$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonction logarithme népérien Logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle,
propriétés algébriques, dérivée et variations, limites en 0 et
en +∞, croissances comparées, équations et inéquations,
lien entre les courbes de ln et de exp.

]]> Fonction logarithme népérien — Q01 : Valeurs de référence Que vaut ln(1) ?

]]> ln est la réciproque de exp : ln(x) = y signifie
eʸ = x. Comme e⁰ = 1, on a ln(1) = 0 ; comme
e¹ = e, on a ln(e) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Erreur : e \approx 2{,}718 est la base de
l'exponentielle. Le logarithme répond à la question « à
quelle puissance élever e ? » ; pour obtenir 1, la
réponse est 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : ln(1) = 0 car e⁰ = 1. La courbe de
ln coupe l'axe des abscisses en x = 1.

]]> Ce nombre n'est pas défini

]]> Erreur : ln est définie sur ]0 ; +∞[, et
1 > 0. C'est ln(0) ou ln d'un nombre négatif qui
n'existe pas.

]]> 1

]]> Erreur : c'est ln(e) qui vaut 1 (car e¹ = e).
Retiens le couple : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q02 : Logarithme d'un produit Pour tous réels a > 0 et b > 0, que vaut ln(ab) ?

]]> Équation fonctionnelle du logarithme :
ln(ab) = ln(a) + ln(b). On en déduit
ln(a/b) = ln a - ln b et ln(aⁿ) = nln(a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln(a) × ln(b)

]]> Erreur classique : le logarithme ne « distribue » pas sur le
produit en produit. Teste : ln(e × e) = ln(e²) = 2
alors que ln(e) × ln(e) = 1.

]]> ln(a) + ln(b)

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en
sommes. C'est la propriété fondamentale, héritée de
eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ.

]]> ln(a + b)

]]> Erreur : ln(a+b) ne se simplifie pas. La formule
transforme le produit ab en somme des logarithmes,
pas l'inverse.

]]> ln(a) - ln(b)

]]> Erreur : la différence correspond au quotient :
ln(a/b) = ln(a) - ln(b).

]]> Fonction logarithme népérien — Q03 : Simplifier $\ln(e^@k@)$ Que vaut ln(e³) ?

]]> Réciprocité : ln(eˣ) = x pour tout x réel, et
eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x pour tout x > 0. Donc ln(e³) = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : ln(eˣ) = x pour tout réel x, car
ln et exp sont réciproques l'une de l'autre.

]]> 3e

]]> Erreur : aucun produit par e n'apparaît.
ln(e³) = 3ln(e) = 3 × 1 = 3.

]]> ln(3)

]]> Erreur : tu as remplacé e³ par 3 avant d'appliquer
ln. La règle est ln(eˣ) = x : le logarithme extrait
l'exposant.

]]> e³

]]> Erreur : appliquer ln à e³ « défait » l'exponentielle
et rend l'exposant : le résultat est 3, pas
e³ ≈ 20.

]]> Fonction logarithme népérien — Q04 : Dérivée du logarithme Quelle est la dérivée de la fonction ln sur
]0 ; +∞[ ?

]]> Résultat du cours (démonstration au programme, la dérivabilité
étant admise) : (ln x)' = 1/x sur
]0 ; +∞[. Positif, donc ln strictement croissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ eˣ

]]> Erreur : eˣ est la dérivée de l'exponentielle. Être
réciproques ne donne pas la même dérivée.

]]> x ↦ ln(x) · 1/x

]]> Erreur : aucune règle ne fait réapparaître ln dans sa
propre dérivée. Le résultat est simplement 1/x.

]]> x ↦ -1/x²

]]> Erreur : -1/x² est la dérivée de la fonction
inverse x ↦ 1/x, pas celle de ln.

]]> x ↦ 1/x

]]> Bonne réponse : (ln x)' = 1/x, strictement
positive sur ]0 ; +∞[, ce qui prouve que ln est
strictement croissante.

]]> Fonction logarithme népérien — Q05 : Dérivée de $\ln(u)$ Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) sur
ℝ ?

]]> (ln u)' = u'/u (avec u > 0). Ici
u(x) = x² + 1 > 0 pour tout x, donc f est définie sur
ℝ et f'(x) = 2x/x²+1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : tu as dérivé comme si l'intérieur était la
variable, puis inversé u'. La règle exacte :
(ln u)' = u'/u = 2x/x²+1.

]]> f'(x) = 2x/x² + 1

]]> Bonne réponse : (ln u)' = u'/u avec
u(x) = x² + 1 et u'(x) = 2x.

]]> f'(x) = 1/x² + 1

]]> Oubli du facteur u' : la formule de la composée est
u'/u, pas 1/u. Il manque 2x au
numérateur.

]]> f'(x) = 2x ln(x² + 1)

]]> Erreur : le logarithme disparaît en dérivant ; il ne reste
jamais de ln en facteur dans la dérivée de ln(u).

]]> Fonction logarithme népérien — Q06 : Résoudre $e^x = @k@$ Quelle est la solution de l'équation eˣ = 5 ?

]]> Pour tout k > 0, l'équation eˣ = k a pour unique solution
x = ln(k). C'est l'utilisation type de la réciprocité
ln(eˣ) = x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = ln(5)

]]> Bonne réponse : on applique ln aux deux membres :
ln(eˣ) = x et l'équation devient x = \ln 5 \approx
1{,}61.

]]> x = 5 - e

]]> Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.
L'outil adapté est le logarithme : x = ln 5.

]]> x = e⁵

]]> Erreur de sens : e⁵ ≈ 148 est l'image de 5 par
l'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de
5, c'est ln 5.

]]> x = 5/e

]]> Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par
e ; on ne « divise » pas par e pour isoler x. On
applique la fonction réciproque ln.

]]> Fonction logarithme népérien — Q07 : Résoudre $\ln(x) \leq @k@$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
ln(x) ≤ 2 ?

