$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonctions sinus et cosinus Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes
représentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,
équations du type cos(x) = a et inéquations sur
[-π ; π].

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q01 : Dérivée de sinus Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?

]]> Dérivées à connaître : (sin x)' = cos x et
(cos x)' = -sin x. Le cycle des dérivations successives
revient au point de départ en quatre étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ cos(x)

]]> Bonne réponse : (sin x)' = cos x. Cohérent en 0 : la
courbe de sinus y a une pente de cos(0) = 1.

]]> x ↦ -cos(x)

]]> Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant
cosinus, pas sinus. Retiens le cycle :
sin → cos → -sin → -cos → sin.

]]> x ↦ -sin(x)

]]> Erreur : -sin est la dérivée seconde de sinus (la
dérivée de cos). Au premier ordre : (sin x)' = cos x.

]]> x ↦ sin(x)

]]> Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège
appartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q02 : Dérivée de cosinus Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

]]> (cos x)' = -sin x. Vérification rapide du signe : cosinus
passe de 1 à -1 sur [0 ; π], il décroît, et
-sin x ≤ 0 sur cet intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ -cos(x)

]]> Erreur : -cos est la dérivée seconde de cosinus. Au
premier ordre : (cos x)' = -sin x.

]]> x ↦ 1/sin(x)

]]> Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.
(Tu penses peut-être à la dérivée de ln ?)

]]> x ↦ -sin(x)

]]> Bonne réponse : (cos x)' = -sin x. Le signe moins
traduit le fait que cosinus décroît juste après 0.

]]> x ↦ sin(x)

]]> Oubli du signe : sur ]0 ; π[, cosinus décroît, sa
dérivée doit y être négative ; or sin x > 0 sur cet
intervalle. La bonne dérivée est -sin x.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q03 : Parité de sinus et cosinus Pour tout réel x, quelles égalités sont correctes ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, x et -x donnent deux points
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse
(cos paire), ordonnées opposées (sin impaire).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = sin(x)

]]> Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer
x en -x conserve l'abscisse (cosinus) et change le
signe de l'ordonnée (sinus).

]]> cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x)

]]> Bonne réponse : cosinus est paire (courbe symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est impaire
(courbe symétrique par rapport à l'origine).

]]> cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = sin(x)

]]> Erreur sur sinus : sin(-π/2) = -1 ≠ 1 = sin(π/2). Sinus est
impaire.

]]> cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = -sin(x)

]]> Erreur sur cosinus : cos(-0) = cos(0) = 1, pas -1.
Cosinus est paire.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q04 : Période des fonctions sinus et cosinus Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?

]]> Un tour complet du cercle trigonométrique mesure 2π
radians : cos et sin sont 2π-périodiques. Leur courbe
se répète à l'identique de 2π en 2π.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 360

]]> Confusion degrés/radians : 360 degrés correspondent bien à
un tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont
définies en radians : période 2π.

]]> π

]]> Erreur : cos(0) = 1 mais cos(π) = -1 : ajouter
π ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).
La vraie période est 2π.

]]> 2π

]]> Bonne réponse : cos(x + 2π) = cos(x) et
sin(x + 2π) = sin(x) pour tout x : un tour complet
du cercle trigonométrique.

]]> π/2

]]> Erreur : cos(0) = 1 mais
cos(π/2) = 0 : un quart de tour
ne redonne pas la même valeur. La période est la
longueur d'un tour complet, 2π.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q05 : Une valeur sur le cercle Que vaut cos(π/2) ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, l'angle π/2 correspond au
point (0 ; 1) : cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : 1 est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire
sin(π/2). Le cosinus lit l'abscisse, qui vaut 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle
trigonométrique est (0 ; 1) : abscisse 0, donc
cos(π/2) = 0 (et sin(π/2) = 1).

]]> π/2

]]> Erreur : π/2 est l'angle, pas la valeur du cosinus.
Un cosinus est toujours compris entre -1 et 1.

]]> -1

]]> Erreur : -1 est cos(π), au demi-tour. Au quart de
tour, l'abscisse est 0.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q06 : Valeur remarquable Que vaut cos(π/3) ?

]]> Tableau des valeurs remarquables : pour π/6,
π/4, π/3, le cosinus vaut
\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, ½
(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Erreur : \dfrac{\sqrt{2}}{2} est la valeur commune de
cos(π/4) et sin(π/4), à mi-chemin.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Confusion classique : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est
sin(π/3), ou encore cos(π/6). Moyen mémo : plus
l'angle est proche de 0, plus le cosinus est proche de
1, donc cos(π/3) < cos(π/6).

]]> ½

]]> Bonne réponse : cos(π/3) = ½ et
\sin(\pi/3) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

]]> ⅓

]]> Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le
dénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur
le cercle : cos(π/3) = ½.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q07 : Résoudre $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de l'équation
cos(x) = ½ sur l'intervalle ]-π ; π] ?

]]> cos(x) = a se résout sur le cercle : les solutions sont
x = α et x = -α (modulo 2π), où α est
un angle de cosinus a. Ici α = π/3 : solutions
±π/3 sur ]-π ; π].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = π/3 et x = -π/3

]]> Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse ½
coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à
l'axe des abscisses : angles π/3 et -π/3.

