$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Orthogonalité et distances dans l'espace Produit scalaire dans l'espace, expression en base orthonormée,
orthogonalité de vecteurs et de droites, norme et distance entre
deux points, développement de \|u⃗ + v⃗\|², vecteur
normal à un plan, projeté orthogonal, plans perpendiculaires,
distance d'un point à un plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q01 : Produit scalaire en coordonnées Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(1 ; 2 ; -1)
et v⃗(3 ; 0 ; 2). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> En base orthonormée :
u⃗ · v⃗ = xx' + yy' + zz'. Ici
1 × 3 + 2 × 0 + (-1) × 2 = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur de signe : le dernier terme vaut
(-1) × 2 = -2, pas +2. Total : 3 + 0 - 2 = 1.

]]> 0

]]> Erreur : 0 signifierait des vecteurs orthogonaux. Le
calcul donne 3 + 0 - 2 = 1 ≠ 0.

]]> 1

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' + zz' = 3 + 0 - 2 = 1.

]]> (3 ; 0 ; -2)

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre,
pas un vecteur. On additionne les produits des
coordonnées.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q02 : Tester l'orthogonalité Dans un repère orthonormé, u⃗(2 ; 1 ; -1) et
v⃗(1 ; 0 ; 2) sont-ils orthogonaux ?

]]> Caractérisation fondamentale :
\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} =
0. Ici 2 + 0 - 2 = 0 : orthogonaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir sans connaître l'angle

]]> Erreur : le produit scalaire remplace justement le calcul
d'angle : u⃗ · v⃗ = 0 ⇔
vecteurs orthogonaux.

]]> Oui, car u⃗ · v⃗ = 0

]]> Bonne réponse : 2 × 1 + 1 × 0 + (-1) × 2 = 2 - 2 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.

]]> Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle

]]> Erreur : l'orthogonalité ne se lit pas sur les coordonnées
individuellement, mais sur la somme des produits :
u⃗ · v⃗ = 0.

]]> Non, car ils ne sont pas colinéaires

]]> Confusion : la colinéarité et l'orthogonalité sont deux
notions différentes (et presque opposées). Le test
d'orthogonalité est la nullité du produit scalaire.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q03 : Norme d'un vecteur Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de
u⃗(2 ; -1 ; 2) ?

]]> En base orthonormée : \|u⃗\| = √x² + y² + z²
(Pythagore en trois dimensions). Ici √9 = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √3

]]> Erreur : tu as compté 2 + (-1) + 2 = 3 sous la racine.
Ce sont les carrés des coordonnées qu'on additionne :
4 + 1 + 4 = 9.

]]> 9

]]> Oubli de la racine : 9 = \|u⃗\|² est le carré
de la norme. La norme vaut √9 = 3.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = 2 + 1 + 2 additionne les valeurs absolues.
La norme passe par les carrés : √4 + 1 + 4 = 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : \|u⃗\| = √2² + (-1)² + 2² = √9 = 3.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q04 : Distance entre deux points Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 0 ; 2) et
B(3 ; 2 ; 1). Que vaut la distance AB ?

]]> AB = √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)².
Ici AB⃗(2 ; 2 ; -1) et AB = √9 = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Oubli de la racine : 9 est AB². La distance vaut
√9 = 3.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = 2 + 2 + 1 additionne les valeurs absolues
des coordonnées. La formule exige leurs carrés sous une
racine.

]]> 3

]]> Bonne réponse : AB = \|AB⃗\| = √2² + 2² + (-1)² = √9 = 3.

]]> √3

]]> Erreur : √2 + 2 - 1 additionne les coordonnées de
AB⃗ au lieu de leurs carrés :
√4 + 4 + 1 = 3.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q05 : Vecteur normal à un plan Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan \mathcal{P} ?

]]> n⃗ normal à \mathcal{P} : non nul et orthogonal à
tout vecteur du plan. Critère pratique : orthogonal à deux
vecteurs non colinéaires de \mathcal{P}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un vecteur orthogonal à un vecteur non nul de
\mathcal{P}

]]> Insuffisant : être orthogonal à une seule direction du
plan ne suffit pas (on peut l'être en restant dans le
plan). Il faut l'orthogonalité à deux directions non
colinéaires.

]]> Un vecteur non nul contenu dans \mathcal{P}

]]> Contresens : un vecteur du plan est une direction du
plan. Le vecteur normal lui est au contraire
perpendiculaire, il pointe hors du plan.

]]> Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur de
\mathcal{P}

]]> Bonne réponse : n⃗ est orthogonal à toutes les
directions du plan (il suffit de le vérifier sur deux
vecteurs non colinéaires du plan).

]]> Un vecteur de norme 1 dont la direction est celle de
\mathcal{P}

]]> Erreur : la norme n'a rien à voir avec la définition («
normal » signifie perpendiculaire, pas « normé »), et un
vecteur de direction celle du plan n'est pas normal au
plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ Que vaut \|u⃗ + v⃗\|² pour deux vecteurs
quelconques de l'espace ?

]]> \|u⃗+v⃗\|² = (u⃗+v⃗) · (u⃗+v⃗) = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|². On en tire u⃗·v⃗ = ½(\|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|²) (polarisation).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\|² - 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|²

]]> Erreur de signe : le moins correspond au développement de
\|u⃗ - v⃗\|².

]]> \|u⃗\|² + \|v⃗\|²

]]> Piège : cette égalité (Pythagore) n'est vraie que si
\vec{u} \perp \vec{v} (le double produit scalaire
s'annule alors). En général, le terme
2 u⃗·v⃗ subsiste.

]]> (\|u⃗\| + \|v⃗\|)²

]]> Erreur : ce serait le cas d'égalité extrême (vecteurs
colinéaires de même sens). Le terme croisé est
2 u⃗·v⃗, en général plus petit que
2\|u⃗\|\|v⃗\|.

]]> \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|²

]]> Bonne réponse : identité remarquable vectorielle, obtenue
par bilinéarité du produit scalaire. Elle fonde les
formules de polarisation.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q07 : Produit scalaire et angle Soient u⃗ et v⃗ tels que \|u⃗\| = 2,
\|v⃗\| = 3 et u⃗ · v⃗ = 3. Que vaut
l'angle θ entre u⃗ et v⃗ ?