]]> Deux étapes : (1) domaine : x > 0 ; (2) croissance de
exp : ln x ≤ 2 ⇔ x ≤ e².
Solutions : ]0 ; e²].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; 2]

]]> Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,
\ln x \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2 \approx 7{,}39,
pas x ≤ 2.

]]> [e² ; +∞[

]]> Sens inversé : ln est croissante, donc
ln x ≤ 2 correspond aux petites valeurs de x
(jusqu'à e²), pas aux grandes.

]]> ]-∞ ; e²]

]]> Oubli du domaine : ln(x) n'existe que pour x > 0. Les
nombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une
inéquation qui n'a pas de sens pour eux.

]]> ]0 ; e²]

]]> Bonne réponse : il faut d'abord x > 0 (domaine de
ln), puis ln x ≤ 2 ⇔ x ≤ e² car
exp est croissante. D'où 0 < x ≤ e².

]]> Fonction logarithme népérien — Q08 : Limite en $0^+$ Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 par
valeurs supérieures ?

]]> Limites de référence : \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty et
\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. La courbe longe l'axe
des ordonnées vers le bas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle n'existe pas

]]> Erreur : la limite existe au sens des limites infinies :
\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty.

]]> -∞

]]> Bonne réponse : près de 0, le logarithme plonge vers
-∞ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à
la courbe.

]]> +∞

]]> Erreur de sens : +∞ est la limite en +∞. En
0⁺, le logarithme des tout petits nombres est très
négatif.

]]> 0

]]> Erreur : c'est en x = 1 que ln s'annule. Près de 0,
\ln(0{,}001) \approx -6{,}9 : les valeurs dévissent vers
-∞.

]]> Fonction logarithme népérien — Q09 : Croissance comparée $\ln x$ contre $x$ Quelle est la limite de ln(x)/x quand x tend vers
+∞ ?

]]> Croissance comparée (au programme) : pour tout entier
n ≥ 1, \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0.
Hiérarchie à mémoriser : \ln x \ll x^n \ll e^x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ne sont pas du même
ordre de grandeur. Le logarithme est écrasé par x.

]]> +∞

]]> Erreur : le logarithme croît vers +∞, mais
beaucoup plus lentement que x : pour x = e¹⁰ ≈ 22 000, le quotient vaut à peine 0{,}00045.

]]> e

]]> Erreur : e ne joue aucun rôle particulier dans cette
limite. La croissance comparée donne 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : par croissance comparée, toute puissance de
x l'emporte sur ln x en +∞ : le quotient tend
vers 0.

]]> Fonction logarithme népérien — Q10 : Courbes de $\ln$ et de $\exp$ [Figure : Repère orthonormé avec trois courbes : l'exponentielle en
bleu (croissante, passe par (0 ; 1)), le logarithme népérien
en rouge (croissant, passe par (1 ; 0)) et la droite y = x en
pointillés. Les deux courbes sont symétriques l'une de
l'autre par rapport à cette droite.]

La figure ci-dessous montre les courbes de exp (en bleu) et
de ln (en rouge). Par quelle transformation la courbe de
ln se déduit-elle de celle de exp ?

]]> ln étant la réciproque de exp, leurs courbes sont
symétriques par rapport à la droite y = x : (a ; b) sur
l'une équivaut à (b ; a) sur l'autre. Exemple :
(0 ; 1) sur exp, (1 ; 0) sur ln.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Erreur : cette symétrie transformerait eˣ en -eˣ
(courbe entièrement sous l'axe), pas en ln x.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Erreur : cette symétrie donnerait x ↦ e⁻ˣ
(décroissante), pas le logarithme.

]]> Une translation

]]> Erreur : aucune translation ne transforme l'une en l'autre
(leurs domaines diffèrent : ℝ pour exp,
]0 ; +∞[ pour ln). L'échange des rôles de x
et y est une symétrie par rapport à y = x.

]]> La symétrie par rapport à la droite d'équation y = x

]]> Bonne réponse : c'est la propriété des courbes de deux
fonctions réciproques. Le point (a ; b) est sur la
courbe de exp si et seulement si (b ; a) est sur
celle de ln.

]]> Fonction logarithme népérien — Q11 : Limite de $\ln(x + 1) - \ln(x)$ en $+\infty$ Quelle est la limite en +∞ de la différence
ln(x + 1) - ln(x) ?

]]> Équation fonctionnelle : ln a - ln b = lna/b.
Ainsi ln(x + 1) - ln(x) = ln(1 + 1/x)
tend vers ln 1 = 0 quand x → +∞ (composition : la
quantité 1 + 1/x tend vers 1 et ln est continue
en 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : ln(x + 1) - ln(x) = ln(x + 1/x) = ln(1 + 1/x), et 1 + 1/x → 1, donc le
logarithme tend vers ln 1 = 0.

]]> -∞

]]> Erreur : ln est croissante et x + 1 > x, donc la
différence est positive pour tout x > 0 ; elle ne
peut pas tendre vers -∞.

]]> +∞

]]> Erreur : chaque terme tend vers +∞, mais leur
différence est une forme « ∞ - ∞ » : elle
vaut ln(1 + 1/x), soit environ
0{,}01 pour x = 100, et s'écrase vers 0.

]]> 1

]]> Erreur : c'est le quotient ln(x + 1)/ln(x)
qui tend vers 1, pas la différence. Une différence de
logarithmes se transforme en logarithme d'un quotient.

]]> Fonction logarithme népérien — Q12 : Simplifier $\ln(@a@) + \ln(@b@)$ Que vaut ln(2) + ln(3) ?

]]> La propriété ln a + ln b = ln(ab) se lit dans les deux
sens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou
éclate un logarithme de produit. Ici :
ln 2 + ln 3 = ln 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est
\ln 6 \approx 1{,}79, pas 6.

