$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Dérivation et convexité Dérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée
eᵘ), tangente, lien signe de la dérivée / variations,
convexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,
points d'inflexion, inégalités de convexité.

]]> Dérivation et convexité — Q01 : Dérivée de $x^3$ Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ
par f(x) = x³ ?

]]> Formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ : l'exposant descend en facteur et
diminue de 1. Donc (x³)' = 3x².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = x²

]]> Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.
(x³)' = 3x², pas x².

]]> f'(x) = 3x³

]]> Erreur : l'exposant doit diminuer de 1. On multiplie
par 3 puis on passe à x².

]]> f'(x) = 3x²

]]> Bonne réponse : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹, ici n = 3 donne
3x².

]]> f'(x) = x⁴/4

]]> Erreur de sens : x⁴/4 est une primitive de
x³, c'est l'opération inverse de la dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q02 : Équation de la tangente Soit f dérivable en a. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de f au point d'abscisse a ?

]]> Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). Elle passe par
(a ; f(a)) et a pour coefficient directeur le nombre dérivé
f'(a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = f'(a) x + f(a)

]]> Erreur : il manque le décalage -a. Cette droite passe par
(0 ; f(a)) et non par le point de tangence
(a ; f(a)) (sauf si a = 0).

]]> y = f'(x)(x - a) + f(a)

]]> Erreur : la pente d'une tangente est un nombre, f'(a),
évalué au point de tangence. Avec f'(x), l'équation ne
décrit plus une droite.

]]> y = f(a)(x - a) + f'(a)

]]> Erreur d'échange : la pente est le nombre dérivé
f'(a), et le point de passage a pour ordonnée f(a), pas
l'inverse.

]]> y = f'(a)(x - a) + f(a)

]]> Bonne réponse : droite de pente f'(a) passant par le point
(a ; f(a)).

]]> Dérivation et convexité — Q03 : Dérivée d'un produit Soient u et v deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit uv ?

]]> Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'. À distinguer de la somme
((u+v)' = u' + v') et du quotient
((u/v)' = u'v - uv'/v²).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uv)' = u'v + uv'

]]> Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,
l'autre restant intact, puis on additionne.

]]> (uv)' = u'v - uv'

]]> Erreur de signe : le moins apparaît dans la dérivée d'un
quotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit.

]]> (uv)' = u' + v'

]]> Erreur : u' + v' est la dérivée de la somme u + v.
Le produit suit la règle u'v + uv'.

]]> (uv)' = u'v'

]]> Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est
pas le produit des dérivées. Contre-exemple :
(x · x)' = 2x alors que x' · x' = 1.

]]> Dérivation et convexité — Q04 : Dérivée de $e^{@k@x}$ Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ
par f(x) = e²ˣ ?

]]> (eᵘ)' = u' eᵘ. Avec u(x) = 2x :
f'(x) = 2 e²ˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 2 eˣ

]]> Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde
e²ˣ et on multiplie par u' = 2.

]]> f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}

]]> Erreur : tu as appliqué la règle des puissances
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ à une exponentielle. Ici la variable est
en exposant : la règle est (eᵘ)' = u'eᵘ.

]]> f'(x) = e²ˣ

]]> Oubli du facteur u' : seule eˣ est sa propre dérivée.
Pour e²ˣ, la dérivation fait sortir le facteur 2.

]]> f'(x) = 2 e²ˣ

]]> Bonne réponse : (eᵘ)' = u' eᵘ avec u(x) = 2x et
u'(x) = 2.

]]> Dérivation et convexité — Q05 : Du signe de $f'$ aux variations Soit f dérivable sur ℝ avec
f'(x) = (x - 2)(x + 1). Sur quel intervalle f est-elle
décroissante ?

]]> f'(x) = (x-2)(x+1) est négatif exactement entre ses racines
-1 et 2 (trinôme à coefficient dominant positif). Donc f
est décroissante sur [-1 ; 2] et croissante ailleurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur [2 ; +∞[

]]> Erreur : pour x > 2, les deux facteurs sont positifs,
donc f' > 0 et f croît.

]]> Sur [-1 ; 2]

]]> Bonne réponse : f' est un trinôme de racines -1 et 2
avec coefficient dominant positif : f' < 0 entre ses
racines, donc f décroît sur [-1 ; 2].

]]> Sur ]-∞ ; -1]

]]> Erreur : pour x < -1, les deux facteurs sont négatifs et
leur produit est positif : f y est croissante.

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif

]]> Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive ici pour
-1 < x < 2.

]]> Dérivation et convexité — Q06 : Convexité et dérivée seconde Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I. À quelle
condition f est-elle convexe sur I ?

]]> Hiérarchie à retenir : le signe de f dit où est la courbe, le
signe de f' dit si elle monte, le signe de f'' dit comment
elle tourne : f'' ≥ 0 sur I ⇔ f convexe
sur I.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) ≥ 0 pour tout x de I

]]> Erreur : f' ≥ 0 donne la croissance, pas la
convexité. Une fonction peut être décroissante et convexe
(comme e⁻ˣ).

]]> f''(x) ≤ 0 pour tout x de I

]]> Erreur : f'' ≤ 0 caractérise la concavité. Moyen
mémo : la parabole x² est convexe et (x²)'' = 2 > 0.

]]> f(x) ≥ 0 pour tout x de I

]]> Erreur : le signe de f elle-même n'a aucun lien avec sa
forme. La convexité parle de la courbure, lue sur f''.

]]> f''(x) ≥ 0 pour tout x de I

]]> Bonne réponse : f convexe sur I équivaut à f'' positive
sur I (c'est-à-dire f' croissante).

]]> Dérivation et convexité — Q07 : Point d'inflexion Soit f deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
f admette un point d'inflexion en x = a ?