]]> u⃗·v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ,
d'où cosθ = 3/6 = ½ et θ = π/3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc θ = π/3

]]> Bonne réponse : \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},
donc θ = π/3.

]]> θ = π/6

]]> Erreur de valeur remarquable : cosθ = ½
correspond à π/3 ; c'est
\dfrac{\sqrt{3}}{2} qui correspondrait à
π/6.

]]> θ = π/2

]]> Erreur : π/2 exigerait un produit scalaire
nul. Ici il vaut 3 ≠ 0.

]]> cosθ = 3

]]> Impossible : un cosinus reste entre -1 et 1. Il faut
diviser le produit scalaire par le produit des normes :
3/2 × 3 = ½.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q08 : Plans perpendiculaires Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs \vec{n_1}
et \vec{n_2}. À quelle condition ces plans sont-ils
perpendiculaires ?

]]> Dictionnaire des positions par les normaux : normaux
colinéaires ⇔ plans parallèles ; normaux
orthogonaux ⇔ plans perpendiculaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0

]]> Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et
seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

]]> \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1

]]> Erreur : la valeur 1 n'a aucun statut particulier ici.
La perpendicularité se lit sur la nullité du produit
scalaire des normaux.

]]> \vec{n_1} et \vec{n_2} colinéaires

]]> Contresens : des normaux colinéaires caractérisent des
plans parallèles (ou confondus), pas perpendiculaires.

]]> Les plans n'ont aucun point commun

]]> Erreur : deux plans perpendiculaires se coupent toujours
(le long d'une droite). L'absence de point commun signifie
le parallélisme strict.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q09 : Propriété du projeté orthogonal Soit H le projeté orthogonal d'un point M sur un plan
\mathcal{P}. Quelle propriété caractérise H ?

]]> Le projeté orthogonal H de M sur \mathcal{P} minimise la
distance : MH = d(M\,;\,\mathcal{P}). Preuve par Pythagore
dans le triangle MHP, rectangle en H.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc H est un point quelconque où (MH) coupe \mathcal{P}

]]> Insuffisant : toute droite issue de M non parallèle au
plan le coupe. Le projeté exige que (MH) soit
orthogonale au plan.

]]> H est le symétrique de M par rapport à \mathcal{P}

]]> Erreur : le symétrique est de l'autre côté du plan, à
double distance. Le projeté est le pied de la
perpendiculaire, dans le plan.

]]> H est le point de \mathcal{P} le plus proche de M

]]> Bonne réponse : pour tout autre point P du plan,
MP² = MH² + HP² > MH² (Pythagore). C'est la
démonstration au programme, et la définition de la
distance de M au plan.

]]> H est le point de \mathcal{P} le plus éloigné de M

]]> Contresens : il n'existe d'ailleurs pas de point le plus
éloigné dans un plan (illimité). Le projeté minimise la
distance.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q10 : Droite orthogonale à un plan Soit d une droite de vecteur directeur u⃗ et
\mathcal{P} un plan. À quelle condition d est-elle
orthogonale à \mathcal{P} ?

]]> Critère au programme : d \perp \mathcal{P} dès que son
vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non
colinéaires du plan. Le directeur de d est alors un vecteur
normal de \mathcal{P}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d et \mathcal{P} n'ont aucun point commun

]]> Erreur : une droite orthogonale à un plan le perce en
un point. L'absence d'intersection signifie le
parallélisme.

]]> u⃗ est orthogonal à un vecteur de \mathcal{P}

]]> Insuffisant : une droite contenue dans le plan peut
être orthogonale à une direction du plan sans lui être
orthogonale. Il faut deux directions non colinéaires.

]]> u⃗ est un vecteur du plan \mathcal{P}

]]> Contresens : ce serait une droite parallèle au plan
(ou incluse dedans), le contraire de la situation
cherchée.

]]> u⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de
\mathcal{P}

]]> Bonne réponse : l'orthogonalité à deux directions
indépendantes du plan suffit à garantir l'orthogonalité à
toutes (autrement dit, u⃗ est normal au plan).

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q11 : Distance à un plan horizontal Dans un repère orthonormé, soit M(0 ; 0 ; 5) et
\mathcal{P} le plan d'équation z = 1. Quelle est la
distance de M à \mathcal{P} ?

]]> La distance d'un point à un plan est la longueur MH, où H
est le projeté orthogonal. Pour un plan z = c et
M(x ; y ; z_M) : H(x ; y ; c) et
d = |z_M - c| = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur : 5 est la distance de M au plan z = 0 (ou à
l'origine). Le plan est à l'altitude 1 : il reste
5 - 1 = 4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : \mathcal{P} est horizontal, le projeté
orthogonal de M est H(0 ; 0 ; 1), et
MH = 5 - 1 = 4.

]]> 6

]]> Erreur : 5 + 1 additionne au lieu de soustraire. M et
le plan sont du même côté : la distance est la différence
des altitudes.

]]> 1

]]> Erreur : 1 est l'altitude du plan, pas l'écart entre
M et le plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q12 : Droites orthogonales et perpendiculaires Dans l'espace, deux droites sont dites orthogonales
lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que
peut-on dire de plus ?

]]> Vocabulaire précis : orthogonales signifie de directions orthogonales (sans exigence de rencontre) ; perpendiculaires signifie orthogonales et sécantes. Les réflexes de géométrie plane
(perpendiculaire commune, transitivité) ne se transposent pas
tels quels à l'espace.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Orthogonales signifie parallèles à des plans
perpendiculaires

]]> Erreur : cette reformulation ne caractérise pas
l'orthogonalité de deux droites (elle est à la fois trop
large et imprécise). Le critère est
u⃗ · v⃗ = 0.

]]> Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit

]]> Piège : dans l'espace, deux droites orthogonales peuvent
ne jamais se rencontrer (non coplanaires). L'angle
droit ne se réalise qu'entre leurs directions.

]]> Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non
coplanaires est possible

]]> Bonne réponse : l'orthogonalité est une affaire de
directions. Deux droites orthogonales et sécantes sont
dites perpendiculaires ; mais des droites non coplanaires
peuvent très bien être orthogonales (dans un cube :
(AB) et (DH)).