]]> ln(6)

]]> Bonne réponse : ln a + ln b = ln(ab), donc
ln 2 + ln 3 = ln(2 × 3) = ln 6.

]]> ln(5)

]]> Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au
produit des arguments, pas à leur somme.
ln 2 + ln 3 = ln 6, et ln(2+3) = ln 5 est un autre
nombre.

]]> ln(9)

]]> Erreur : ln 9 = ln(3²) = 2ln 3. Ici on additionne
ln 2 et ln 3, ce qui donne ln(2 × 3).

]]> Fonction logarithme népérien — Q13 : Logarithme d'un inverse Comment s'écrit ln(¼) ?

]]> ln1/a = -ln a et lna/b = ln a - ln b : le logarithme convertit la structure multiplicative en
structure additive. Les inverses deviennent des opposés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln 4 - ln 1

]]> Erreur de sens : la règle du quotient donne ln 1 - ln 4 = 0 - ln 4, numérateur moins dénominateur ; ici
l'ordre est inversé et le résultat vaut +ln 4.

]]> ln(-4)

]]> Erreur : ln(-4) n'existe pas (le logarithme n'est
défini que sur ]0 ; +∞[). Le signe moins se
place devant le logarithme, pas dans son argument.

]]> 1/ln 4

]]> Erreur : le logarithme ne « traverse » pas la fraction :
il transforme l'inverse en opposé, pas en inverse du
logarithme.

]]> -ln 4

]]> Bonne réponse : ln1/a = -ln a (l'inverse
devient un opposé), et l'on peut poursuivre : ln 4 = ln 2² = 2ln 2, donc ln¼ = -2ln 2.

]]> Fonction logarithme népérien — Q14 : Logarithme d'une puissance Comment s'écrit ln 8 en fonction de ln 2 ?

]]> ln(aⁿ) = nln a : la propriété la plus utilisée du
chapitre (résolutions de qⁿ < ε, sommes
géométriques…). Toujours décomposer : 8 = 2³, 81 = 3⁴…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln 8 = 4ln 2

]]> Erreur d'exposant : 8 = 2³ (et non 2⁴ = 16) :
facteur 3.

]]> ln 8 = ln 2 + 6

]]> Erreur : 8 = 2 × 4 donnerait ln 2 + ln 4 : le
6 additif ne correspond à aucune règle.

]]> ln 8 = 3ln 2

]]> Bonne réponse : 8 = 2³, et ln(aⁿ) = nln a :
l'exposant descend en facteur.

]]> ln 8 = (ln 2)³

]]> Erreur : l'exposant sort en facteur, pas en
puissance du logarithme : (\ln 2)^3 \approx 0{,}33
alors que \ln 8 \approx 2{,}08.

]]> Fonction logarithme népérien — Q15 : Signe de $\ln x$ Pour quels réels x a-t-on ln x < 0 ?

]]> Signe de ln : négatif sur ]0\ ;\ 1[, nul en 1,
positif sur ]1\ ;\ +∞[. À superposer mentalement à la
courbe : la traversée de l'axe se fait en x = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour x < 0

]]> Erreur de domaine : ln x n'existe pas pour x ≤ 0 : la question du signe ne se pose que sur
]0\ ;\ +∞[.

]]> Pour 0 < x < 1

]]> Bonne réponse : le logarithme s'annule en 1 et croît :
négatif avant 1, positif après. \ln(0{,}5) \approx
-0{,}69.

]]> Pour x < e

]]> Erreur de repère : le point d'annulation est 1 (ln 1 = 0), pas e (ln e = 1). Entre 1 et e, ln
est déjà positif.

]]> Jamais : un logarithme est toujours positif

]]> Erreur : \ln(0{,}1) \approx -2{,}3. Sur ]0\ ;\ 1[,
le logarithme est négatif (et plonge vers -∞ en
0⁺).

]]> Fonction logarithme népérien — Q16 : Domaine de $\ln(u)$ Sur quel ensemble la fonction f(x) = ln(2x - 6)
est-elle définie ?

]]> ln(u(x)) exige u(x) > 0 : résoudre cette inéquation est
le premier réflexe de tout exercice. Ici 2x - 6 > 0 \iff
x > 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [3\ ;\ +∞[

]]> Borne fausse : en x = 3, l'intérieur vaut 0 et ln 0 n'existe pas : intervalle ouvert en 3.

]]> ]3\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : il faut 2x - 6 > 0, soit x > 3 :
l'intérieur du logarithme doit être strictement
positif.

]]> ]0\ ;\ +∞[

]]> Erreur : la condition porte sur 2x - 6, pas sur x :
c'est l'argument du logarithme qui doit être
positif.

]]> ℝ

]]> Erreur : f(0) = ln(-6) n'existe pas : le logarithme
n'accepte que du strictement positif.

]]> Fonction logarithme népérien — Q17 : Dérivée de $x\ln x$ Quelle est la dérivée de f(x) = xln x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> (xln x)' = ln x + 1 : calcul fétiche du chapitre
(minimum en x = e⁻¹, primitives…). La règle du produit
s'applique dès qu'un facteur accompagne le logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = ln x

]]> Incomplet : il manque le terme x × 1/x = 1 : la dérivée est ln x + 1.

]]> f'(x) = 1 × 1/x = 1/x

]]> Erreur : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du
produit : la règle est u'v + uv'.

]]> f'(x) = ln x + 1

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = ln x : u'v + uv' = 1 × ln x + x × 1/x = ln x + 1.

]]> f'(x) = 1/x

]]> Erreur : 1/x est la dérivée de ln x seul :
le facteur x impose la règle du produit.

]]> Fonction logarithme népérien — Q18 : Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$ Pour quels entiers n a-t-on 0{,}8^n < 0{,}01 ?