]]> x = π/3 et x = 2π/3

]]> Confusion avec le sinus : π/3 et π - π/3 = 2π/3 sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,
les deux solutions sont opposées : ±π/3.

]]> x = π/6 et x = -π/6

]]> Erreur de valeur : \cos(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},
pas ½. L'angle dont le cosinus vaut
½ est π/3.

]]> x = π/3 seulement

]]> Oubli : le cosinus étant pair, -π/3 convient aussi
(cos(-π/3) = cos(π/3) = 1/2). Une équation en
cosinus a généralement deux solutions par tour.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q08 : Reconnaître une courbe trigonométrique [Figure : Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe
par l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,
redescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son
minimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par
rapport à l'origine.]

La courbe \mathcal{C} ci-dessous est tracée sur
[-π ; π]. De quelle fonction est-ce la courbe
représentative ?

]]> Signature graphique de sinus : passage par l'origine en
croissant, maximum 1 en π/2, imparité (symétrie par
rapport à l'origine), période 2π. Cosinus, lui, démarre à
son maximum en x = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ cos(x)

]]> Erreur : la courbe de cosinus vaut 1 en 0 (elle démarre
au sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Ici la courbe s'annule en 0.

]]> x ↦ sin(x)

]]> Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est
symétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine
à 1 en π/2 : c'est la sinusoïde.

]]> x ↦ -sin(x)

]]> Erreur de signe : -sin descendrait en quittant
l'origine vers la droite, avec un minimum en π/2. Ici
la courbe monte.

]]> x ↦ sin(2x)

]]> Erreur : sin(2x) oscille deux fois plus vite (période
π) et s'annulerait déjà en π/2. Ici le maximum est
en π/2 : une seule arche par demi-tour.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q09 : Dérivée de $\cos(@k@x)$ Quelle est la dérivée de f(x) = cos(3x) ?

]]> Règle de la composée : (cos(u))' = -u'sin(u).
Avec u(x) = 3x : f'(x) = -3sin(3x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -sin(3x)

]]> Oubli du facteur u' = 3 : la composée exige de multiplier
par la dérivée de l'intérieur.

]]> f'(x) = 3sin(3x)

]]> Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe
moins, qui ne disparaît pas : -3sin(3x).

]]> f'(x) = -3cos(3x)

]]> Erreur : dériver cosinus donne du sinus (au signe
près), pas du cosinus.

]]> f'(x) = -3sin(3x)

]]> Bonne réponse : dérivée de composée,
(cos u)' = -u'sin(u) avec u = 3x et u' = 3.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q10 : Résoudre $\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
cos(x) ≤ ½ sur [-π ; π] ?

]]> Méthode du cercle : on repère les angles où
cos(x) = ½, soit ±π/3, puis on identifie
l'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande
amplitude. Solutions :
[-π ; -π/3] ∪ [π/3 ; π].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-π/2 ; π/2]

]]> Erreur : sur cet intervalle le cosinus est positif et
vaut jusqu'à 1 ; par exemple cos(0) = 1 > ½. Le seuil ½ se franchit en
±π/3.

]]> [-π/3 ; π/3]

]]> C'est l'ensemble complémentaire : entre -π/3 et
π/3, le cosinus est supérieur ou égal à
½ (il culmine à 1 en 0).

]]> [-π ; -π/3] ∪ [π/3 ; π]

]]> Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à
½ pour les points situés à gauche de la
verticale d'abscisse ½, c'est-à-dire pour les
angles au-delà de ±π/3.

]]> [π/3 ; π] seulement

]]> Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique
[-π ; -π/3] convient aussi.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q11 : Limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $+\infty$ Quelle est la limite de sin(x)/x quand x tend
vers +∞ ?

]]> Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers
l'infini : encadrement
-1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x et
théorème des gendarmes donnent une limite nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle n'existe pas, car sin(x) oscille sans limite

]]> Erreur : le numérateur oscille mais reste borné, et il
est divisé par x qui explose. Les oscillations sont
écrasées : la limite existe et vaut 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : -1 ≤ sin(x) ≤ 1, donc
-1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x ;
les gendarmes concluent : limite 0.

]]> 1

]]> Confusion avec la limite célèbre en zéro :
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. En +∞, le
dénominateur l'emporte : limite 0.

]]> +∞

]]> Erreur : le quotient est majoré par 1/x en
valeur absolue, il ne peut pas exploser.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q12 : Monotonie de sinus Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?

]]> On lit la monotonie de sin sur le signe de sa dérivée
cos : positif sur [-π/2 ; π/2], donc sinus
croissante sur cet intervalle (de -1 à 1), puis
décroissante sur [π/2 ; 3π/2], etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ℝ tout entier

]]> Impossible : une fonction périodique non constante ne peut
pas être monotone sur ℝ, elle remonte et
redescend sans fin.

]]> [-π/2 ; π/2]

]]> Bonne réponse : (sin x)' = cos x ≥ 0 exactement sur
cet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte
de -1 à 1.

]]> [-π ; 0]

]]> Erreur : entre -π et -π/2, le cosinus est négatif
et sinus décroît ; la croissance ne commence qu'en
-π/2.