]]> Point d'inflexion ⇔ changement de convexité
⇔ f'' change de signe. L'annulation seule de
f'' ne suffit pas (x⁴ en 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que f'' s'annule en a en changeant de signe

]]> Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure
(convexe/concave), donc un changement de signe de f''.

]]> Que la tangente en a soit horizontale

]]> Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point
d'inflexion, la tangente traverse la courbe, qu'elle
soit horizontale ou non.

]]> Que f''(a) = 0, sans autre condition

]]> Piège classique : pour f(x) = x⁴, f''(0) = 0 mais
f'' = 12x² ≥ 0 ne change pas de signe : pas
d'inflexion en 0, la courbe reste convexe.

]]> Que f'(a) = 0 et que f''(a) = 0 simultanément

]]> Erreur : f'(a) = 0 n'est pas requis (la tangente en un
point d'inflexion peut être oblique), et f''(a) = 0 ne
suffit pas sans changement de signe (x⁴ en 0).

]]> Dérivation et convexité — Q08 : Lire la convexité sur une courbe [Figure : Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte
jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum
local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée
vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite
de 0.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente la fonction f
définie par f(x) = x³ - 3x. Sur quel intervalle f
est-elle convexe ?

]]> Graphiquement, f est convexe là où sa courbe est tournée vers
le haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.
Par le calcul : f''(x) = 6x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Nulle part : la fonction n'est pas convexe

]]> Erreur : la convexité se juge par intervalle. Cette
courbe est concave sur ]-∞ ; 0] puis convexe sur
[0 ; +∞[.

]]> Sur [-1 ; 1]

]]> Erreur : -1 et 1 sont les abscisses des extremums
locaux (lus sur f'), pas des changements de courbure. La
courbure change en 0.

]]> Sur [0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : à droite de 0, la courbe « tient l'eau »
(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses
tangentes. Par le calcul : f''(x) = 6x ≥ 0 pour
x ≥ 0.

]]> Sur ]-∞ ; 0]

]]> Erreur : à gauche de 0 la courbe est bombée vers le haut,
sous ses tangentes : c'est la partie concave
(f''(x) = 6x ≤ 0).

]]> Dérivation et convexité — Q09 : Lire un point d'inflexion [Figure : Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte
jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum
local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée
vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite
de 0.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente
f(x) = x³ - 3x. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?

]]> f''(x) = 6x s'annule en 0 en changeant de signe :
l'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses -1 et
1 correspondent aux extremums (signe de f'), un autre étage
de lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle n'en admet aucun

]]> Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :
bombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La
tangente en 0 traverse la courbe.

]]> Au point d'abscisse 0 uniquement

]]> Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en
x = 0 (f''(x) = 6x s'y annule en changeant de signe).

]]> Au point d'abscisse 1 uniquement

]]> Erreur : en x = 1 la fonction atteint un minimum local ;
la courbe y reste convexe, sans changement de courbure.

]]> Aux points d'abscisses -1 et 1

]]> Confusion classique : -1 et 1 sont les extremums
locaux (annulation de f'). L'inflexion concerne f'',
qui change de signe en 0.

]]> Dérivation et convexité — Q10 : Position par rapport aux tangentes Soit f une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
I. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur I ?

]]> Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes
ses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,
c'est l'inverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle traverse chacune de ses tangentes

]]> Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un
point d'inflexion, impossible au sein d'un intervalle de
stricte convexité.

]]> Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la
convexité pour une fonction dérivable.

]]> En dessous de chacune de ses tangentes

]]> Erreur : c'est la propriété des fonctions concaves.
Pense à x² : sa parabole domine toutes ses tangentes.

]]> Au-dessus de ses sécantes

]]> Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses
tangentes mais en dessous de ses cordes (sécantes) :
les deux se répondent.

]]> Dérivation et convexité — Q11 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Que peut-on dire de l'inégalité eˣ ≥ 1 + x ?

]]> y = 1 + x est la tangente en 0 à la courbe de exp
(pente e⁰ = 1, point (0 ; 1)). Comme exp est convexe
((eˣ)'' = eˣ > 0), sa courbe est au-dessus de cette tangente
partout : eˣ ≥ 1 + x pour tout x, avec égalité en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est vraie pour tout réel x

]]> Bonne réponse : y = 1 + x est la tangente à la courbe
de l'exponentielle au point (0 ; 1), et exp est
convexe sur ℝ : sa courbe domine toutes ses
tangentes.

]]> Elle est vraie seulement au voisinage de 0

]]> Erreur : la tangence a lieu en 0 (égalité), mais la
convexité de exp rend l'inégalité globale, valable
sur tout ℝ.

]]> Elle est fausse, c'est eˣ ≤ 1 + x qui est vraie

]]> Erreur de sens : en x = 1, e \approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1.
La courbe convexe est au-dessus de sa tangente.

]]> Elle est vraie uniquement pour x ≥ 0

]]> Erreur : teste x = -2 : e^{-2} \approx 0{,}14 et
1 + (-2) = -1. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,
et en fait partout par convexité.

]]> Dérivation et convexité — Q12 : Le piège de $f'(a) = 0$ Soit f dérivable sur ℝ avec f'(a) = 0.
La fonction f admet-elle nécessairement un extremum local en
a ?

]]> f'(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisant pour un
extremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :
f' change de signe en a. Contre-exemple canonique :
f(x) = x³ en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, dès que f est deux fois dérivable

]]> Erreur : x³ est indéfiniment dérivable et fournit quand
même le contre-exemple : f'(0) = 0, f''(0) = 0, aucun
extremum.

]]> Non : pour f(x) = x³ en a = 0, f'(0) = 0 sans
extremum

]]> Bonne réponse : x³ est strictement croissante sur
ℝ, sa tangente horizontale en 0 n'y crée aucun
extremum. Il faut que f' change de signe en a.