]]> Deux droites orthogonales à une même troisième sont
parallèles entre elles

]]> Vrai dans le plan, faux dans l'espace : les arêtes
(AB) et (AD) d'un cube sont toutes deux orthogonales à
(AE) sans être parallèles.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q13 : Le carré scalaire Pour tout vecteur u⃗, que vaut u⃗ · u⃗ ?

]]> u⃗ · u⃗ = \|u⃗\|² : le pont entre
produit scalaire et longueurs. Toutes les formules de
normes développées (\|u⃗ + v⃗\|²…) en
découlent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2u⃗

]]> Erreur de nature : un produit scalaire est un nombre,
pas un vecteur.

]]> \|u⃗\|²

]]> Bonne réponse : en coordonnées, u⃗ · u⃗ = x² + y² + z² = \|u⃗\|² : le produit scalaire
d'un vecteur avec lui-même est le carré de sa longueur.

]]> \|u⃗\|

]]> Puissance : le produit scalaire donne le carré de la
norme ; la norme elle-même exige une racine carrée.

]]> 2\|u⃗\|

]]> Erreur : 2\|u⃗\| est la norme de u⃗ + u⃗ ; le produit scalaire d'un vecteur par lui-même
est le carré de sa norme.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q14 : Produit scalaire nul u⃗ et v⃗ sont deux vecteurs non nuls avec
u⃗ · v⃗ = 0. Que peut-on conclure ?

]]> Critère fondamental : \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}
\cdot \vec{v} = 0 (vecteurs non nuls). Toute la géométrie
de l'espace (droites orthogonales, vecteur normal…) repose
sur ce test.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ et v⃗ sont colinéaires

]]> Contresens complet : colinéaires non nuls donne
|u⃗ · v⃗| = \|u⃗\|\|v⃗\| ≠ 0 : le produit scalaire nul est l'exact opposé.

]]> u⃗ et v⃗ sont orthogonaux

]]> Bonne réponse : pour des vecteurs non nuls, produit
scalaire nul \iff orthogonalité : c'est LE critère
calculatoire des angles droits.

]]> L'un des deux vecteurs est nul

]]> Erreur : i⃗ · j⃗ = 0 avec deux vecteurs
parfaitement non nuls : le produit scalaire s'annule par
perpendicularité, pas seulement par nullité.

]]> \|u⃗\| = \|v⃗\|

]]> Sans rapport : l'orthogonalité ne contraint pas les
longueurs.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q15 : Développer avec la bilinéarité On sait que u⃗ · v⃗ = 3 et u⃗ · w⃗ = -1. Que vaut u⃗ · (2v⃗ + w⃗) ?

]]> Bilinéarité : u⃗ · (av⃗ + bw⃗) = a(u⃗ · v⃗) + b(u⃗ · w⃗) : le
produit scalaire se manie comme une multiplication : c'est
ce qui permet les développements de type
(u⃗+v⃗)².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Coefficient perdu : le facteur 2 multiplie u⃗ · v⃗ = 3 : la linéarité conserve les
coefficients.

]]> Impossible sans connaître les coordonnées

]]> Erreur : la bilinéarité suffit : les deux produits
scalaires donnés déterminent le résultat, coordonnées ou
pas.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le produit scalaire se développe comme
un produit ordinaire : 2(u⃗ · v⃗) + u⃗ · w⃗ = 6 - 1 = 5.

]]> 6

]]> Terme oublié : il manque la contribution u⃗ · w⃗ = -1.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q16 : Prouver un angle droit Soient A(1\ ;\ 1\ ;\ 1), B(2\ ;\ 3\ ;\ 1) et
C(3\ ;\ 0\ ;\ 1). Le triangle ABC est-il rectangle en
A ?

]]> Rectangle en A : tester AB⃗ · AC⃗ = 0 (les deux vecteurs partent du
sommet suspecté : erreur classique de prendre
AB⃗ et BC⃗).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car les longueurs AB et AC sont égales

]]> Mauvais argument : l'égalité des longueurs prouverait
l'isocèle (et ici AB = √5 = AC, certes),
mais l'angle droit se prouve par le produit scalaire
nul.

]]> Non : aucun côté n'est parallèle à un axe

]]> Faux critère : un angle droit n'a pas besoin d'être
« aligné » sur le repère : le produit scalaire le
détecte dans toutes les directions.

]]> Oui, car AB⃗ · AC⃗ = 0

]]> Bonne réponse : AB⃗(1\ ;\ 2\ ;\ 0) et
AC⃗(2\ ;\ -1\ ;\ 0) donnent 1 × 2 + 2 × (-1) + 0 × 0 = 0 : produit scalaire
nul, angle droit en A (sommet des deux vecteurs).

]]> On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle

]]> Erreur : le produit scalaire EST l'instrument de mesure :
nul \iff angle droit, sans rapporteur.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q17 : Calculer un angle On donne u⃗ · v⃗ = 6, \|u⃗\| = 2 et
\|v⃗\| = 6. Que vaut l'angle entre u⃗ et
v⃗ ?

]]> u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ, d'où cosθ = u⃗ · v⃗/\|u⃗\|\|v⃗\|. Le signe du produit scalaire donne la nature de l'angle : positif aigu,
négatif obtus, nul droit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60°

]]> Bonne réponse : cosθ = u⃗ · v⃗/\|u⃗\| \|v⃗\| = 6/2 × 6 = ½, et \arccos\frac{1}{2} = 60°
(π/3).

]]> 120°

]]> Erreur de signe : cos 120° = -½
correspondrait à un produit scalaire de -6. Ici
u⃗ · v⃗ = 6 > 0 : l'angle est aigu,
cosθ = +½, soit 60°.

]]> 90°

]]> Erreur : 90° correspond à un produit scalaire nul ;
ici 6 ≠ 0 : l'angle est aigu (produit positif).

]]> 30°

]]> Valeur croisée : \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87, pas 0{,}5 : c'est cos 60° = ½.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q18 : Pythagore version vectorielle u⃗ et v⃗ sont orthogonaux. Que vaut
\|u⃗ + v⃗\|² ?

]]> \|u⃗ + v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗· v⃗ + \|v⃗\|² dans tous les cas ; orthogonalité
\iff le double produit s'annule \iff Pythagore. La
réciproque est vraie aussi : l'égalité prouve
l'orthogonalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\|² + \|v⃗\|²

]]> Bonne réponse : le développement donne \|u⃗\|² + 2 u⃗ · v⃗ + \|v⃗\|², et
l'orthogonalité tue le double produit : Pythagore en
habits vectoriels.