]]> [0 ; π]

]]> Erreur : sur [0 ; π], sinus monte jusqu'à π/2
puis redescend (le cosinus devient négatif après
π/2). Ce n'est pas un intervalle de monotonie.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q13 : Utiliser $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ On sait que cos x = ⅗ avec x ∈ [0\ ;\ π/2]. Que vaut sin x ?

]]> cos² x + sin² x = 1 (Pythagore sur le cercle unité) :
passer de l'un à l'autre au signe près, le quadrant
fournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du
carré, choix du signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc sin x = ⅖

]]> Erreur : 1 - ⅗ = ⅖ soustrait les
valeurs au lieu des carrés : l'identité porte sur
cos² et sin².

]]> sin x = ⅘

]]> Bonne réponse : sin² x = 1 - 9/25 = 16/25, et sur [0\ ;\ π/2] le sinus est positif : +⅘
(le triangle 3-4-5).

]]> sin x = ⅗

]]> Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en x = π/4 (valeur \frac{\sqrt{2}}{2}) : ici le
calcul donne ⅘.

]]> sin x = ±⅘, impossible de trancher

]]> Intervalle négligé : sur [0\ ;\ π/2] (premier quadrant), le sinus est
positif : l'information donnée tranche.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q14 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{6}$ Que vaut sinπ/6 ?

]]> Tableau des valeurs : π/6 → ½,
\frac{\pi}{4} \to \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{3} \to
\frac{\sqrt{3}}{2} pour le sinus (le cosinus lit le même
tableau à l'envers). Mémoire : \frac{\sqrt{1}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Bonne réponse : π/6 = 30° : le sinus vaut
½ (et le cosinus \frac{\sqrt{3}}{2}).

]]> \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Erreur : \frac{\sqrt{2}}{2} appartient à π/4
(45°), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Échange classique : \frac{\sqrt{3}}{2} est cos π/6 (ou sinπ/3) : à 30°, le
sinus est le petit (½).

]]> π/6

]]> Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle (sin x ≈ x seulement pour x très petit, et
\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 \neq 0{,}5… de peu, mais
la valeur exacte est ½).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q15 : Dérivée de $\sin(@k@x)$ Quelle est la dérivée de f(x) = sin(2x) ?

]]> (sin(ax))' = acos(ax), (cos(ax))' = -asin(ax) : le
coefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.
Physiquement : osciller deux fois plus vite double la
vitesse de variation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = cos(2x)

]]> Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur
(u' = 2) multiplie : règle de la chaîne.

]]> f'(x) = -2cos(2x)

]]> Signe : le moins appartient à la dérivée du
cosinus ((cos u)' = -u'sin u) : le sinus se
dérive sans signe.

]]> f'(x) = 2cos(x)

]]> Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :
le 2x reste intact dans le cosinus.

]]> f'(x) = 2cos(2x)

]]> Bonne réponse : (sin u)' = u'cos u avec u = 2x :
le facteur 2 sort, l'argument 2x reste.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q16 : Résoudre $\sin x = 0$ Quelles sont les solutions de sin x = 0 sur
ℝ ?

]]> Sur le cercle : sin x = 0 aux points (± 1\ ;\ 0),
soit x = kπ ; cos x = 0 aux points (0\ ;\ ± 1),
soit x = π/2 + kπ. Visualiser le cercle évite
toute confusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2kπ seulement

]]> Moitié perdue : sin π = 0 aussi : les multiples
impairs de π manquent : le pas est π, pas
2π.

]]> x = π/2 + kπ

]]> Confusion : π/2 + kπ sont les zéros du
cosinus (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus
s'annule sur l'axe horizontal.

]]> x = kπ, pour k ∈ ℤ

]]> Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités
horizontales du cercle (0 et π), puis tous les
tours : l'ensemble \{k\pi\} les capture tous d'un
coup.

]]> x = 0 seulement

]]> Périodicité oubliée : le sinus repasse par 0 à chaque
demi-tour : une infinité de solutions.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q17 : La limite $\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ Que vaut \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} ?

]]> \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 : le taux
d'accroissement de sinus en 0, et la traduction de la
tangente y = x à l'origine. À rapprocher de
eˣ - 1/x → 1 : même mécanisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0, car sin 0 = 0

]]> Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :
0/0 à lever, et la reconnaissance du taux
d'accroissement donne 1.

]]> +∞, car on divise par 0

]]> Erreur : le numérateur fond à la même vitesse (sin x ≈ x près de 0) : le quotient s'équilibre sur
1.

]]> La limite n'existe pas, le sinus oscille

]]> Confusion avec +∞ : en 0, le sinus
n'oscille pas : il colle à sa tangente y = x, d'où le
quotient proche de 1.

]]> 1 : c'est le nombre dérivé de sinus en 0

]]> Bonne réponse : sin x - sin 0/x - 0 est le
taux d'accroissement de sin en 0 : sa limite est
sin'(0) = cos 0 = 1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q18 : Variations de cosinus sur $[0\ ;\ \pi]$ Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle
[0\ ;\ π] ?