]]> Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux

]]> Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée
par la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,
comme x³ en 0).

]]> Non : f'(a) = 0 signifie que a est un point d'inflexion

]]> Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est
fausse. f'(a) = 0 ne dit rien de la courbure : pour x²
en 0, c'est un vrai minimum, pas une inflexion.

]]> Dérivation et convexité — Q13 : Dérivée de $\dfrac{1}{u}$ Quelle est la dérivée de f(x) = 1/x² + 1 ?

]]> (1/u)' = -u'/u². Réflexe de
contrôle : f est croissante là où u décroît, le signe de
f' doit être opposé à celui de u'.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : dériver « chaque étage » séparément n'est pas
une règle : l'inverse se dérive en -u'/u².

]]> f'(x) = 2x/(x² + 1)²

]]> Signe oublié : la formule porte un moins :
(1/u)' = -u'/u² (l'inverse
décroît quand u croît).

]]> f'(x) = -2x/(x² + 1)²

]]> Bonne réponse : (1/u)' = -u'/u² avec u = x² + 1, u' = 2x.

]]> f'(x) = -1/(x²+1)²

]]> u' oublié : le numérateur est -u' = -2x, pas -1
(la dérivée de l'étage intérieur compte).

]]> Dérivation et convexité — Q14 : Dérivée d'un quotient Quelle est la formule de la dérivée du quotient
u/v ?

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v².
Moyen mnémotechnique : « dérivée du haut fois bas, moins
haut fois dérivée du bas, sur bas au carré ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (u/v)' = uv' - u'v/v²

]]> Ordre inversé : le numérateur commence par u'v
(dérivée du haut en premier). L'inversion change le
signe du résultat.

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v

]]> Dénominateur : c'est v², pas v (le quotient se voit
comme u × 1/v, et 1/v apporte
un v²).

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v²

]]> Bonne réponse : numérateur antisymétrique (u'v - uv'),
dénominateur au carré. L'ordre des termes compte à cause
du moins.

]]> (u/v)' = u'/v'

]]> Erreur classique : le quotient des dérivées n'est pas la
dérivée du quotient (testez avec u = x², v = x :
u/v = x donne 1, mais u'/v' = 2x).

]]> Dérivation et convexité — Q15 : Définition du nombre dérivé Le nombre dérivé f'(a) est défini comme une limite.
Laquelle ?

]]> f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} : la
définition fonde tout le chapitre : chaque formule de
dérivation s'en déduit, et c'est elle qu'on utilise quand la
fonction n'est pas « standard » (|x| en 0…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a) - f(a+h)}{h}

]]> Signe : f(a) - f(a+h)/h est l'opposé du taux
d'accroissement ; sa limite vaut -f'(a).

]]> f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

]]> Bonne réponse : limite du taux d'accroissement entre a
et a + h : la pente de la sécante qui devient pente de
la tangente.

]]> f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{a}

]]> Erreur : le dénominateur est l'accroissement h de la
variable, pas a. Diviser par a ne donne pas une
pente, et la limite vaudrait 0.

]]> f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) + f(a)}{h}

]]> Signe : le taux d'accroissement mesure une
différence f(a+h) - f(a) ; avec un +, la limite
explose au lieu de donner la pente.

]]> Dérivation et convexité — Q16 : Dérivée de $\sqrt{u}$ Quelle est la dérivée de f(x) = √x² + 9 ?

]]> (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} : cas particulier de
la dérivation des composées, à automatiser. Ici le domaine
ne pose aucun problème : x² + 9 > 0 partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}

]]> u' oublié : la formule est \frac{u'}{2\sqrt{u}} ; le
u' = 2x au numérateur est indispensable (dérivation en
chaîne).

]]> f'(x) = √2x

]]> Erreur : on ne dérive pas « sous la racine » en laissant
la racine : la structure composée impose
\frac{u'}{2\sqrt{u}}.

]]> f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}

]]> Bonne réponse : (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} =
\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}, et le 2 se simplifie.

]]> f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}}

]]> Facteur 2 : le dénominateur porte un 2
(2√u) qui simplifie le 2 de u' = 2x :
résultat \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}.

]]> Dérivation et convexité — Q17 : Dérivée de $u^n$ Quelle est la dérivée de f(x) = (2x + 1)³ ?

]]> (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' : le réflexe en trois temps :
l'exposant descend, la puissance diminue de 1, la dérivée
de l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on
oublie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 6(2x + 1)²

]]> Bonne réponse : (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' avec u = 2x + 1 : 3(2x+1)² × 2 = 6(2x+1)².

]]> f'(x) = 3(2x + 1)³

]]> Exposant : la puissance descend d'un cran (n - 1 = 2), et le facteur u' = 2 s'ajoute : 6(2x+1)².

]]> f'(x) = (2)³ = 8

]]> Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne
correspond à aucune règle : la puissance se dérive en
n uⁿ⁻¹u'.

]]> f'(x) = 3(2x + 1)²

]]> u' oublié : il manque le facteur u' = 2 de la
dérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas x mais
2x + 1.

]]> Dérivation et convexité — Q18 : Condition d'extremum local f est dérivable sur ℝ et f'(2) = 0. À quelle
condition f admet-elle un extremum local en 2 ?

]]> Extremum local : f' s'annule en changeant de signe.
Tableau de variations obligatoire : la seule annulation de
f' ne dit rien (x³ : le contre-exemple à toujours avoir
en tête).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que f(2) = 0 de surcroît

]]> Confusion : la valeur de f n'a rien à voir : un
extremum peut valoir 7 ou -3 ; c'est le comportement
de f' autour de 2 qui décide.

