, et entre
B et C il en passe 3. Combien de trajets de A à
C traversent la ville B ?]]>
Principe multiplicatif : deux étapes offrant n₁ puis n₂
possibilités donnent n₁ × n₂ parcours complets. Le
principe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
7]]>
Principe additif employé à tort : la somme compterait un
trajet ou l'autre. Ici les deux étapes se parcourent
l'une après l'autre, donc on multiplie.]]>
16]]>
Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.
Ce sont les deux nombres de routes qui se multiplient
entre eux.]]>
24]]>
Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les
trajets de A vers C, à parcourir une seule fois.]]>
12]]>
Bonne réponse : chaque route de la première étape se
prolonge par chacune de la seconde :
4 × 3 = 12 trajets.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q45 : Remonter des parties à l'effectif
Un ensemble possède exactement 64 parties. Combien
compte-t-il d'éléments ?]]>
Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties. Retrouver
l'effectif revient donc à reconnaître 64 comme une
puissance de 2 : ici 64 = 2⁶.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
12]]>
Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties
au carré. L'égalité à résoudre est 2ⁿ = 64.]]>
6]]>
Bonne réponse : le nombre de parties vaut 2ⁿ, et
2⁶ = 64. L'ensemble compte donc 6 éléments.]]>
32]]>
Erreur : 32 est le nombre de parties d'un ensemble
ayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut
lire, pas la moitié du total.]]>
36]]>
Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de
l'effectif, mais 2 élevé à la puissance de l'effectif.]]>