]]> (cos)' = -sin : le signe du sinus pilote les variations
du cosinus. Sur [0\ ;\ π] : décroissance de 1 à -1 ;
puis remontée sur [π\ ;\ 2π] : l'ondulation perpétuelle
se lit tableau par tableau.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît de 1 à -1

]]> Bonne réponse : (cos x)' = -sin x, et sur [0\ ;\ π], sin x ≥ 0, donc -sin x ≤ 0 :
décroissance stricte de cos 0 = 1 à cos π = -1.

]]> Elle croît puis décroît, avec un maximum en
π/2

]]> Erreur : en π/2, le cosinus vaut 0 et
traverse en descendant (-sinπ/2 = -1 < 0) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus.

]]> Elle croît de -1 à 1

]]> Sens inversé : c'est le comportement sur [π\ ;\ 2π] (ou [-π\ ;\ 0]) : sur [0\ ;\ π], le point
du cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît.

]]> Elle est constante, car elle est périodique

]]> Confusion : périodique signifie qui se répète, et non constante :
à l'intérieur d'une période, la fonction varie
(pleinement, de 1 à -1).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q19 : Dérivée de $\sin(@k@x + 1)$ Quelle est la dérivée de f(x) = sin(3x + 1) ?

]]> La dérivée de sin u vaut u'cos u et celle de cos u vaut
-u'sin u. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos(3x + 1)

]]> Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en
facteur.

]]> 3cos(3)

]]> L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie
pas.

]]> 3cos(3x + 1)

]]> Bonne réponse : la dérivée de sin u vaut u'cos u, avec
u'(x) = 3.

]]> -3cos(3x + 1)

]]> Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas
l'inverse.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q20 : Résoudre $\sin x = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de sin x = ½ dans
[0 ; 2π[ ?

]]> L'équation sin x = a a deux solutions sur un intervalle de longueur
2π, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, d'où la relation
sin(π - x) = sin x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/3 et 2π/3

]]> Valeur remarquable confondue : sinπ/3 vaut
\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

]]> π/6 et -π/6

]]> Symétrie du cosinus appliquée au sinus : les angles opposés ont des
sinus opposés.

]]> π/6 seulement

]]> Seconde solution oubliée : elle se lit par symétrie par rapport à
l'axe vertical.

]]> π/6 et 5π/6

]]> Bonne réponse : deux points du cercle ont pour ordonnée
½, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q21 : Effet d'un coefficient sur la période Quelle est la période de la fonction x ↦ sin(2x) ?

]]> La fonction x ↦ sin(ω x) a pour période
2π/ω. Un coefficient grand resserre les oscillations, un
coefficient petit les étire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π

]]> Bonne réponse : le motif est parcouru deux fois plus vite, donc sa
longueur est divisée par deux.

]]> π/2

]]> Division de trop : la période vaut 2π/2, soit π.

]]> 4π

]]> Période multipliée au lieu d'être divisée : un coefficient supérieur à
1 resserre la courbe.

]]> 2π

]]> Période de sin x recopiée : le coefficient 2 la modifie.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q22 : Dérivée seconde du sinus Que vaut la dérivée seconde de la fonction sinus ?

]]> Quatre dérivations ramènent au point de départ : sin, cos,
-sin, -cos, puis de nouveau sin. La dérivée seconde du sinus
est donc son opposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos x

]]> C'est la dérivée première : il reste une dérivation à effectuer.

]]> -cos x

]]> Une seule dérivation effectuée, avec un signe en trop : la dérivée
première vaut cos x.

]]> -sin x

]]> Bonne réponse : on dérive deux fois, sin x donnant cos x, puis
cos x donnant -sin x.

]]> sin x

]]> Signe oublié : la dérivée du cosinus introduit un signe moins.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q23 : Où les deux courbes se croisent Sur [0 ; π], en combien de points les courbes du sinus et du
cosinus se coupent-elles ?

]]> Résoudre sin x = cos x revient à chercher les points du cercle situés
sur la première bissectrice. Sur un intervalle de longueur 2π, il y en
a deux, espacés de π.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En deux points

]]> Le second point de croisement, en 5π/4, se situe hors de
l'intervalle proposé.

]]> En aucun point

]]> Le sinus part en dessous du cosinus et finit au-dessus : il y a
nécessairement un croisement.

]]> En un seul point

]]> Bonne réponse : l'égalité n'a lieu qu'en π/4, où les deux
fonctions valent \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

]]> En une infinité de points

]]> Les deux courbes ne se confondent nulle part : leurs valeurs diffèrent
partout ailleurs.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q24 : Symétrie de la courbe du cosinus Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cosinus ?

]]> Le cosinus est pair et le sinus impair, ce qui se lit sur le cercle
trigonométrique : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve
l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune symétrie particulière

]]> La relation cos(-x) = cos x impose la symétrie axiale.

]]> Une symétrie par rapport à l'origine

]]> C'est le cas du sinus, qui est impair : sin(-x) = -sin x.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : cos(-x) = cos x, la fonction est paire.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Aucune courbe de fonction ne présente cette symétrie, qui donnerait
deux images à un même nombre.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q25 : Une limite trigonométrique Vers quoi tend sin(3x)/x lorsque x tend vers 0 ?