]]> Que f''(2) = 0 de surcroît

]]> À l'envers : f''(2) = 0 suggérerait plutôt une
inflexion ; c'est f''(2) ≠ 0 qui, combiné à
f'(2) = 0, assure l'extremum.

]]> Aucune, f'(2) = 0 suffit toujours

]]> Contre-exemple : f(x) = (x - 2)³ : f'(2) = 0 mais
f est strictement croissante : simple « palier », pas
d'extremum.

]]> Que f' change de signe en 2

]]> Bonne réponse : f'(2) = 0 est nécessaire mais pas
suffisant (x³ en 0 : dérivée nulle, pas
d'extremum). Il faut de plus le changement de signe de
f' (+/− ou −/+), qui garantit le sommet ou le creux.

]]> Dérivation et convexité — Q19 : Calculer une dérivée seconde Soit f(x) = x⁴ - 2x³ + 5x. Que vaut f''(x) ?

]]> f'' = (f')' : dériver deux fois, ni plus ni moins. C'est
l'outil du chapitre : le signe de f'' donne la convexité,
ses annulations avec changement de signe donnent les points
d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f''(x) = 24x - 12

]]> Une dérivation de trop : 24x - 12 est f'''(x), la
dérivée troisième.

]]> f''(x) = 12x² - 12x

]]> Bonne réponse : f'(x) = 4x³ - 6x² + 5, puis on
dérive à nouveau : f''(x) = 12x² - 12x.

]]> f''(x) = 12x² - 12x + 5

]]> Constante fantôme : la dérivée de la constante 5 est
0 : elle disparaît à la deuxième dérivation.

]]> f''(x) = 4x³ - 6x² + 5

]]> Arrêt prématuré : c'est f', la dérivée première.
La seconde exige une deuxième dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q20 : Continue mais non dérivable La fonction f(x) = |x| est continue en 0. Est-elle
dérivable en 0 ?

]]> Dérivable ⇒ continue, jamais l'inverse : |x|
est continue partout mais son angle en 0 interdit la
tangente. Graphiquement : une fonction dérivable a une courbe « lisse », sans angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : toute fonction continue est dérivable

]]> Implication à l'envers : dérivable ⇒
continue, mais continue \not\Rightarrow dérivable :
|x| est LE contre-exemple.

]]> Non, les pentes à gauche et à droite diffèrent

]]> Bonne réponse : le taux d'accroissement vaut -1 à
gauche et +1 à droite, pas de limite unique. La courbe
forme un angle : deux demi-tangentes de pentes
différentes, donc pas de tangente unique, pas de nombre
dérivé.

]]> Oui, avec f'(0) = 0 par symétrie de la courbe

]]> Erreur : la symétrie ne crée pas la dérivabilité : le
taux |h|/h saute de -1 à +1, aucune limite
en 0.

]]> Non, car f n'est en réalité pas continue en 0

]]> Diagnostic faux : f est continue en 0
(|x| → 0). C'est la dérivabilité, plus exigeante,
qui échoue.

]]> Dérivation et convexité — Q21 : Trouver un point d'inflexion par le calcul Soit f(x) = x³ - 6x² + 5x. En quel point la courbe de
f admet-elle un point d'inflexion ?

]]> Méthode : calculer f'', chercher ses annulations avec
changement de signe. Ici f''(x) = 6(x - 2) : inflexion
en x = 2 : le centre de symétrie de la cubique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aux points où f'(x) = 0

]]> Confusion dérivée première/seconde : f' = 0 donne les
candidats extremums ; l'inflexion se lit sur f''.

]]> Au point d'abscisse 2

]]> Bonne réponse : f'(x) = 3x² - 12x + 5, f''(x) = 6x - 12 s'annule en changeant de signe en x = 2 : négatif
avant, positif après, la courbe passe de concave à
convexe.

]]> Il n'y en a pas : un polynôme n'a pas d'inflexion

]]> Faux : tout polynôme de degré 3 a exactement un point
d'inflexion (sa dérivée seconde est affine et change de
signe).

]]> Au point d'abscisse 6

]]> Erreur de résolution : 6x - 12 = 0 \iff x = 2, pas
x = 6 (division par 6, pas soustraction).

]]> Dérivation et convexité — Q22 : Convexité de l'exponentielle Pourquoi la fonction exponentielle est-elle convexe sur
ℝ ?

]]> Trois propriétés indépendantes : signe de f (position par
rapport à l'axe), signe de f' (variations), signe de f''
(convexité). L'exponentielle cumule les trois, mais chaque
propriété a son propre critère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que (eˣ)'' = eˣ > 0 pour tout x

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée
seconde, toujours strictement positive : convexité sur
tout ℝ, d'où l'inégalité de tangente eˣ ≥ 1 + x.

]]> Elle n'est convexe que sur [0\ ;\ +∞[

]]> Erreur : eˣ > 0 pour tout x, négatifs compris :
la convexité couvre tout ℝ.

]]> Parce qu'elle est positive

]]> Positivité ≠ convexité : x ↦ 4 - x²
est positive sur [-2\ ;\ 2] et concave. Le signe de
f ne dit rien sur sa courbure.

]]> Parce qu'elle est croissante

]]> Croissance ≠ convexité : √x est croissante
et concave. La convexité se lit sur f'' (ou la
croissance de f'), pas sur f' > 0.

]]> Dérivation et convexité — Q23 : Optimisation d'une aire Avec 20 mètres de clôture, on délimite un rectangle. En
notant x une des dimensions, l'aire vaut A(x) = x(10 - x). Quelle valeur de x rend l'aire maximale ?