]]> Résolution type de qⁿ < ε pour 0 < q < 1 :
logarithme des deux côtés, division par ln q < 0 en
retournant l'inégalité. L'oubli de l'inversion est
l'erreur numéro un du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n ≤ 20

]]> Sens non inversé : n < \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}
oublie que diviser par \ln 0{,}8 \approx -0{,}22,
négatif, retourne le sens. (Contrôle : 0{,}8^1 =
0{,}8, loin d'être < 0{,}01.)

]]> Aucun entier n

]]> Erreur : 0{,}8^n \to 0, la suite finit par passer sous
n'importe quel seuil positif, ici au rang 21.

]]> n ≥ 5

]]> Erreur : 0{,}8^5 \approx 0{,}33, très au-dessus de
0{,}01. La bonne méthode passe par le logarithme,
inversion de sens comprise : n ≥ 21.

]]> n ≥ 21

]]> Bonne réponse : n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01, et la
division par \ln 0{,}8 \approx -0{,}22, négatif,
retourne l'inégalité : n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln
0{,}8} \approx 20{,}6, donc n ≥ 21.

]]> Fonction logarithme népérien — Q19 : Simplifier $\ln(e^x \times e)$ Pour tout réel x, que vaut ln(eˣ × e) ?

]]> Deux chemins équivalents : regrouper (eˣ⁺¹) puis
simplifier, ou éclater (ln eˣ + ln e). Les allers
retours ln ↔ exp doivent être des
automatismes : ln(eᵃ) = a, e^{\ln b} = b (b > 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ⁺¹

]]> Logarithme non appliqué : ln(eˣ⁺¹) = x + 1 : les
deux fonctions réciproques s'annulent.

]]> x e

]]> Erreur : le produit dans le logarithme devient une
somme de logarithmes (x + 1), jamais un produit.

]]> x

]]> Facteur oublié : le × e ajoute ln e = 1 au
résultat.

]]> x + 1

]]> Bonne réponse : eˣ × e = eˣ⁺¹, et ln
annule exp : reste x + 1. (Ou : ln eˣ + ln e = x + 1.)

]]> Fonction logarithme népérien — Q20 : Limite de $\ln x$ en $+\infty$ Que vaut \lim\limits_{x \to +\infty} \ln x ?

]]> \lim_{+\infty} \ln x = +\infty, mais plus lentement que
toute puissance (ln x/x → 0) : croissance
illimitée ET négligeable : les deux faits cohabitent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit

]]> Illusion graphique classique : la courbe s'aplatit mais
ne plafonne pas : ln x > 100 dès que x > e¹⁰⁰.
Aucune asymptote horizontale.

]]> 0

]]> Erreur : ln x → 0 quand x → 1, pas à l'infini.
En +∞, la limite est +∞.

]]> +∞

]]> Bonne réponse : le logarithme dépasse tout seuil, mais très
lentement : ln x finit par dépasser 100, 1000…
(dès x > e¹⁰⁰, etc.) : limite +∞, malgré une
croissance d'escargot.

]]> e

]]> Erreur : e est la base (ln e = 1), pas une limite :
en +∞ le logarithme croît sans borne.

]]> Fonction logarithme népérien — Q21 : Concavité du logarithme La dérivée seconde de ln est -1/x² < 0.
Quelle inégalité en découle ?

]]> ln est concave (f'' < 0) : courbe sous ses tangentes,
d'où ln x ≤ x - 1 : l'inégalité miroir de eˣ ≥ 1 + x (les deux courbes sont symétriques par rapport à
y = x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0

]]> Bonne réponse : concave signifie courbe sous chacune
de ses tangentes ; celle en x = 1 a pour équation y = x - 1. Égalité seulement en x = 1.

]]> ln x ≤ 0 pour tout x > 0

]]> Faux : \ln 10 \approx 2{,}3 > 0. La concavité parle de
la position par rapport aux tangentes, pas à l'axe.

]]> ln x ≤ x - 1 seulement pour x ≥ 1

]]> Erreur : l'inégalité vaut pour tout x > 0, par exemple
\ln 0{,}5 \approx -0{,}69 \leq -0{,}5. La courbe est
sous sa tangente partout, pas seulement à droite du
point de contact.

]]> ln x ≥ x - 1 pour tout x > 0

]]> Sens inversé : c'est la position d'une courbe
convexe au-dessus de ses tangentes (comme eˣ ≥ 1 + x). Le logarithme, concave, est en dessous.

]]> Fonction logarithme népérien — Q22 : Équation avec deux logarithmes Quel est l'ensemble des solutions de l'équation ln x + ln(x - 3) = ln 4 ?

]]> Méthode complète : 1) domaine (x > 3) ; 2) fusion ln a + ln b = ln(ab) ; 3) équation polynomiale ; 4) tri des
racines par le domaine. L'étape 4 élimine presque toujours
un candidat : c'est le piège voulu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \{4\}

]]> Bonne réponse : le domaine exige x > 3 ; l'équation
devient x(x - 3) = 4, soit x² - 3x - 4 = 0, racines
4 et -1 : seule 4 survit au domaine.

]]> ∅

]]> Erreur : x = 4 convient : ln 4 + ln 1 = ln 4 + 0 = ln 4.

]]> \{-1\,;\,4\}

]]> Domaine oublié : en x = -1, ni ln x ni ln(x-3)
n'existent. Toute résolution commence par « il faut x > 3 ».

]]> \{7\}

]]> Erreur : 4 + 3 = 7 traite la somme des logarithmes
comme le logarithme d'une somme. Or ln a + ln b = ln(ab) : l'équation est x(x-3) = 4.

]]> Fonction logarithme népérien — Q23 : Équation en $e^x$ par changement de variable Quelles sont les solutions de e²ˣ - 3eˣ + 2 = 0 ?