]]> \|u⃗\| + \|v⃗\|

]]> Homogénéité : un carré de norme ne peut pas égaler une
somme de normes : les degrés ne collent pas.

]]> 0

]]> Erreur : la somme de deux vecteurs orthogonaux non nuls
n'est pas nulle : elle est la diagonale du rectangle
qu'ils dessinent.

]]> \|u⃗\|² + 2\|u⃗\|\|v⃗\| + \|v⃗\|²

]]> Double produit fantôme : 2u⃗ · v⃗ = 0
par orthogonalité : le terme croisé disparaît (il ne
vaut 2\|u⃗\|\|v⃗\| que pour des vecteurs
colinéaires de même sens).

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q19 : Équation cartésienne d'un plan Quelle est l'équation cartésienne du plan passant par
A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal n⃗(2 ; -1 ; 3) ?

]]> Un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 admet (a ; b ; c) pour
vecteur normal. On détermine d en remplaçant par les coordonnées d'un
point du plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x - y + 3z - 8 = 0

]]> Bonne réponse : les coordonnées du vecteur normal donnent les
coefficients, et A fixe la constante à -8.

]]> 2x - y + 3z = 0

]]> Ce plan passe par l'origine, alors que le point A ne s'y trouve
pas.

]]> x - 0y + 2z - 8 = 0

]]> Coordonnées du point prises pour coefficients : ce sont celles du
vecteur normal qui les fournissent.

]]> 2x - y + 3z + 8 = 0

]]> Signe de la constante : le point A donne 2 - 0 + 6 + d = 0, donc
d = -8.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q20 : Vecteur directeur d'une droite orthogonale à un plan Une droite est orthogonale à un plan. Que peut-on dire de son vecteur
directeur ?

]]> Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur
directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan. C'est le critère le
plus employé dans les exercices de l'espace.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est nul, faute de direction

]]> Un vecteur directeur est toujours non nul, sans quoi il ne définirait
aucune direction.

]]> Il est colinéaire à un vecteur normal du plan

]]> Bonne réponse : être orthogonal à toutes les droites du plan revient à
suivre la direction normale.

]]> Il appartient au plan lui-même

]]> Un vecteur directeur d'une droite orthogonale sort du plan, il ne peut
pas y être contenu.

]]> Il est orthogonal à un vecteur normal du plan

]]> Cette condition caractérise une droite parallèle au plan, pas
orthogonale.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q21 : Produit scalaire dans l'espace Que vaut le produit scalaire de u⃗(1 ; -2 ; 3) et
v⃗(4 ; 1 ; -1) ?

]]> Dans un repère orthonormé de l'espace, le produit scalaire vaut
xx' + yy' + zz'. La formule prolonge directement celle du plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -4

]]> Un terme oublié : les trois produits doivent être additionnés, pas
seulement deux.

]]> 0

]]> Un produit scalaire nul signalerait l'orthogonalité, ce qui n'est pas
le cas ici.

]]> -1

]]> Bonne réponse : 1 × 4 + (-2) × 1 + 3 × (-1) = 4 - 2 - 3.

]]> 9

]]> Signes ignorés : les produits valent 4, -2 et -3, deux d'entre
eux étant négatifs.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q22 : Distance et projeté orthogonal Comment se calcule la distance d'un point M à un plan P ?

]]> La distance d'un point à un plan est la plus petite des distances aux
points du plan, atteinte au projeté orthogonal. On l'obtient en
paramétrant la droite orthogonale au plan passant par M.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la longueur MA, où A est un point du plan

]]> Un point quelconque du plan donne une distance plus grande, sauf s'il
coïncide avec le projeté.

]]> Par le produit scalaire de AM⃗ et d'un normal

]]> Ce produit scalaire intervient dans le calcul, mais il faut encore le
diviser par la norme du vecteur normal.

]]> Par la longueur MH, où H est le projeté de M

]]> Bonne réponse : le projeté orthogonal est le point du plan le plus
proche de M.

]]> Par la moyenne des distances aux points du plan

]]> Un plan contient une infinité de points, dont certains
arbitrairement éloignés : une telle moyenne n'existe pas.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q23 : Orthogonales ou perpendiculaires Quelle différence fait-on entre deux droites orthogonales et deux
droites perpendiculaires ?

]]> Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs vecteurs
directeurs le sont, qu'elles se coupent ou non. Elles sont perpendiculaires
lorsqu'elles sont de plus sécantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les orthogonales ont en plus un point commun

]]> C'est l'inverse : deux droites orthogonales peuvent être non
coplanaires.

]]> Aucune, les deux mots sont synonymes

]]> Ils le sont dans le plan, mais l'espace impose la distinction.

]]> Les perpendiculaires ont en plus un point commun

]]> Bonne réponse : l'orthogonalité porte sur les directions, la
perpendicularité ajoute l'intersection.

]]> Les perpendiculaires sont dans un même plan seulement

]]> Deux droites sécantes sont toujours coplanaires : c'est une
conséquence, pas la définition.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q24 : Intersection d'une droite et d'un plan Pour trouver le point d'intersection d'une droite paramétrée et d'un
plan d'équation cartésienne, que fait-on ?

]]> Remplacer x, y et z par leurs expressions en fonction du paramètre
transforme l'équation du plan en une équation en t. Sans solution, la
droite est parallèle au plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On calcule le produit scalaire des deux vecteurs normaux

]]> Une droite n'a pas de vecteur normal unique dans l'espace : elle en
admet une infinité.

]]> On compare les coefficients des deux écritures

]]> Les deux objets ne sont pas de même nature : leurs écritures ne se
comparent pas terme à terme.

]]> On substitue les expressions paramétrées dans l'équation

]]> Bonne réponse : on obtient une équation du premier degré en t, dont
la solution donne le point.

]]> On résout un système de trois équations à trois inconnues

]]> La substitution ramène à une seule équation à une inconnue, bien plus
rapide.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q25 : Norme d'un vecteur de l'espace Quelle est la norme du vecteur u⃗(2 ; -3 ; 6) ?