]]> Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une
variable, dériver, tableau de variations, conclure. À
périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :
résultat à retenir comme contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5

]]> Bonne réponse : A'(x) = 10 - 2x, positive avant 5,
négative après : maximum en x = 5, donc un carré de
côté 5 et une aire maximale A(5) = 25 m².

]]> Aucune, l'aire croît avec x

]]> Erreur : le périmètre est fixé : agrandir x rétrécit
l'autre côté (10 - x). Le tableau de variations montre
la bosse en x = 5.

]]> x = 10

]]> Erreur : la plus grande dimension possible donne A(10) = 10 × 0 = 0, le rectangle est écrasé. Maximiser
une dimension ne maximise pas l'aire.

]]> x = 2{,}5

]]> Erreur : A'(x) = 10 - 2x s'annule en x = 5, pas en
2{,}5 (attention à ne pas diviser 10 par 4).

]]> Dérivation et convexité — Q24 : Convexité et croissance de $f'$ f est dérivable sur ℝ. Quelle caractérisation
de la convexité de f est correcte ?

]]> Trois formulations équivalentes de la convexité (pour f
dérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes ; f'
croissante ; f'' ≥ 0 (si f'' existe). Savoir passer
de l'une à l'autre est exactement ce que demandent les
sujets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f est convexe si et seulement si f' est croissante

]]> Bonne réponse : convexe signifie que les pentes des tangentes augmentent, c'est-à-dire que f' est croissante. La version f'' ≥ 0 n'en est que la traduction quand f'' existe.

]]> f est convexe si et seulement si f est positive

]]> Sans rapport : x² - 10 est convexe et souvent
négative ; le signe de f ne décrit que la position par
rapport à l'axe des abscisses.

]]> f est convexe si et seulement si f est croissante

]]> Confusion : e⁻ˣ est décroissante et convexe.
La convexité porte sur la croissance de f', pas de
f.

]]> f est convexe si et seulement si f' ≥ 0

]]> Erreur : f' ≥ 0 signifie f croissante. Pour la
convexité, c'est f' croissante (f'' ≥ 0)
qu'il faut.

]]> Dérivation et convexité — Q25 : Dérivée d'une composée avec exponentielle Quelle est la dérivée de f(x) = e^{x^2} ?

]]> La dérivée de eᵘ vaut u'eᵘ. L'exponentielle se reproduit
elle-même, multipliée par la dérivée de son exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{x^2}

]]> Facteur oublié : la dérivée de l'exposant apparaît en facteur dès que
celui-ci n'est pas x.

]]> 2x\,e^{x^2}

]]> Bonne réponse : la dérivée de eᵘ vaut u'eᵘ, avec ici
u(x) = x².

]]> 2x e²ˣ

]]> Deux erreurs cumulées : l'exposant reste x² et seul le facteur
change.

]]> e²ˣ

]]> Exposant dérivé à tort : la dérivation ne modifie pas l'exposant, elle
fait apparaître sa dérivée en facteur.

]]> Dérivation et convexité — Q26 : Position d'une courbe convexe Une fonction est convexe sur un intervalle. Où se situe sa courbe par
rapport à ses tangentes ?

]]> Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes,
une fonction concave en dessous. La dérivée seconde permet de trancher par
le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune d'elles

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la convexité,
d'où l'inégalité eˣ ≥ 1 + x.

]]> Au-dessus de certaines, en dessous d'autres

]]> Un tel changement caractériserait un point d'inflexion, donc une perte
de convexité.

]]> En dessous de chacune d'elles

]]> C'est le cas d'une fonction concave, comme le logarithme népérien.

]]> Confondue avec chacune d'elles

]]> Seule une fonction affine coïncide avec ses tangentes, et elle n'est
ni strictement convexe ni strictement concave.

]]> Dérivation et convexité — Q27 : Un point d'inflexion par le calcul La dérivée seconde de f s'annule en 2 en changeant de signe.
Que peut-on affirmer ?

]]> Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce
qui correspond à un changement de signe de la dérivée seconde.
L'annulation seule ne suffit pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe admet un point d'inflexion en 2

]]> Bonne réponse : le changement de signe de f'' traduit le passage de
la convexité à la concavité, ou l'inverse.

]]> La fonction admet un extremum en 2

]]> Un extremum viendrait d'un changement de signe de f', pas de
f''.

]]> La tangente en 2 est horizontale

]]> Rien ne l'impose : un point d'inflexion peut avoir une tangente de
pente quelconque.

]]> La fonction est convexe autour de 2

]]> Elle l'est d'un côté seulement, puisque la dérivée seconde change de
signe.

]]> Dérivation et convexité — Q28 : Dérivée de $\ln u$ Quelle est la dérivée de f(x) = ln(3x + 1) sur
]-⅓ ; +∞[ ?

]]> La dérivée de ln u vaut u'/u sur tout intervalle où u est
strictement positive. Cette formule sert constamment dans les études de
fonctions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅓

]]> Dénominateur remplacé par une constante : la fonction dérivée dépend
encore de x.

]]> 3ln(3x + 1)

]]> Le logarithme ne se reproduit pas en se dérivant, contrairement à
l'exponentielle.

]]> 1/3x + 1

]]> Numérateur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît au
numérateur.

]]> 3/3x + 1

]]> Bonne réponse : la dérivée de ln u vaut u'/u, avec
u'(x) = 3.

]]> Dérivation et convexité — Q29 : Convexité lue sur la dérivée Sur un intervalle, la fonction f' est croissante.
Que peut-on dire de f ?

]]> Convexité et croissance de la dérivée sont deux formulations de la même
propriété. Le signe de la dérivée, lui, donne le sens de variation de la
fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est convexe

]]> Bonne réponse : la croissance de la dérivée est la définition de la
convexité, équivalente à f'' ≥ 0.

]]> Elle est concave

]]> La concavité correspond au contraire à une dérivée décroissante.