]]> e²ˣ = (eˣ)² : poser X = eˣ (X > 0) ramène à un
second degré. Ne garder que les racines X > 0, puis
conclure par x = ln X. Schéma incontournable au
baccalauréat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1 et x = 2

]]> Retour oublié : 1 et 2 sont les valeurs de X = eˣ, pas de x : il reste à appliquer ln.

]]> Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais

]]> Hors sujet : on ne cherche pas eˣ = 0 mais les zéros
du trinôme en eˣ : ils existent (x = 0 et ln 2,
à vérifier en remplaçant).

]]> x = 0 et x = ln 2

]]> Bonne réponse : avec X = eˣ : X² - 3X + 2 = 0,
racines X = 1 et X = 2, puis retour : e^x = 1 \iff
x = 0 et e^x = 2 \iff x = \ln 2.

]]> x = ln 3

]]> Erreur : le coefficient 3 n'est pas une racine : on
résout le trinôme en X (X = 1 ou 2), puis on
revient à x.

]]> Fonction logarithme népérien — Q24 : Le faux réflexe $\ln(a + b)$ L'égalité ln(a + b) = ln a + ln b est-elle vraie pour
tous réels a, b > 0 ?

]]> À graver : ln(ab) = ln a + ln b, mais ln(a + b) ne
se développe pas. Le logarithme traduit le monde
multiplicatif en monde additif : il n'a rien à dire sur les
sommes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, mais seulement dans le cas où a = b

]]> Erreur : pour a = b = 1, \ln 2 \approx 0{,}69 d'un
côté, 0 de l'autre. L'égalité ln(a + b) = ln a + ln b équivaut à a + b = ab : elle ne tient que pour
des couples particuliers (comme a = b = 2, ou a = 3
et b = 1{,}5), jamais pour tous les a = b.

]]> Non : ln(a + b) ne se développe pas en général

]]> Bonne réponse : la propriété fondamentale est ln(ab) = ln a + ln b : le logarithme transforme les produits en
sommes, pas les sommes. Contre-exemple : \ln(1 + 1) =
\ln 2 \approx 0{,}69 alors que ln 1 + ln 1 = 0.

]]> Non, sauf lorsque a et b sont tous deux inférieurs à 1

]]> Erreur : pour a = b = ½, ln(a + b) = ln 1 = 0 alors que \ln a + \ln b = 2\ln\dfrac{1}{2} \approx
-1{,}39. Aucun réglage de a et b ne sauve la formule
en général : elle confond addition et multiplication.

]]> Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme

]]> Confusion : la propriété fondamentale porte sur le
produit : ln(ab) = ln a + ln b. Pour la somme,
contre-exemple : a = b = 1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q25 : Résoudre $\ln(x) = -1$ Quelle est la solution de l'équation ln(x) = -1 ?

]]> L'exponentielle et le logarithme sont réciproques l'un de l'autre :
ln(x) = a équivaut à x = eᵃ, pour x strictement positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Signe oublié : ln(e) vaut 1 et non -1.

]]> -e⁻¹

]]> Nombre négatif : le logarithme n'est défini que sur les réels
strictement positifs.

]]> e⁻¹

]]> Bonne réponse : on applique l'exponentielle des deux côtés, ce qui
donne x = e⁻¹, soit environ 0{,}37.

]]> -1

]]> Valeur recopiée : ln(-1) n'existe même pas.

]]> Fonction logarithme népérien — Q26 : Variations de $x\ln x$ Sur ]0 ; +∞[, où la fonction x ↦ xln x
atteint-elle son minimum ?

]]> On dérive avec la formule du produit, on résout ln x + 1 = 0, puis on
dresse le tableau de signes. Le minimum vaut -1/e.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle n'a pas de minimum

]]> La dérivée change bien de signe une fois, ce qui produit un minimum.

]]> En e

]]> La dérivée y vaut 2, donc la fonction y est croissante, pas
minimale.

]]> En 1/e

]]> Bonne réponse : la dérivée vaut ln x + 1, qui s'annule pour
x = e⁻¹ en changeant de signe.

]]> En 1

]]> En 1 la fonction s'annule, mais elle est déjà remontée : son minimum
vaut environ -0{,}37.

]]> Fonction logarithme népérien — Q27 : Résoudre $\ln(x) > 1$ Quel est l'ensemble des solutions de ln(x) > 1 ?

]]> La stricte croissance du logarithme permet de passer de
ln x > ln a à x > a, en n'oubliant jamais la condition
x > 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]1 ; +∞[

]]> Borne mal calculée : c'est e qui vérifie ln(e) = 1, pas 1.

]]> ℝ

]]> Le logarithme n'est défini que sur les réels strictement positifs, et
l'inégalité y est fausse pour les petites valeurs.

]]> ]0 ; e[

]]> Sens inversé : pour x = 2, le logarithme vaut environ 0{,}69, donc
l'inégalité est fausse.

]]> ]e ; +∞[

]]> Bonne réponse : le logarithme est strictement croissant, il conserve
donc le sens de l'inégalité.

]]> Fonction logarithme népérien — Q28 : Un seuil avec une puissance À partir de quel entier n a-t-on 1{,}05^n > 3 ?

]]> Une inéquation à inconnue en exposant se résout en appliquant le
logarithme aux deux membres. La division par \ln 1{,}05, positif,
conserve le sens de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de 23

]]> Bonne réponse : n > \dfrac{\ln 3}{\ln 1{,}05} \approx 22{,}5, donc le
premier entier convenable est 23.

]]> À partir de 60

]]> Estimation très large : 1{,}05^{60} dépasse 18, bien au-delà du
seuil demandé.

]]> À partir de 22

]]> Le seuil exact vaut environ 22{,}5 : l'entier 22 ne suffit pas
encore.

]]> À partir de 3

]]> Seuil confondu avec l'exposant : 1{,}05^3 vaut environ 1{,}16.