]]> La norme d'un vecteur de l'espace vaut √x² + y² + z². C'est le
théorème de Pythagore appliqué deux fois de suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : √4 + 9 + 36 = √49.

]]> 5

]]> Une coordonnée oubliée : √4 + 9 + 12 ne correspond à aucun
carré correct.

]]> 11

]]> Valeurs absolues additionnées : 2 + 3 + 6 ignore les carrés et la
racine.

]]> 49

]]> Racine oubliée : 49 est le carré de la norme, c'est-à-dire le carré
scalaire.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q26 : Deux plans parallèles Comment reconnaître que deux plans d'équations cartésiennes sont
parallèles ?

]]> Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont
colinéaires. Ils sont confondus si, en plus, les constantes respectent la
même proportion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leurs coefficients de z sont égaux

]]> Un seul coefficient ne suffit pas : les trois doivent être
proportionnels.

]]> Leurs vecteurs normaux sont colinéaires

]]> Bonne réponse : une même direction normale impose des plans parallèles,
confondus si les constantes suivent la même proportion.

]]> Leurs constantes sont égales

]]> La constante situe le plan, elle ne dit rien de sa direction.

]]> Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux

]]> Des normales orthogonales caractérisent au contraire des plans
perpendiculaires.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q27 : Angle entre deux vecteurs de l'espace Deux vecteurs de normes 3 et 5 ont un produit scalaire égal à
15/2. Quel est l'angle qu'ils forment ?

]]> La formule u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| × \|v⃗\| × cosθ se résout en cosθ, puis l'angle se lit sur les valeurs
remarquables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60 degrés

]]> Bonne réponse : cosθ = 15/2/15 = ½.

]]> 45 degrés

]]> Le cosinus vaudrait alors \dfrac{\sqrt{2}}{2}, soit environ
0{,}71.

]]> 30 degrés

]]> Valeur remarquable confondue : un cosinus de ½ correspond
à 60 degrés, pas à 30.

]]> 90 degrés

]]> Un angle droit annulerait le produit scalaire, ce qui n'est pas le
cas.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q28 : Pourquoi le projeté est le plus proche Pourquoi le projeté orthogonal H de M sur un plan minimise-t-il la
distance ?

]]> Le triangle MHA est rectangle en H, donc MA dépasse toujours MH.
C'est l'argument qui justifie que la distance d'un point à un plan se lit
sur le projeté orthogonal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que MH est parallèle au plan

]]> Le segment [MH] est au contraire orthogonal au plan.

]]> Parce que H est le centre du plan

]]> Un plan n'a pas de centre : il s'étend indéfiniment dans toutes les
directions.

]]> Parce que MH est un côté de l'angle droit dans MHA

]]> Bonne réponse : pour tout autre point A du plan, le théorème de
Pythagore donne MA² = MH² + HA².

]]> Parce que H appartient à toutes les droites du plan

]]> Aucun point n'appartient à toutes les droites d'un plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q29 : Tester une orthogonalité dans l'espace Les vecteurs u⃗(1 ; 2 ; -1) et v⃗(3 ; -1 ; 1)
sont-ils orthogonaux ?

]]> Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit
scalaire est nul. Le calcul en coordonnées est immédiat dans un repère
orthonormé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, ils ne sont pas de même norme

]]> La norme n'intervient pas dans le test d'orthogonalité.

]]> Non, leur produit scalaire vaut 6

]]> Signes ignorés : les trois produits valent 3, -2 et -1.

]]> Oui, leur produit scalaire est nul

]]> Bonne réponse : 3 - 2 - 1 = 0.

]]> Non, ils ne sont pas colinéaires

]]> L'absence de colinéarité est même nécessaire pour que deux vecteurs non
nuls soient orthogonaux.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q30 : Un plan défini par une égalité de distances Quel est l'ensemble des points M de l'espace équidistants de deux
points distincts A et B ?

]]> L'ensemble des points équidistants de deux points est, dans le plan, la
médiatrice, et dans l'espace, le plan médiateur. Il se caractérise par
IM⃗ · AB⃗ = 0, où I est le milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La sphère de diamètre [AB]

]]> Sur cette sphère, l'angle en M est droit, mais les distances à A et
à B diffèrent en général.

]]> La médiatrice de [AB]

]]> La médiatrice est une droite : elle ne décrit cet ensemble que dans le
plan, pas dans l'espace.

]]> Le milieu de [AB] seulement

]]> Le milieu convient, mais une infinité d'autres points aussi : tous ceux
du plan médiateur.

]]> Le plan médiateur de [AB]

]]> Bonne réponse : c'est le plan perpendiculaire à (AB) passant par le
milieu du segment.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q31 : Carré scalaire en coordonnées Dans un repère orthonormé, on donne
u⃗(2 ; -3 ; 6). Que vaut
u⃗ · u⃗ ?

]]> u⃗ · u⃗ = x² + y² + z² = \|u⃗\|². Le carré
scalaire vaut donc 49, et la norme 7 s'en déduit par
une racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11

]]> Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont
leurs carrés qu'il faut sommer : 49.

]]> 7

]]> C'est la norme \|u⃗\| = 7, obtenue après la racine
carrée. Le carré scalaire est son carré : 49.

]]> 5

]]> Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne
leurs carrés : 49.

]]> 49

]]> Bonne réponse : u⃗ · u⃗ = 2² + (-3)² + 6² = 49, c'est-à-dire le carré de la norme.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q32 : Produit scalaire à partir des normes On sait que \|u⃗\| = 3, \|v⃗\| = 5 et
\|u⃗ + v⃗\| = 6. Que vaut u⃗ · v⃗ ?

]]> Développer \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|², puis isoler le produit
scalaire : u⃗ · v⃗ = 6² - 3² - 5²/2 = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : 6² = 3² + 5² + 2 u⃗ · v⃗, donc u⃗ · v⃗ = 1.

]]> -1

]]> Signe inversé : c'est de \|u⃗+v⃗\|² qu'on retire les
deux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est 1.

]]> 2

]]> 2 est le double produit scalaire : il reste à
diviser par 2, ce qui donne 1.

]]> 15

]]> \|u⃗\| × \|v⃗\| = 15 est la valeur
maximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même
sens seulement.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q33 : Développer un produit de sommes Deux vecteurs vérifient \|u⃗\| = 5 et
\|v⃗\| = 3. Que vaut
(u⃗ + v⃗) · (u⃗ - v⃗) ?