]]> Elle est croissante

]]> Le signe de f' n'est pas donné : une dérivée croissante peut rester
négative, et f décroître.

]]> Elle admet un point d'inflexion

]]> Un point d'inflexion demanderait un changement de sens de f', exclu
par l'énoncé.

]]> Dérivation et convexité — Q30 : Dériver un produit avec exponentielle Quelle est la dérivée de f(x) = (2x - 1)eˣ ?

]]> La formule (uv)' = u'v + uv' donne ici 2eˣ + (2x-1)eˣ. Factoriser
par l'exponentielle simplifie l'étude du signe qui suit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2eˣ

]]> Second terme oublié : la formule du produit comporte aussi
u × v'.

]]> (2x - 1)eˣ

]]> Dérivée du premier facteur oubliée : elle ajoute 2eˣ au résultat.

]]> (2x + 1)eˣ

]]> Bonne réponse : 2eˣ + (2x-1)eˣ se factorise en (2x+1)eˣ.

]]> 2xeˣ

]]> Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le
produit des dérivées.

]]> Dérivation et convexité — Q31 : Calculer un nombre dérivé Soit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = 3x² + 5x. Que vaut f'(2) ?

]]> Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir
l'expression de f', puis y remplacer x par la valeur demandée.
Ici f'(x) = 6x + 5, donc f'(2) = 17.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 22

]]> C'est f(2), l'image, et non le nombre dérivé. Il faut
d'abord dériver, puis remplacer.

]]> 12

]]> Terme en x oublié : la dérivée de + 5x vaut 5, et
elle subsiste dans f'.

]]> 11

]]> Coefficient 2 oublié : la dérivée de 3x² est
6x, pas 3x.

]]> 17

]]> Bonne réponse : f'(x) = 6x + 5, puis on
remplace x par 2, ce qui donne 17.

]]> Dérivation et convexité — Q32 : Dérivée de $\dfrac{a}{x + b}$ Quelle est la dérivée de la fonction f définie par
f(x) = 3/x + 2 sur un intervalle où le dénominateur
ne s'annule pas ?

]]> Une constante se conserve en facteur : (3/u)' = 3 × (-u'/u²). Avec u(x) = x + 2
et u' = 1, la dérivée vaut -3/(x + 2)².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -3/x + 2

]]> Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse
impose u² au dénominateur.

]]> f'(x) = 3/(x + 2)²

]]> Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,
conformément à (1/u)' = -u'/u².

]]> f'(x) = -3/(x + 2)²

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x + 2, la formule
(k/u)' = -k u'/u² donne
-3/(x + 2)², car u' = 1.

]]> f'(x) = -1/3(x + 2)²

]]> Constante déplacée : le facteur 3 multiplie la fonction, il
reste au numérateur après dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q33 : Position de la corde d'une fonction convexe Soit f une fonction convexe sur [a ; b]. Où se situe la corde
qui relie les points de la courbe d'abscisses a et b ?

]]> Deux lectures géométriques de la convexité : la courbe est au-dessus
de chacune de ses tangentes, et en dessous de chacune de ses cordes.
La concavité échange les deux positions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle coupe la courbe en un point intérieur

]]> La corde ne rencontre la courbe qu'en ses deux extrémités : une
traversée signalerait un changement de convexité.

]]> Confondue avec la courbe sur [a ; b]

]]> Ce n'est le cas que pour une fonction affine, seul cas où la
convexité n'est pas stricte.

]]> Au-dessus de la courbe sur [a ; b]

]]> Bonne réponse : une fonction convexe est sous ses cordes et
au-dessus de ses tangentes. Pense à la parabole x².

]]> En dessous de la courbe sur [a ; b]

]]> C'est la situation d'une fonction concave : essaie avec
f(x) = x² entre 0 et 2, la corde passe au-dessus.

]]> Dérivation et convexité — Q34 : Taux d'accroissement de la fonction carré Soit f la fonction carré, définie par f(x) = x². Que vaut le
taux d'accroissement de f entre 2 et 5 ?

]]> Le taux d'accroissement de f entre a et b vaut
f(b) - f(a)/b - a. Pour la fonction carré, il se
simplifie toujours en a + b, et tend vers 2a quand b se
rapproche de a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : 5² - 2²/5 - 2 se simplifie
en 5 + 2 grâce à l'identité x² - y² = (x-y)(x+y), soit
7.

]]> 3

]]> C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul
dénominateur du taux, pas le taux lui-même.

]]> 21

]]> Division oubliée : 21 est l'écart des images, il reste à
le diviser par l'écart des abscisses.

]]> 10

]]> Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de
différences, jamais un produit d'abscisses.

]]> Dérivation et convexité — Q35 : Convexité de $e^{-x}$ La fonction g définie sur ℝ par g(x) = e⁻ˣ est-elle
convexe ?

]]> Chaque dérivation de e⁻ˣ fait sortir le facteur -1 : la
dérivée est -e⁻ˣ et la dérivée seconde e⁻ˣ, strictement
positive. La fonction est donc convexe sur ℝ tout en y
étant décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car g''(x) = e⁻ˣ > 0

]]> Bonne réponse : g'(x) = -e⁻ˣ, puis g''(x) = e⁻ˣ, qui
est strictement positive sur ℝ.

]]> Seulement sur [0 ; +∞[, où elle décroît lentement

]]> La dérivée seconde est strictement positive pour tout réel,
négatifs compris : la convexité vaut sur ℝ.

]]> Non, car g est décroissante sur ℝ

]]> Variations et convexité sont indépendantes : g décroît en
restant convexe, sa pente augmentant vers 0.

]]> Non, car g''(x) = -e⁻ˣ < 0

]]> Un signe de trop : la seconde dérivation fait réapparaître un
facteur -1, qui annule celui de la première.