]]> La limite de référence sin x/x → 1 en 0 s'adapte par
changement d'écriture. Elle traduit que la tangente au sinus en 0 a pour
pente 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers ⅓

]]> Coefficient inversé : le facteur 3 se retrouve au numérateur après
transformation.

]]> Vers 3

]]> Bonne réponse : on écrit 3 × sin(3x)/3x, et le
quotient tend vers 1.

]]> Vers 1

]]> Coefficient oublié : la limite de référence concerne
sin u/u, il faut donc faire apparaître 3x au
dénominateur.

]]> Vers 0

]]> Les deux termes tendent vers 0 : c'est une forme indéterminée, pas
une limite nulle.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q26 : Résoudre $\cos x = 0$ Quelles sont les solutions de cos x = 0 dans [0 ; 2π[ ?

]]> Le cosinus s'annule pour les réels de la forme
π/2 + kπ. Sur un intervalle de longueur 2π, cela
fournit deux solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 et π, où le sinus s'annule

]]> Ce sont les solutions de sin x = 0 : leurs cosinus valent 1 et
-1.

]]> π/2 seulement

]]> Seconde solution oubliée : le cosinus s'annule aussi en
3π/2.

]]> π et 2π, aux extrémités

]]> En ces points, le cosinus vaut -1 et 1, pas 0.

]]> π/2 et 3π/2

]]> Bonne réponse : ce sont les deux points du cercle situés sur l'axe des
ordonnées.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q27 : Effet d'un coefficient devant le sinus Que change le passage de x ↦ sin x à x ↦ 3sin x ?

]]> Un coefficient devant la fonction modifie l'amplitude, un coefficient
devant x la période, un terme ajouté à l'intérieur décale
horizontalement, un terme ajouté à l'extérieur décale verticalement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les valeurs s'étalent entre -3 et 3

]]> Bonne réponse : le coefficient multiplie les ordonnées, donc
l'amplitude de l'oscillation.

]]> La période est divisée par trois

]]> Un coefficient devant la fonction n'agit pas sur la période, qui reste
2π.

]]> La courbe est décalée vers le haut de trois unités

]]> Un décalage vertical viendrait d'un terme additif, du type
sin x + 3.

]]> La courbe est décalée vers la droite

]]> Un décalage horizontal viendrait d'un terme ajouté à l'intérieur, du
type sin(x - 3).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q28 : Dériver $x\sin x$ Quelle est la dérivée de f(x) = xsin x ?

]]> La formule (uv)' = u'v + uv' s'applique ici avec u(x) = x et
v(x) = sin x. Le résultat combine les deux fonctions
trigonométriques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc sin x - xcos x

]]> Signe faux : c'est la dérivée du cosinus qui introduit un signe moins,
pas celle du sinus.

]]> sin x + xcos x

]]> Bonne réponse : la formule du produit donne 1 × sin x + x × cos x.

]]> cos x

]]> Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le
produit des dérivées.

]]> xcos x

]]> Premier terme oublié : la dérivée de x multiplie aussi sin x.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q29 : Encadrer une expression trigonométrique Entre quelles valeurs l'expression 2 + 3sin x est-elle comprise ?

]]> On part de l'encadrement du sinus, puis on applique les opérations dans
l'ordre : multiplication par un nombre positif, qui conserve le sens, puis
addition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre -3 et 3

]]> Terme constant oublié : il décale l'encadrement de deux unités vers le
haut.

]]> Entre 2 et 5

]]> Borne inférieure fausse : le sinus prend aussi des valeurs négatives.

]]> Entre -1 et 5

]]> Bonne réponse : le sinus varie entre -1 et 1, donc 3sin x entre
-3 et 3.

]]> Entre -1 et 1

]]> Encadrement du sinus seul : il reste à le multiplier par 3 puis à
ajouter 2.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q30 : Combien de solutions sur un grand intervalle Combien l'équation cos x = ½ a-t-elle de solutions dans
[0 ; 4π] ?

]]> L'équation cos x = a, pour a strictement compris entre -1 et 1,
admet deux solutions par période. Le nombre total se déduit du nombre de
périodes contenues dans l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Huit

]]> Comptage doublé : chaque période fournit deux solutions, pas quatre.

]]> Deux

]]> Une seule période prise en compte : l'intervalle est deux fois plus
long.

]]> Quatre

]]> Bonne réponse : deux solutions par période, et l'intervalle en contient
deux.

]]> Une infinité

]]> L'infinité vaut sur ℝ entier ; ici l'intervalle est borné.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q31 : Cosinus d'un angle négatif Que vaut cos(-π/4) ?

]]> Le cosinus est pair (cos(-x) = cos(x)) : les points associés à x
et à -x sur le cercle ont la même abscisse. On se ramène donc à la
valeur remarquable en π/4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Valeur associée à l'angle π/6 : à
π/4 correspond \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

]]> ½

]]> Valeur associée à l'angle π/3 : le quart de tour se
partage différemment sur le cercle.