]]> Par bilinéarité, (u⃗+v⃗)·(u⃗-v⃗) = u⃗·u⃗ - u⃗·v⃗ + v⃗·u⃗ - v⃗·v⃗ = \|u⃗\|² - \|v⃗\|². Le produit
scalaire se développe comme un produit de nombres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> (5 - 3)² serait \|u⃗ - v⃗\|² dans le cas
colinéaire. Ici le produit demandé vaut 16.

]]> 34

]]> Le développement donne une différence de carrés, comme avec
des nombres : 5² - 3² = 16.

]]> 30

]]> Le terme 2 u⃗ · v⃗ apparaît dans
\|u⃗+v⃗\|², pas ici : les produits croisés
s'éliminent et il reste 16.

]]> 16

]]> Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il
reste \|u⃗\|² - \|v⃗\|² = 16.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q34 : Norme d'une somme orthogonale Les vecteurs u⃗ et v⃗ sont orthogonaux, avec
\|u⃗\| = 3 et \|v⃗\| = 4. Que vaut
\|u⃗ + v⃗\| ?

]]> L'orthogonalité annule le double produit scalaire :
\|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + \|v⃗\|². C'est le
théorème de Pythagore, ici 3² + 4² = 25 et
\|u⃗+v⃗\| = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> 25 est le carré de la norme. La racine carrée reste à
prendre : 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : \|u⃗+v⃗\|² = 3² + 4² = 25, donc la norme vaut 5.

]]> 1

]]> La différence des normes correspondrait à des vecteurs
colinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux.

]]> 7

]]> Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs
colinéaires de même sens. Ici Pythagore donne 5.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q35 : Produit scalaire dans un cube ABCDEFGH est un cube d'arête 4 : ABCD et EFGH sont deux
faces opposées, et [AE], [BF], [CG], [DH] sont des arêtes.
Que vaut AB⃗ · AG⃗ ?

]]> Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :
les produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il
ne reste que le carré scalaire AB⃗ · AB⃗ = 16.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 48

]]> 48 est AG² = 3 × 4², le carré de la grande
diagonale, pas le produit scalaire demandé.

]]> 0

]]> Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale
AG⃗ possède une composante le long de
AB⃗.

]]> 16√3

]]> Tu as multiplié les normes AB = 4 et AG = 4√3 sans
tenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par
cosθ.

]]> 16

]]> Bonne réponse : AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗, et les deux derniers
sont orthogonaux à AB⃗ : il reste 4² = 16.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q36 : Régler un angle droit Soient A, B et C trois points tels que
AB⃗(2 ; -1 ; 2) et
AC⃗(5 ; 4 ; m). Pour quelle valeur de m
le triangle ABC est-il rectangle en A ?

]]> Rectangle en A signifie AB⃗ · AC⃗ = 0, les deux vecteurs partant du sommet
suspecté. On obtient une équation du premier degré en m, résolue
ici par m = -3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 3

]]> Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation
s'écrit 2m = -6, d'où m = -3.

]]> m = -3

]]> Bonne réponse : AB⃗ · AC⃗ = 2 × 5 + (-1) × 4 + 2m = 0, donc
m = -3.

]]> m = -6

]]> La troisième coordonnée de AB⃗ multiplie m :
il reste à diviser par 2, d'où m = -3.

]]> m = -8

]]> Le coefficient 2 ne s'ajoute pas aux autres produits : il
multiplie l'inconnue m. L'équation donne m = -3.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q37 : Distance d'un point à un plan Dans un repère orthonormé, soit M(4 ; 2 ; 1) et le
plan \mathcal{P} d'équation 2x - y + 2z + 1 = 0. Quelle est
la distance de M à \mathcal{P} ?

]]> En paramétrant la droite passant par M et dirigée par n⃗,
puis en cherchant le projeté orthogonal H, on obtient
d(M\,;\,\mathcal{P}) = \dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M + 1|}
{\|\vec{n}\|} = \dfrac{9}{3} = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> 9 n'est que le numérateur : il reste à diviser par
\|n⃗\| = 3.

]]> 1

]]> Tu as divisé par \|n⃗\|² = 9 au lieu de \|n⃗\| = 3. La distance est une longueur, pas un carré.

]]> 3

]]> Bonne réponse : n⃗(2 ; -1 ; 2) a pour norme 3, et la
substitution donne 9, d'où une distance de
9/3 = 3.

]]> 8/3

]]> Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il
faut écrire 2x_M - y_M + 2z_M + 1 avant la valeur absolue.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q38 : Deux plans perpendiculaires Les plans \mathcal{P} : 2x - y + 3z - 1 = 0 et \mathcal{Q} :
x + 5y + z + 4 = 0 sont-ils perpendiculaires ?

]]> Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs
normaux sont orthogonaux. Ici \vec{n_1}(2\,;\,-1\,;\,3) et
\vec{n_2}(1\,;\,5\,;\,1) donnent 2 - 5 + 3 = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0

]]> Bonne réponse : 2 × 1 + (-1) × 5 + 3 × 1 = 0 :
les vecteurs normaux sont orthogonaux.

]]> Non : ils ont sûrement des points communs

]]> Deux plans perpendiculaires se coupent toujours selon une
droite : l'existence de points communs ne s'oppose pas à la
perpendicularité.

]]> Non : leurs normaux ne sont pas colinéaires

]]> Confusion : des normaux colinéaires donneraient des plans
parallèles. La perpendicularité demande un produit scalaire
nul, ce qui est bien le cas ici.

]]> Oui : leurs coefficients sont tous distincts

]]> La conclusion est juste mais l'argument ne vaut rien : la
perpendicularité se lit sur le produit scalaire des normaux, nul
ici.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q39 : Équation d'un plan médiateur Soient A(1 ; 2 ; 6) et B(5 ; 8 ; -2).
Quelle est une équation cartésienne du plan médiateur de [AB] ?

]]> Le plan médiateur de [AB] passe par le milieu I et admet
AB⃗ pour vecteur normal. On écrit
2x + 3y - 4z + d = 0, puis on détermine d grâce à
I(3 ; 5 ; 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x + 3y - 4z - 42 = 0

]]> Ce plan est orthogonal à (AB) mais passe par B : il faut
imposer le passage par le milieu I.