]]> Dérivation et convexité — Q36 : Dériver un quotient de fonctions affines Quelle est la dérivée de f(x) = 2x + 1/x + 3
sur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v². Avec deux
fonctions affines, les termes en x du numérateur disparaissent
toujours : il reste une constante, ici 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 5/x + 3

]]> Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose
v².

]]> f'(x) = -5/(x + 3)²

]]> Numérateur pris à l'envers : la formule commence par u'v, la
dérivée du haut multipliée par le bas.

]]> f'(x) = 5/(x + 3)²

]]> Bonne réponse : u'v - uv' = 2(x + 3) - (2x + 1),
les termes en x se simplifient et il reste 5.

]]> f'(x) = 2

]]> Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un
quotient n'est pas le quotient des dérivées.

]]> Dérivation et convexité — Q37 : Dériver une racine carrée composée Quelle est la dérivée de f(x) = √3x + 5 sur
l'intervalle où 3x + 5 > 0 ?

]]> (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} : la racine descend au
dénominateur, accompagnée d'un facteur 2, et la dérivée de
l'expression intérieure passe au numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = \dfrac{3}{\sqrt{3x + 5}}

]]> Facteur 2 oublié au dénominateur : la formule est
\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.

]]> f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 5}}

]]> Bonne réponse : (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} avec
u(x) = 3x + 5 et u' = 3.

]]> f'(x) = \dfrac{3x + 5}{2\sqrt{3x + 5}}

]]> Numérateur confondu : c'est la dérivée u' qui monte au
numérateur, pas u tout entier.

]]> f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{3x + 5}}

]]> Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est u' = 3, pas
1. C'est l'erreur classique de composition.

]]> Dérivation et convexité — Q38 : Nombre dérivé d'une puissance composée Soit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = (2x + 5)³. Que vaut f'(-1) ?

]]> (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u' : l'exposant descend en facteur, la
puissance diminue de 1, et la dérivée de l'intérieur multiplie le
tout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 27

]]> Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur u' = 2 de
la dérivation en chaîne.

]]> 18

]]> Exposant non descendu en facteur : la formule commence par
multiplier par 3.

]]> 162

]]> Exposant non abaissé : la puissance passe de 3 à 2 au
moment de la dérivation.

]]> 54

]]> Bonne réponse : f'(x) = 3 × 2 × (2x + 5)², et en -1 l'intérieur vaut 3,
d'où 54.

]]> Dérivation et convexité — Q39 : Où une valeur absolue perd sa dérivabilité En quel réel la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = |2x - 6| n'est-elle pas dérivable ?

]]> Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression
qu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un
angle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -12

]]> Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés
pour résoudre l'équation 2x - 6 = 0.

]]> 0

]]> L'angle ne se trouve en 0 que pour |x| : ici l'expression
intérieure s'annule ailleurs.

]]> -3

]]> Signe mal reporté : résoudre 2x - 6 = 0 donne 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : l'expression 2x - 6 s'annule en 3,
et c'est là que la courbe forme un angle.

]]> Dérivation et convexité — Q40 : Équation réduite d'une tangente Soit f la fonction définie par f(x) = 2x² + 3. Quelle est
l'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse
1 ?

]]> Tangente au point d'abscisse x₀ : y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).
On calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis
on développe pour obtenir l'équation réduite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 4x + 5

]]> Décalage oublié : la tangente s'écrit f'(1)(x - 1) + f(1), le terme - 1 modifie l'ordonnée à l'origine.

]]> y = 4x + 1

]]> Bonne réponse : f'(1) = 4 et f(1) = 5, donc
y = 4(x - 1) + 5, qui se réduit en
y = 4x + 1.

]]> y = 4x

]]> Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or
la tangente doit passer par (1 ; 5).

]]> y = 5x + 4

]]> Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé
4, et 5 est l'ordonnée du point de contact.

]]> Dérivation et convexité — Q41 : Repérer un maximum sur le signe de $f'$ Soit f dérivable sur ℝ. Sa dérivée est négative sur
]-∞ ; -2], positive sur [-2 ; 3], puis négative
sur [3 ; +∞[. En quelle valeur f admet-elle un maximum
local ?

]]> Le signe de f' se lit comme un relief : un passage du positif au
négatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un
minimum local. La valeur de f n'intervient pas dans ce diagnostic.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Bonne réponse : f croît puis décroît autour de 3, la
courbe y atteint un sommet.

]]> Nulle part : f' change deux fois de signe

]]> C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un
changement de signe de f' en produit un à chaque fois.

]]> x = -2 et x = 3

]]> Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures
opposées : minimum en -2, maximum en 3.

]]> x = -2

]]> Sens de variation inversé : en -2, f passe de décroissante
à croissante, c'est un minimum local.

]]> Dérivation et convexité — Q42 : Convexité déduite des variations de $f'$ Sur [0 ; 5], la dérivée f' d'une fonction f est décroissante
sur [0 ; 2] puis croissante sur [2 ; 5]. Que peut-on dire de
f ?

]]> Trois étages superposés : le signe de f' donne les variations de
f, le sens de variation de f' donne sa convexité. Un changement
de sens de f' marque donc un point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Convexe sur tout [0 ; 5], puisque f' finit par croître

]]> La convexité se juge intervalle par intervalle : sur [0 ; 2]
la dérivée décroît, donc la courbe y est concave.

]]> Décroissante puis croissante, exactement comme sa dérivée

]]> Étage de lecture confondu : les variations de f se lisent sur
le signe de f', pas sur son sens de variation.

]]> Convexe sur [0 ; 2], puis concave sur [2 ; 5]

]]> Correspondance inversée : c'est la croissance de f' qui donne
la convexité, et sa décroissance la concavité.