]]> \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Bonne réponse : le cosinus est une fonction paire, donc
\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
= \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

]]> -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Le signe moins a été reporté sur le résultat : c'est le sinus qui
change de signe avec l'angle, pas le cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q32 : Dérivée d'un multiple du sinus Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = 5sin(x) ?

]]> Pour un réel k, (k u)' = k u'. Avec u = sin, dont la dérivée
est cos, la dérivée cherchée garde le même coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5sin(x)

]]> La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à
sa propre dérivée.

]]> -5cos(x)

]]> Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un
signe moins, pas celle du sinus.

]]> 5cos(x)

]]> Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et
la dérivée du sinus est le cosinus.

]]> cos(x)

]]> Le coefficient 5 a disparu : il multiplie toute la fonction,
donc aussi sa dérivée.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q33 : Cosinus d'un multiple de $\pi$ Que vaut cos(2π) ?

]]> Le cosinus est 2π-périodique : on ramène l'angle dans un tour
complet. Les multiples pairs de π donnent 1, les multiples impairs
donnent -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Le nombre 2 compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours
compris entre -1 et 1.

]]> 0

]]> C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des
abscisses, donc son ordonnée est nulle.

]]> -1

]]> Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après 2 demi-tours,
l'abscisse du point vaut 1.

]]> 1

]]> Bonne réponse : chaque multiple de π correspond à un demi-tour
sur le cercle. Après 2 demi-tours, on arrive au point d'abscisse
1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q34 : L'identité fondamentale Pour tout réel x, que vaut cos²(x) + sin²(x) ?

]]> Le point de coordonnées (cos x ; sin x) appartient au cercle
trigonométrique, de rayon 1 et de centre l'origine. Le théorème de
Pythagore donne cos²(x) + sin²(x) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : le point associé à x est sur le cercle de rayon
1, donc la somme des carrés de ses coordonnées vaut 1.

]]> Cela dépend de la valeur de x

]]> Justement pas : c'est une identité, vraie pour tout réel x, et
elle vaut toujours 1.

]]> cos(2x)

]]> Confusion avec une autre formule : la somme des carrés est une
constante, elle ne dépend pas de x.

]]> 0

]]> Une somme de deux carrés ne peut pas être nulle ici : les deux
coordonnées ne s'annulent jamais ensemble.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q35 : Où le sinus est-il positif Sur l'intervalle [0 ; 2π], pour quelles valeurs de x a-t-on
sin(x) > 0 ?

]]> Le signe du sinus se lit sur le cercle : positif au-dessus de l'axe des
abscisses, négatif en dessous. Il s'annule en 0, en π et en
2π.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; π/2[

]]> Intervalle trop court : le sinus décroît après π/2,
mais il reste positif jusqu'à π.

]]> ]0 ; π[

]]> Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point du cercle ; elle
est strictement positive sur le demi-tour supérieur, donc entre 0
et π.

]]> ]π ; 2π[

]]> C'est le demi-tour inférieur du cercle : les ordonnées y sont
négatives, donc le sinus aussi.

]]> Sur tout l'intervalle, sauf en 0

]]> Le sinus change bien de signe : il devient négatif dès que l'angle
dépasse π.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q36 : Valeur en dehors du premier quadrant Que vaut cos(2π/3) ?

]]> Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par
symétrie : π - θ conserve le sinus et change le cosinus en son
opposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Erreur de signe : l'angle 2π/3 dépasse π/2, ce qui
impose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> C'est la valeur de sin(2π/3), l'autre coordonnée du
point : la question porte sur cos.

]]> -½

]]> Bonne réponse : on place l'angle 2π/3 sur le cercle, puis on lit la
coordonnée qui correspond à cos : elle vaut -½.

]]> -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de sin, et son
signe est en plus inversé. La réponse attendue est -½.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q37 : Nombre dérivé en zéro Soit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = 2sin(3x). Que vaut f'(0) ?

]]> La dérivée de sin(ax) est acos(ax). En 0, le cosinus vaut 1 :
le nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire
la pente de la courbe à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Le coefficient 2 placé devant le sinus a été oublié : il
multiplie aussi la dérivée.

]]> 0

]]> C'est f(0) qui est nul, pas f'(0) : la courbe passe par
l'origine avec une pente non nulle.

]]> 2

]]> Le facteur venu de la composition manque : dériver sin(3x) fait
sortir le coefficient 3.

]]> 6

]]> Bonne réponse : f'(x) = 2 × 3cos(3x), et
cos(0) = 1, donc f'(0) = 6.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q38 : Retrouver un cosinus négatif On sait que sin(x) = ⅗, avec
x ∈ [π/2 ; π]. Que vaut cos(x) ?

]]> On isole cos²(x) = 1 - sin²(x), on prend la racine carrée,
puis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième
quadrant, le cosinus est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -⅗

]]> C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne
sont pas liées par un simple changement de signe.

]]> ⅘

]]> La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur
[π/2 ; π], le cosinus est négatif.

]]> -⅘

]]> Bonne réponse : l'identité donne cos²(x) = 1 - sin²(x),
et l'intervalle impose un cosinus négatif, donc -⅘.