]]> 2x + 3y - 4z + 16 = 0

]]> Ce plan est bien orthogonal à (AB), mais il passe par A et
non par le milieu I(3 ; 5 ; 2).

]]> 2x + 3y - 4z - 13 = 0

]]> Bonne réponse : le plan passe par le milieu
I(3 ; 5 ; 2) et admet AB⃗ pour
normal, simplifié en (2 ; 3 ; -4).

]]> 3x + 5y + 2z - 38 = 0

]]> Les coordonnées de I ont servi de vecteur normal. C'est
AB⃗ qui donne la direction normale, et I qui
fixe la position.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q40 : Droite parallèle à un plan Dans un repère orthonormé, la droite d est dirigée par
u⃗(3 ; 1 ; -1) et le plan \mathcal{P} a pour équation
x - y + 2z + 5 = 0. Que peut-on affirmer ?

]]> u⃗ · n⃗ = 0 caractérise une droite parallèle au plan,
éventuellement incluse dedans. Un point commun permet ensuite de
distinguer les deux situations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d est parallèle à \mathcal{P} ou incluse

]]> Bonne réponse : u⃗ · n⃗ = 3 - 1 - 2 = 0, donc la
direction de d est une direction du plan. Sans point de d, on
ne peut pas trancher entre les deux cas.

]]> d est à coup sûr incluse dans \mathcal{P}

]]> L'inclusion demande en plus qu'un point de d appartienne au
plan, information absente de l'énoncé.

]]> d perce \mathcal{P} en un unique point

]]> Une droite sécante à un plan vérifie u⃗ · n⃗ ≠ 0. Ici le produit scalaire est nul.

]]> d est perpendiculaire au plan \mathcal{P}

]]> Il faudrait u⃗ colinéaire à n⃗(1 ; -1 ; 2), ce
qui n'est pas le cas : le produit scalaire nul dit exactement le
contraire.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q41 : Peut-on simplifier par un vecteur On sait que u⃗ · v⃗ = u⃗ · w⃗, avec
u⃗ non nul. Peut-on en conclure que v⃗ = w⃗ ?

]]> De u⃗ · v⃗ = u⃗ · w⃗ on tire seulement
u⃗ · (v⃗ - w⃗) = 0 : l'écart v⃗ - w⃗
est orthogonal à u⃗. Tous les vecteurs w⃗ d'un même plan
conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : on simplifie comme dans un produit de deux nombres

]]> Le produit scalaire ne se simplifie pas : il peut s'annuler sans
qu'aucun facteur ne soit nul, ce qui interdit toute
simplification.

]]> Oui, à condition que u⃗ soit un vecteur unitaire

]]> La norme de u⃗ ne change rien : même unitaire, il reste
orthogonal à une infinité de vecteurs non nuls.

]]> Non : deux produits scalaires ne sont jamais égaux

]]> La conclusion est juste mais l'argument est faux : deux produits
scalaires peuvent parfaitement être égaux, c'est même l'hypothèse
de l'énoncé.

]]> Non : on sait juste que \vec{u} \perp \vec{v}-\vec{w}

]]> Bonne réponse : l'égalité donne u⃗ · (v⃗ - w⃗) = 0, donc v⃗ - w⃗ est orthogonal à
u⃗, sans être nul pour autant.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q42 : Signe du produit scalaire Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ forment un angle obtus.
Que peut-on dire de u⃗ · v⃗ ?

]]> Le signe du produit scalaire est celui du cosinus : positif pour un
angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ · v⃗ > 0

]]> Un produit scalaire strictement positif signale un angle aigu
: le cosinus est alors positif.

]]> u⃗ · v⃗ = -\|u⃗\| \|v⃗\|

]]> Cette égalité correspond au seul cas θ = π, des vecteurs
colinéaires de sens contraires, pas à tout angle obtus.

]]> u⃗ · v⃗ < 0

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ, et le cosinus d'un angle
obtus est strictement négatif.

]]> u⃗ · v⃗ = 0

]]> La nullité caractérise l'angle droit, cas limite entre aigu et
obtus.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q43 : Pourquoi un repère orthonormé Pourquoi précise-t-on « dans un repère orthonormé » avant d'écrire
u⃗ · v⃗ = xx' + yy' + zz' ?

]]> Dans une base orthonormée, les vecteurs de base sont deux à deux
orthogonaux et de norme 1 : c'est ce qui fait disparaître les termes
croisés et laisse xx' + yy' + zz'.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les coordonnées doivent être des entiers relatifs

]]> La nature des coordonnées n'intervient jamais : la formule vaut
pour des décimaux comme pour des racines carrées.

]]> Parce que les axes doivent être orthogonaux et unitaires

]]> Bonne réponse : la formule repose sur
i⃗·j⃗ = j⃗·k⃗ = i⃗·k⃗ = 0 et sur des vecteurs de base de norme
1.

]]> Parce que le produit scalaire n'existe que dans un repère

]]> Le produit scalaire se définit sans repère, par les normes et
l'angle. Le repère sert seulement à le calculer sur des
coordonnées.

]]> Parce que l'origine doit être choisie sur l'un des axes

]]> L'origine appartient toujours aux trois axes, et sa position ne
change rien aux coordonnées d'un vecteur.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q44 : Couper l'axe des abscisses En quel point le plan \mathcal{P} d'équation
4x - 3y + 2z - 20 = 0 coupe-t-il l'axe des
abscisses ?

]]> L'axe des abscisses est décrit par y = 0 et z = 0. En reportant
dans l'équation du plan, il reste 4x - 20 = 0, donc
x = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le plan ne coupe pas cet axe

]]> Il faudrait que le coefficient de x soit nul, c'est-à-dire un
plan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut 4.

]]> (0 ; 0 ; 10)

]]> C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses
est l'ensemble des points (x ; 0 ; 0).

]]> (20 ; 0 ; 0)

]]> Il reste à diviser par le coefficient 4 de x :
x = 5, pas 20.

]]> (5 ; 0 ; 0)

]]> Bonne réponse : sur cet axe, y = z = 0, donc l'équation devient
4x - 20 = 0 et x = 5.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q45 : Position d'une droite et d'un plan Dans un repère orthonormé, la droite d est dirigée par
u⃗(2 ; -4 ; 6) et le plan \mathcal{P} a pour équation
x - 2y + 3z - 7 = 0. Quelle est leur position relative ?