]]> Fonction logarithme népérien — Q29 : Une différence de logarithmes À quoi ln(12) - ln(4) est-il égal ?

]]> Les propriétés algébriques du logarithme transforment produits et quotients
en sommes et différences. C'est ce qui en fait l'outil des calculs
d'exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln(8)

]]> Arguments soustraits : c'est le quotient qui apparaît, pas la
différence.

]]> ln 12/ln 4

]]> Quotient de logarithmes : cette expression vaut environ 1{,}79,
différente de \ln 3 \approx 1{,}10.

]]> ln(3)

]]> Bonne réponse : une différence de logarithmes est le logarithme du
quotient.

]]> ln(48)

]]> Propriété de la somme appliquée à une différence : le produit
correspondrait à ln 12 + ln 4.

]]> Fonction logarithme népérien — Q30 : Définir $\ln(x^2 - 4)$ Sur quel ensemble la fonction x ↦ ln(x² - 4) est-elle
définie ?

]]> L'ensemble de définition d'un logarithme composé se détermine en résolvant
l'inéquation stricte qui exprime la positivité de son argument.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]2 ; +∞[

]]> Moitié oubliée : pour x = -3, le trinôme vaut 5, donc la fonction
est définie.

]]> ]-∞ ; -2[ ∪ ]2 ; +∞[

]]> Bonne réponse : la condition x² - 4 > 0 est vérifiée à l'extérieur
des racines -2 et 2.

]]> ]-∞ ; -2] ∪ [2 ; +∞[

]]> Bornes incluses à tort : en -2 et en 2, le trinôme s'annule et le
logarithme n'est pas défini.

]]> ℝ privé de -2 et de 2

]]> Condition trop faible : le logarithme exige un argument strictement
positif, pas seulement non nul.

]]> Fonction logarithme népérien — Q31 : La limite de $x\ln x$ en $0^+$ Vers quoi tend xln x lorsque x tend vers 0 par valeurs
positives ?

]]> La forme 0 × ∞ se lève par croissances comparées : en 0⁺,
xln x tend vers 0. C'est la limite jumelle de
ln x/x → 0 en +∞.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 1

]]> Aucune raison : le produit est négatif sur ]0 ; 1[, puisque le
logarithme y est négatif.

]]> Vers -∞

]]> Le logarithme tend bien vers -∞, mais il est multiplié par un
facteur qui tend vers 0 plus vite.

]]> Vers 0

]]> Bonne réponse : le facteur x l'emporte sur la divergence du
logarithme. Pour x = 0{,}001, le produit vaut environ -0{,}007.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> Le produit décroît puis remonte vers 0 sans osciller : la limite
existe.

]]> Fonction logarithme népérien — Q32 : Exponentielle d'une somme de logarithmes Que vaut e^{\ln(3) + \ln(4)} ?

]]> Deux outils se combinent : ln(a) + ln(b) = ln(ab), puis
e^{\ln(X)} = X pour tout X > 0. L'exponentielle défait le
logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du
produit, donc l'exposant vaut ln(12), et
eˡⁿ⁽¹²⁾ = 12.

]]> 7

]]> Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :
ln(3) + ln(4) = ln(12), pas ln(7).

]]> ln(12)

]]> Le produit est bien 12, mais il reste une étape :
l'exponentielle annule le logarithme et rend 12.

]]> e¹²

]]> L'exposant de e est un logarithme, pas le nombre 12 :
eˡⁿ⁽¹²⁾ = 12.

]]> Fonction logarithme népérien — Q33 : La valeur de $\ln\left(\frac{1}{e}\right)$ Que vaut ln(1/e) ?

]]> Le logarithme d'un inverse est l'opposé :
ln(1/a) = -ln(a). Avec a = e, on obtient
-1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Signe oublié : passer à l'inverse change le signe du logarithme.
C'est ln(e) qui vaut 1.

]]> 1/e

]]> Le logarithme n'a pas été appliqué : \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37
est le nombre de départ, pas son logarithme.

]]> e⁻¹

]]> Confusion de sens : e⁻¹ est le nombre dont le logarithme vaut
-1. Ici on demande le logarithme, donc -1.

]]> -1

]]> Bonne réponse : ln(1/e) = -ln(e) = -1,
car le logarithme d'un inverse est l'opposé du logarithme.

]]> Fonction logarithme népérien — Q34 : Traduire une égalité avec le logarithme Soit a > 0 et b un réel. Que signifie exactement l'égalité
ln(a) = b ?

]]> Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle :
pour a > 0, ln(a) = b ⇔ eᵇ = a. Cette équivalence
sert à transformer toute équation avec ln en équation avec exp.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eᵃ = b

]]> Les rôles sont échangés : a est le nombre de départ et b
l'exposant, donc c'est eᵇ qui vaut a.

]]> bᵃ = e

]]> Ni la base ni l'exposant ne sont les bons : la traduction correcte
de ln(a) = b est eᵇ = a.

]]> aᵇ = e

]]> La base de ce logarithme est e, pas a : c'est e que l'on
élève à une puissance, jamais a.

]]> eᵇ = a

]]> Bonne réponse : ln(a) est l'exposant à donner à e pour obtenir
a. Dire ln(a) = b, c'est dire eᵇ = a.

]]> Fonction logarithme népérien — Q35 : Limite de $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$ Que vaut \lim\limits_{x \to +\infty} \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) ?

]]> Deux lectures possibles : la composition (1/x → 0⁺ puis
ln → -∞), ou la propriété
ln(1/x) = -ln(x). Les deux donnent -∞.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +∞

]]> C'est la limite de ln(x) lui-même. L'inverse à l'intérieur
retourne le résultat : la limite cherchée est -∞.

]]> La limite n'existe pas

]]> Aucune oscillation ici : la fonction décroît régulièrement, la
limite existe et vaut -∞.