]]> ⅖

]]> Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule
pas le cosinus en retranchant le sinus à 1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q39 : Maximum d'un multiple du cosinus Quelle est la valeur maximale de la fonction f définie sur
ℝ par f(x) = -5cos(x) ?

]]> Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de
-1 ≤ cos(x) ≤ 1 on tire un encadrement de f dont les bornes
sont échangées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -5

]]> C'est le minimum de f : il correspond à cos(x) = 1, puisque le
coefficient est négatif.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de f
est atteint quand cos(x) vaut -1, et il vaut 5.

]]> 1

]]> C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par -5,
ce qui échange le maximum et le minimum.

]]> -1

]]> C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de f, elles,
s'étalent entre -5 et 5.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q40 : Une solution unique sur un demi-tour Quelle est l'unique solution de l'équation cos(x) = -½ sur
l'intervalle [0 ; π] ?

]]> Sur [0 ; π], la fonction cosinus est strictement décroissante :
l'équation cos(x) = a, avec -1 ≤ a ≤ 1, y admet exactement
une solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2π/3

]]> Bonne réponse : sur [0 ; π], le cosinus décroît de 1 à -1,
donc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en 2π/3.

]]> x = 4π/3

]]> C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse π et
sort donc de l'intervalle.

]]> x = π/3

]]> Le signe a été négligé : le cosinus de π/3 est l'opposé
de la valeur cherchée.

]]> x = -2π/3

]]> Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il
n'appartient pas à l'intervalle demandé.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q41 : Identifier une courbe d'amplitude $2$ [Figure : Repère avec une courbe tracée sur [-pi ; pi] : elle atteint son
maximum 2 en 0, s'annule en -pi/2 et en pi/2, et atteint son
minimum -2 aux deux extrémités -pi et pi. Courbe symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.]

La courbe \mathcal{C} ci-dessous est tracée sur [-π ; π].
Parmi les quatre fonctions proposées, laquelle a pour courbe
représentative \mathcal{C} ?

]]> Un coefficient placé devant la fonction étire la courbe verticalement et
fixe l'amplitude ; un coefficient placé devant x modifie la période ;
un terme ajouté déplace la courbe verticalement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ cos(2x)

]]> Ce coefficient agirait sur la période, qui vaudrait π : la
courbe oscillerait deux fois sur l'intervalle.

]]> x ↦ 2cos(x)

]]> Bonne réponse : la courbe atteint 2 en 0 et -2 en π, et
elle effectue une seule oscillation : l'amplitude est doublée, pas
la période.

]]> x ↦ 2sin(x)

]]> Le sinus s'annule en 0, alors que la courbe y atteint son
maximum : c'est bien un cosinus.

]]> x ↦ cos(x) + 2

]]> Ajouter 2 déplacerait la courbe vers le haut, entre 1 et 3 :
elle ne descendrait jamais sous l'axe.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q42 : Croisements avec l'axe des abscisses En combien de points la courbe de la fonction x ↦ sin(2x)
coupe-t-elle l'axe des abscisses sur l'intervalle [0 ; 2π] ?

]]> Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les solutions de
f(x) = 0. Pour sin(2x), la période vaut π et les zéros sont
espacés de π/2 : il faut penser à compter les bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En quatre points

]]> Une extrémité de l'intervalle a été oubliée : l'intervalle est
fermé, donc 0 et 2π comptent tous les deux.

]]> En trois points

]]> C'est le compte pour la fonction sinus elle-même : le coefficient
2 divise la période par deux et double les croisements.

]]> En cinq points

]]> Bonne réponse : sin(2x) = 0 donne 2x = kπ, soit
x = kπ/2 ; dans [0 ; 2π], cela fait 0,
π/2, π, 3π/2 et 2π.

]]> En deux points

]]> Ce serait le compte sur une seule période de la fonction
x ↦ sin(2x), qui vaut π : l'intervalle en contient
deux.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q43 : Dérivée seconde d'un cosinus composé Quelle est la dérivée seconde de la fonction f définie sur
ℝ par f(x) = cos(2x) ?

]]> On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la
composée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple
sinus-cosinus revient au point de départ au signe près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2cos(2x)

]]> Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,
donc deux fois, d'où le carré.

]]> 4sin(2x)

]]> Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :
deux dérivations ramènent au cosinus.

]]> -4cos(2x)

]]> Bonne réponse : f'(x) = -2sin(2x), puis une seconde
dérivation fait sortir un nouveau facteur 2 et ramène le
cosinus.

]]> 4cos(2x)

]]> Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple
sinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q44 : Dériver $x^n\cos x$ Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = x³cos(x) ?

]]> La dérivée d'un produit s'écrit (uv)' = u'v + uv'. Le premier facteur
se dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à
la dérivée du cosinus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x²cos(x) + x³sin(x)

]]> Signe oublié : la dérivée de cos(x) est -sin(x), ce qui change
le signe du second terme.

]]> 3x²cos(x) - x³sin(x)

]]> Bonne réponse : avec u = x³ et v = cos(x), la formule
u'v + uv' donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée
du cosinus.

]]> -3x²sin(x)

]]> Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un
produit n'est pas le produit des dérivées.

]]> 3x²cos(x)

]]> Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant
x³ en facteur.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q45 : La limite de $\frac{\cos x - 1}{x}$ Que vaut \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x} ?