]]> Concave sur [0 ; 2], puis convexe sur [2 ; 5]

]]> Bonne réponse : la convexité suit le sens de variation de f'.
Le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion.

]]> Dérivation et convexité — Q43 : Dérivée nulle sans changement de signe Soit f dérivable sur ℝ telle que f'(x) = (x - 3)².
Que peut-on dire de f en 3 ?

]]> Un extremum local exige que f' s'annule en changeant de signe.
Avec f'(x) = (x-3)², la dérivée touche zéro et repart positive :
la courbe présente une tangente horizontale sans sommet ni creux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum local, puisque f'(3) = 0

]]> Condition nécessaire prise pour suffisante : l'annulation de
f' ne suffit pas, il faut un changement de signe.

]]> Aucun extremum : f croît sur ℝ

]]> Bonne réponse : un carré est positif, donc f' ≥ 0 partout.
La dérivée s'annule en 3 sans changer de signe.

]]> Un maximum local, puisque f' s'annule en 3

]]> Même erreur, avec le mauvais type d'extremum en prime : f ne
décroît nulle part, elle ne peut atteindre aucun sommet.

]]> Un extremum dont le type se lit sur le signe de f''(3)

]]> Ici f''(x) = 2(x - 3) s'annule aussi en 3 : ce critère ne
tranche rien, seul le signe de f' conclut.

]]> Dérivation et convexité — Q44 : Inégalité déduite d'une concavité La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[ et sa tangente au
point d'abscisse 1 a pour équation y = x - 1. Quelle inégalité en
découle ?

]]> Une fonction concave se situe sous toutes ses tangentes. Appliquée à
la tangente de ln en 1, cette propriété fournit l'inégalité
ln x ≤ x - 1, très utilisée dans les comparaisons.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln x ≥ 1 - x pour tout x > 0

]]> Tangente mal recopiée : sa pente vaut 1, pas -1. Teste
x = 0{,}5 : -0{,}69 \geq 0{,}5 est faux.

]]> ln x ≤ x - 1 seulement pour x ≥ 1

]]> La concavité vaut sur tout l'intervalle : pour x = 0{,}5,
\ln 0{,}5 \approx -0{,}69 est bien inférieur à -0{,}5.

]]> ln x ≥ x - 1 pour tout x > 0

]]> Position inversée : c'est une fonction convexe qui domine ses
tangentes. Teste x = 4 : \ln 4 \approx 1{,}39 < 3.

]]> ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0

]]> Bonne réponse : une courbe concave reste sous chacune de ses
tangentes, avec égalité au seul point de contact x = 1.

]]> Dérivation et convexité — Q45 : Minimiser un coût moyen Le coût moyen de fabrication de x objets, en euros, est donné par
C(x) = x + 36/x pour x > 0. Pour quelle production ce
coût moyen est-il minimal ?

]]> Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le
signe de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici
C'(x) = 1 - 36/x² s'annule en √36 = 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9 objets

]]> Même confusion : diviser par 4 ne remplace pas l'extraction de
la racine carrée de 36.

]]> 6 objets

]]> Bonne réponse : C'(x) = 1 - 36/x² s'annule quand
x² = 36, donc en x = 6, en passant du négatif au
positif.

]]> 18 objets

]]> Équation mal résolue : x² = 36 se résout par une racine
carrée, pas par une division par 2.

]]> 36 objets

]]> Valeur recopiée de l'énoncé : 36 annulerait C' seulement si
36² = 36, ce qui est faux ici.

]]> Dérivation et convexité — Q46 : Lire la convexité sur la courbe de f'' [Figure : Droite représentant f'', croissante, coupant l'axe des abscisses
au point d'abscisse 1 : négative avant 1, positive après.]

La courbe ci-contre représente la dérivée seconde f'' d'une
fonction f deux fois dérivable sur ℝ. Sur quel
intervalle f est-elle convexe ?

]]> f convexe sur I \iff f'' ≥ 0 sur I. Ici f'' change
de signe en 1 : la courbe de f a un point d'inflexion
d'abscisse 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ℝ, car f'' est croissante

]]> Erreur : c'est le signe de f'' qui compte, pas son sens de
variation.

]]> ]-∞ ; 1]

]]> Erreur : sur cet intervalle f'' ≤ 0, la fonction f y est
concave.

]]> [1 ; +∞[

]]> Bonne réponse : f est convexe là où f'' ≥ 0, c'est-à-dire
là où la courbe de f'' est au-dessus de l'axe.

]]> [0 ; +∞[

]]> Erreur : entre 0 et 1, f'' est encore négative.

]]> Dérivation et convexité — Q47 : Lire les variations sur la courbe de f' [Figure : Parabole tournée vers le haut représentant f', coupant l'axe des
abscisses en -1 et 2, négative entre ces deux valeurs.]

La courbe ci-contre représente la dérivée f' d'une fonction f
dérivable sur ℝ. Sur quel intervalle f est-elle
décroissante ?

]]> Lecture sur la courbe de f' : le signe de f' donne les
variations de f ; les variations de f' donnent la convexité de
f.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-2{,}25\,;\,0]

]]> Erreur : [-2{,}25\,;\,0] est l'intervalle des valeurs prises par
f' entre ses racines.

]]> ]-\infty\,;\,0{,}5]

]]> Erreur : c'est là que f' décroît ; on lit le signe de f', pas
ses variations.

]]> [-1 ; 2]

]]> Bonne réponse : f décroît là où f' ≤ 0, c'est-à-dire là
où la courbe de f' est sous l'axe.

]]> ]-∞ ; -1] ∪ [2 ; +∞[

]]> Erreur : sur ces intervalles f' ≥ 0 et f croît.

]]>