]]> 0

]]> C'est 1/x qui tend vers 0, mais le logarithme des
nombres proches de 0 dévisse vers -∞.

]]> -∞

]]> Bonne réponse : ln(1/x) = -ln(x), et
ln(x) tend vers +∞, donc son opposé tend vers -∞.

]]> Fonction logarithme népérien — Q36 : Logarithme d'un quotient d'exponentielles Que vaut \ln\!\left(\dfrac{e^{7}}{e^{3}}\right) ?

]]> On simplifie d'abord l'intérieur :
\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}. La réciprocité
\ln\!\left(e^{X}\right) = X donne ensuite directement la différence
des exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁴

]]> Le quotient vaut bien e⁴, mais le logarithme reste à
appliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire 4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : le quotient vaut e^{7 - 3} = e^{4}, et
ln(e⁴) = 4.

]]> 7/3

]]> Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles
revient à soustraire les exposants, d'où 4.

]]> 10

]]> Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :
7 - 3 = 4.

]]> Fonction logarithme népérien — Q37 : Dérivée de $\ln(ax+b)$ Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de
f(x) = ln(3x - 5) ?

]]> Pour une composée, (ln u)' = u'/u sur tout intervalle où
u > 0. La dérivée d'une expression affine est son coefficient
directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x - 5/3

]]> Le quotient est renversé : u se place au dénominateur et u' au
numérateur.

]]> 3/x

]]> Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas x seul :
il reste 3x - 5.

]]> 3/3x - 5

]]> Bonne réponse : avec u(x) = 3x - 5 et u'(x) = 3, la
formule (ln u)' = u'/u donne ce quotient.

]]> 1/3x - 5

]]> Le facteur u' a été oublié au numérateur : il vaut 3, la
pente de l'expression intérieure.

]]> Fonction logarithme népérien — Q38 : Une équation dont le logarithme s'annule Quelle est la solution de l'équation ln(2x - 5) = 0 ?

]]> Une équation ln(u(x)) = 0 se ramène à u(x) = 1, puisque 1 est le
seul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la
solution rend l'argument strictement positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5/2

]]> Ce nombre annule l'expression intérieure, or ln vaut 0 quand
son argument vaut 1, pas 0.

]]> x = ½

]]> Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser
par 2, ce qui conduit à x = 3.

]]> x = 3

]]> Bonne réponse : ln(X) = 0 équivaut à X = 1, donc
2x - 5 = 1, ce qui donne x = 3.

]]> x = 2

]]> Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à
résoudre est 2x - 5 = 1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q39 : Diviser par un logarithme négatif On cherche les entiers n tels que 0{,}9^{n} < 0{,}2, ce qui s'écrit
n\ln(0{,}9) < \ln(0{,}2). Que devient l'inégalité lorsqu'on divise
les deux membres par \ln(0{,}9) ?

]]> Un logarithme est négatif lorsque son argument est strictement compris
entre 0 et 1. Diviser une inégalité par un nombre négatif en
renverse le sens : c'est l'étape où se perd le plus souvent la solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n > \dfrac{\ln(0{,}9)}{\ln(0{,}2)}

]]> Le quotient est à l'envers : c'est \ln(0{,}2) qui est divisé par
\ln(0{,}9), et non le contraire.

]]> n < \dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)}

]]> Le sens a été conservé : or on divise par \ln(0{,}9), qui est
strictement négatif, donc l'inégalité se renverse.

]]> n > \ln(0{,}2) - \ln(0{,}9)

]]> Une division ne se transforme pas en soustraction : le coefficient
\ln(0{,}9) s'élimine en divisant.

]]> n > \dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)}

]]> Bonne réponse : \ln(0{,}9) < 0 car 0{,}9 < 1. Diviser par un
nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.

]]> Fonction logarithme népérien — Q40 : Années nécessaires pour multiplier un capital Un capital est placé au taux annuel de 4 %, les intérêts étant
ajoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au
minimum, le capital initial est-il multiplié par 2 ?

]]> Le capital est multiplié par (1 + t/100)ⁿ. On passe au logarithme,
on divise par ln(1 + t/100), qui est strictement positif, puis on
prend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 19 ans

]]> Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de 18 ans,
et l'on cherche le plus petit entier convenable.

]]> 18 ans

]]> Bonne réponse : la condition s'écrit ln(2) / ln(1 + 4/100),
soit un nombre compris entre 17 et 18 : il faut donc
18 années entières.

]]> 17 ans

]]> Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :
après 17 ans, le seuil n'est pas encore franchi.

]]> 25 ans

]]> Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et
produisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance.

]]> Fonction logarithme népérien — Q41 : Signe d'un produit de logarithmes Quel est le signe du produit P = \ln(0{,}2) \times \ln(5) ?

]]> Le logarithme est négatif sur ]0 ; 1[, nul en 1, positif sur
]1 ; +∞[. Ici 0{,}2 = \dfrac{1}{5}, donc
P = -(ln 5)², effectivement négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas conclure sans calculatrice

]]> Le signe se lit sans calcul : il suffit de comparer chaque argument
à 1, seuil où le logarithme change de signe.

]]> P est strictement négatif

]]> Bonne réponse : \ln(0{,}2) < 0 car 0{,}2 < 1, tandis que
ln(5) > 0 car 5 > 1. Le produit d'un négatif par un positif
est négatif.

]]> P est strictement positif

]]> Les deux facteurs n'ont pas le même signe : 0{,}2 est inférieur
à 1, donc son logarithme est négatif.

]]> P est nul

]]> Un logarithme ne s'annule qu'en 1, et aucun des deux nombres
0{,}2 et 5 ne vaut 1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q42 : Égalité entre deux logarithmes Quelle est la solution de l'équation
ln(x - 2) = ln(5 - x) ?