]]> Vecteur directeur colinéaire au vecteur normal : droite orthogonale
au plan. Vecteur directeur orthogonal au normal : droite parallèle au
plan. Ni l'un ni l'autre : droite sécante oblique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d est parallèle à \mathcal{P}

]]> Le parallélisme demanderait u⃗ · n⃗ = 0, or ce
produit vaut 2 + 8 + 18 = 28.

]]> d est orthogonale à \mathcal{P}

]]> Bonne réponse : u⃗ = 2n⃗ avec
n⃗(1 ; -2 ; 3). Un directeur colinéaire au normal
caractérise une droite orthogonale au plan.

]]> d est incluse dans \mathcal{P}

]]> Une droite incluse est d'abord parallèle au plan, donc de
directeur orthogonal au normal. Ici il lui est colinéaire.

]]> d coupe \mathcal{P} sans lui être orthogonale

]]> La droite coupe bien le plan, mais la colinéarité
u⃗ = 2n⃗ rend cette rencontre orthogonale.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q46 : Volume d'un tétraèdre du repère Dans un repère orthonormé, on considère les points O(0 ; 0 ; 0),
A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 4). On
rappelle que le volume d'un tétraèdre vaut
⅓ × aire de la base × hauteur.
Quel est le volume du tétraèdre OABC ?

]]> Les arêtes [OA], [OB] et [OC] sont deux à deux orthogonales,
donc (OC) est orthogonale au plan (OAB) et OC est la hauteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24

]]> Erreur : 3 × 2 × 4 est le volume du pavé construit
sur les trois arêtes, six fois plus grand.

]]> 4

]]> Bonne réponse : la base OAB est un triangle rectangle d'aire
3 × 2/2 = 3, et la hauteur issue de C est
OC = 4 : ⅓ × 3 × 4 = 4.

]]> 8

]]> Erreur : l'aire du triangle OAB est la moitié de
3 × 2, soit 3 et non 6.

]]> 12

]]> Erreur : le facteur ⅓ de la formule du volume a été
oublié.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q47 : Distance d'un point à une droite de l'espace La droite d passe par O(0 ; 0 ; 0) et a pour vecteur
directeur u⃗(1 ; 0 ; 0). On considère le point
M(2 ; 3 ; 4). Quelle est la distance du point M à la droite
d ?

]]> La distance d'un point à une droite est la distance au projeté
orthogonal H, caractérisé par H ∈ d et
MH⃗ · u⃗ = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Erreur : les distances ne s'additionnent pas coordonnée par
coordonnée : MH = √3² + 4².

]]> √29

]]> Erreur : √29 est la distance OM. Le point O n'est pas
le point de d le plus proche de M.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est l'abscisse du projeté H, pas la distance de
M à la droite.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le projeté orthogonal de M sur d est
H(2 ; 0 ; 0), et
MH = √0² + 3² + 4² = 5.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q48 : Lire un vecteur normal dans une équation de plan Le plan P a pour équation cartésienne 2x - y + 3z - 5 = 0. Quel vecteur est
normal à P ?

]]> Équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 : les coefficients de
x, y, z forment un vecteur normal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n⃗(2 ; -1 ; -5)

]]> Erreur : la constante d n'est pas une coordonnée du vecteur
normal.

]]> n⃗(2 ; -1 ; 3)

]]> Bonne réponse : dans ax + by + cz + d = 0, le vecteur
(a ; b ; c) est normal au plan.

]]> n⃗(2 ; 1 ; 3)

]]> Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.

]]> n⃗(-1 ; 2 ; 3)

]]> Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans
l'ordre x, y, z.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q49 : Un point appartient-il au plan Le plan P a pour équation 2x - y + 3z - 5 = 0. Le point
M(1 ; 0 ; 1) appartient-il à P ?

]]> Tester l'appartenance à un plan : substituer les coordonnées dans
l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 2 - 0 + 3 - 5 = 0

]]> Bonne réponse : on remplace les coordonnées dans l'équation ;
le point appartient au plan si et seulement si l'égalité est
vérifiée.

]]> On ne peut pas savoir sans un vecteur directeur

]]> Erreur : l'équation cartésienne suffit à tester un point.

]]> Oui, car le vecteur normal n'est pas nul

]]> Erreur : le vecteur normal ne dit rien de l'appartenance d'un
point.

]]> Non, car les coordonnées ne sont pas toutes nulles

]]> Erreur : seule une égalité exacte à 0 compte.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q50 : Équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal Quelle est une équation cartésienne du plan passant par A(1 ; 2 ; 0) et
de vecteur normal n⃗(1 ; -1 ; 2) ?

]]> M \in P \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0, ce qui donne
a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x - y + 2z - 1 = 0

]]> Erreur : le signe de d est faux ; vérifiez que les coordonnées
de A annulent le membre de gauche.

]]> x - y + 2z = 0

]]> Erreur : avec d = 0, le plan passe par l'origine, pas par A.

]]> x + 2y + 1 = 0

]]> Erreur : les coefficients de x, y, z sont ceux du vecteur
normal, pas ceux du point.

]]> x - y + 2z + 1 = 0

]]> Bonne réponse : l'équation est de la forme ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) les coordonnées de n⃗ ; d se
calcule en écrivant que A appartient au plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q51 : Critère de perpendicularité de deux plans Deux plans ont pour vecteurs normaux \vec{n_1}(1 ; 2 ; -1) et
\vec{n_2}(2 ; -1 ; 0). Sont-ils perpendiculaires ?

]]> Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux, produit
scalaire nul. Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir sans un point de chaque plan

]]> Erreur : l'orientation des plans ne dépend que des vecteurs
normaux.

]]> Oui, car \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 - 2 + 0 = 0

]]> Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et seulement
si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ce que teste le
produit scalaire.

]]> Non, les vecteurs normaux n'étant pas colinéaires

]]> Erreur : des vecteurs normaux non colinéaires donnent des plans
sécants, pas forcément perpendiculaires ; il faut le
produit scalaire nul.

]]> Oui, deux plans distincts étant toujours perpendiculaires ou parallèles

]]> Erreur : deux plans sécants font un angle quelconque.

]]>