]]> On reconnaît f(x) - f(0)/x - 0 avec f = cos. La limite est
donc cos'(0). Comme cos' = -sin et sin(0) = 0, cette limite
vaut 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il n'y a pas de limite

]]> La forme est bien indéterminée, mais elle se lève : c'est un taux
d'accroissement, dont la limite est un nombre dérivé.

]]> 0

]]> Bonne réponse : ce quotient est le taux d'accroissement du cosinus
entre 0 et x, sa limite est donc cos'(0) = -sin(0) = 0.

]]> 1

]]> C'est la limite de sin(x)/x, qui est le nombre dérivé du
sinus en 0. Ici la fonction dérivée est celle du cosinus.

]]> -1

]]> Le signe moins de la dérivée du cosinus a bien été vu, mais
sin(0) vaut 0, donc le nombre dérivé est nul.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q46 : L'aire maximale d'un triangle isocèle Un triangle isocèle a deux côtés de longueur 1 qui forment un
angle de mesure x radians, avec x ∈ ]0 ; π[.
Son aire vaut A(x) = ½sin x. Pour quelle valeur de x
cette aire est-elle maximale ?

]]> Étudier une fonction trigonométrique simple permet de résoudre un
problème d'optimisation géométrique : on dérive, on étudie le signe
de la dérivée sur l'intervalle, on conclut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/4

]]> Erreur : A'(x) est encore positive en π/4, donc
l'aire continue d'augmenter après cette valeur.

]]> π

]]> Erreur : π est exclu, et l'aire tend vers 0 quand x se
rapproche de π : le triangle s'aplatit.

]]> π/2

]]> Bonne réponse : A'(x) = ½cos x est positive sur
]0 ; π/2] et négative ensuite ; le
maximum vaut ½, pour un angle droit.

]]> π/3

]]> Erreur : le triangle serait équilatéral, d'aire
\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}43, inférieure à ½.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q47 : Résoudre cos x égale un Quelles sont les solutions de cos x = 1 sur [0 ; 2π[ ?

]]> cos x = 1 si et seulement si x = 2kπ ; sur un tour, une seule
solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0 seulement

]]> Bonne réponse : le cosinus vaut 1 en un seul point du cercle,
celui d'angle 0 ; 2π est exclu de l'intervalle.

]]> x = π/2

]]> Erreur : cosπ/2 = 0.

]]> x = 0 et x = 2π

]]> Erreur : 2π n'appartient pas à [0 ; 2π[.

]]> x = 0 et x = π

]]> Erreur : cos π = -1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q48 : Résoudre une équation en sinus avec une valeur négative Quelles sont les solutions de sin x = -½ sur [0 ; 2π[ ?

]]> sin x = sin a équivaut à x = a ou x = π - a, à 2π
près ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la
moitié inférieure du cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 7π/6 seulement

]]> Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.

]]> x = 7π/6 et x = 11π/6

]]> Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe
des abscisses ; les deux points d'ordonnée -½ ont pour
angles 7π/6 et 11π/6.

]]> x = π/6 et x = 5π/6

]]> Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.

]]> x = π/6 et x = 7π/6

]]> Erreur : π/6 et 7π/6 ont des sinus opposés.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q49 : Une équation en cosinus carré Combien de solutions l'équation 2cos² x - 1 = 0 possède-t-elle
sur [0 ; 2π[ ?

]]> Résoudre une équation en cos² x : extraire les deux racines
opposées, puis résoudre chaque équation cos x = k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune, un carré ne pouvant valoir ½

]]> Erreur : ½ est positif, il est bien le carré de
\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

]]> Une seule, x = π/4, le cosinus étant positif

]]> Erreur : chaque valeur de cosinus donne deux solutions sur un
tour, et il y a deux valeurs possibles.

]]> Quatre, ±π/4 et ±3π/4 à 2π près

]]> Bonne réponse : cos² x = ½ donne \cos x =
\dfrac{\sqrt{2}}{2} ou \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, soit
deux solutions pour chaque valeur.

]]> Deux, π/4 et 7π/4

]]> Erreur : seule la valeur positive \dfrac{\sqrt{2}}{2} a été
traitée ; \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} en donne deux autres.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q50 : Reconnaître la courbe du cosinus [Figure : Courbe sur l'intervalle allant de moins pi à pi : elle vaut 1 en 0,
s'annule en moins pi sur 2 et pi sur 2, vaut -1 en moins pi et en
pi, et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.]

Quelle fonction est représentée ci-contre sur
[-π ; π] ?

]]> Repères : cos 0 = 1, cos π/2 = 0, cos π = -1 ;
cosinus est paire, sinus est impaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ sin x

]]> Erreur : sin 0 = 0, alors que la courbe passe par
(0 ; 1).

]]> x ↦ -cos x

]]> Erreur : -cos 0 = -1 ; la courbe serait retournée.

]]> x ↦ cos x

]]> Bonne réponse : la courbe passe par (0 ; 1) et elle est
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car cosinus est
paire.

]]> x ↦ -sin x

]]> Erreur : -sin est impaire et s'annule en 0.

]]>