]]> Le logarithme étant strictement croissant,
ln(A) = ln(B) ⇔ A = B, à condition que A et B
soient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la
condition de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole
x en regroupant les deux termes en x d'un même côté.

]]> x = 3{,}5

]]> Bonne réponse : ln étant strictement croissante, l'égalité donne
x - 2 = 5 - x, soit x = 3{,}5, qui respecte bien la
condition 2 < x < 5.

]]> x = 7

]]> Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation
obtenue est x - 2 = 5 - x, qui a deux fois x.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :
l'équation a bien une solution.

]]> Fonction logarithme népérien — Q43 : Tangente à la courbe du logarithme Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de la fonction ln
au point d'abscisse 1 ?

]]> Formule de la tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). Pour ln
en a = 1, on obtient y = x - 1. La concavité de ln place la
courbe sous cette tangente, d'où ln x ≤ x - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 1/x

]]> Une tangente est une droite : 1/x donne la pente en
chaque point, elle n'est pas l'équation cherchée.

]]> y = x + 1

]]> Erreur de signe dans la formule y = f'(a)(x - a) + f(a) : avec
a = 1, le terme constant vaut -1.

]]> y = x - 1

]]> Bonne réponse : ln(1) = 0 et ln'(1) = 1/1 = 1, donc
la tangente a pour équation y = 1 × (x - 1) + 0.

]]> y = x

]]> Le coefficient directeur est juste, mais la courbe passe par le
point (1 ; 0) : la droite y = x n'y passe pas.

]]> Fonction logarithme népérien — Q44 : Équation du second degré en $\ln x$ Quelles sont les solutions de l'équation
(ln x)² - 5ln x + 6 = 0 sur ]0 ; +∞[ ?

]]> Le changement de variable X = ln x transforme l'équation en une
équation du second degré. On la résout en X, puis chaque valeur
obtenue donne x = e^{X}, toujours strictement positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = e² et x = e³

]]> Bonne réponse : en posant X = ln x, on résout
X² - 5X + 6 = 0, d'où X = 2 ou X = 3, puis
x = e² ou x = e³.

]]> x = 2 et x = 3

]]> Le retour à x a été oublié : 2 et 3 sont les valeurs de
ln x, il reste à appliquer l'exponentielle.

]]> x = e⁵ seulement

]]> La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du
second degré en a deux, 2 et 3.

]]> x = ln(2) et x = ln(3)

]]> Mauvaise fonction appliquée : de ln x = 2 on tire
x = e², et non x = ln(2).

]]> Fonction logarithme népérien — Q45 : Convexité de $x - \ln x$ La fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x - ln(x)
est-elle convexe ou concave ?

]]> La convexité se décide sur le signe de la dérivée seconde. Ici
g''(x) = \dfrac{1}{x^{2}} est strictement positive sur
]0 ; +∞[ : g est convexe, et son minimum en 1 redonne
l'inégalité ln x ≤ x - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Convexe, car g''(x) = \dfrac{1}{x^{2}} > 0

]]> Bonne réponse : g'(x) = 1 - 1/x, donc
g''(x) = \dfrac{1}{x^{2}}, strictement positive : g est convexe.

]]> Convexe, car g est croissante sur ]1 ; +∞[

]]> La conclusion est juste mais l'argument est faux : la convexité se
lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur les variations.

]]> Concave, car ln est concave

]]> Le logarithme est bien concave, mais il est ici retranché : son
opposé -ln est convexe, et x ne change rien à la convexité.

]]> Ni l'un ni l'autre, g change de convexité

]]> La dérivée seconde garde un signe constant sur tout l'intervalle :
il n'y a aucun point d'inflexion.

]]> Fonction logarithme népérien — Q46 : Dériver $x^n \ln x$ Quelle est la dérivée de f(x) = x³ln(x) sur
]0 ; +∞[ ?

]]> On applique (uv)' = u'v + uv' avec u = xⁿ et v = ln x. Le
second terme se simplifie : xⁿ × 1/x = xⁿ⁻¹, ce
qui permet de factoriser par xⁿ⁻¹.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x²ln(x)

]]> Le second terme du produit a été oublié : uv' vaut
x³ × 1/x = x².

]]> 3x²ln(x) + x²

]]> Bonne réponse : avec u = x³ et v = ln x, on obtient
u'v + uv' = 3x²ln(x) + x³ × 1/x.

]]> x²(3ln(x) - 1)

]]> Erreur de signe : la factorisation correcte est
x²(3ln(x) + 1).

]]> \dfrac{3x^{2}}{x}

]]> Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un
produit n'est pas le produit des dérivées.

]]> Fonction logarithme népérien — Q47 : Principe de l'algorithme de Briggs Pour approcher ln(x), l'algorithme de Briggs calcule
y = x^{1/2^k} en extrayant k fois la racine carrée, puis renvoie
2ᵏ(y - 1). Sur quelle propriété repose-t-il ?

]]> Extraire des racines carrées divise le logarithme par 2 à chaque
fois et rapproche le nombre de 1, où l'approximation
ln(1 + h) ≈ h devient très précise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln est croissante, donc ln(x) ≤ x - 1 pour x > 0

]]> Erreur : cette inégalité est vraie, mais elle ne donne qu'une
majoration, pas une approximation précise.

]]> ln(y) = ln(x)/2ᵏ et ln(1 + h) ≈ h pour h
proche de 0

]]> Bonne réponse : y est très proche de 1, donc
ln(y) ≈ y - 1, et ln(x) = 2ᵏ ln(y).

]]> ln(√x) = √ln(x), appliqué k fois de suite

]]> Erreur : ln(√x) = ½ln(x) ; la racine ne
passe pas à l'intérieur du logarithme.

]]> ln est la réciproque de l'exponentielle, d'où
ln(x) = eˣ

]]> Erreur : ln(x) n'est pas égal à eˣ ; la réciprocité
s'écrit e^{\ln x} = x.

]]>