$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Primitives et équations différentielles Notion de primitive (équation y' = f), primitives des fonctions
de référence et des formes (v' ∘ u) × u', primitives
d'une même fonction à constante près, équations différentielles
y' = ay et y' = ay + b : forme des solutions, solution
vérifiant une condition initiale, comportement en l'infini.

]]> Primitives et équations différentielles — Q01 : Définition d'une primitive Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Que
signifie « F est une primitive de f sur I » ?

]]> Définition : F est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I avec F' = f. La primitivation est
l'opération inverse de la dérivation (résoudre y' = f).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(0) = 0 et F est continue

]]> Erreur : aucune condition en 0 n'intervient dans la
définition. Ce qui compte : F' = f sur I.

]]> F est dérivable sur I et F' = f

]]> Bonne réponse : chercher une primitive, c'est remonter la
dérivation : F' = f sur tout l'intervalle.

]]> F(x) = f(x) + C pour une constante C

]]> Erreur : la constante relie deux primitives entre
elles, pas une primitive à la fonction. F et f sont
liées par la dérivation.

]]> f est dérivable sur I et f' = F

]]> Sens inversé : c'est F qu'on dérive pour retrouver f,
pas le contraire. F primitive de f ⇔
F' = f.

]]> Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive de $x^2$ Quelle fonction est une primitive de x ↦ x² sur
ℝ ?

]]> Primitives des puissances : pour n ≠ -1, une primitive de
xⁿ est \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Toujours vérifier en
redérivant : (x³/3)' = x².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ x³

]]> Presque : (x³)' = 3x², trois fois trop grand. Il faut
diviser par le nouvel exposant : x³/3.

]]> x ↦ x³/3

]]> Bonne réponse : en dérivant x³/3, on obtient
3x²/3 = x². Règle : primitive de xⁿ =
\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

]]> x ↦ x³/2

]]> Erreur : (x³/2)' = 3x²/2. On divise par le nouvel exposant
3, pas par 2.

]]> x ↦ x²/2

]]> Erreur : x²/2 est une primitive de x, pas
de x². Une primitive s'obtient en montant l'exposant
: x² donne x³/3.

]]> Primitives et équations différentielles — Q03 : Deux primitives d'une même fonction Soient F et G deux primitives d'une même fonction continue
f sur un intervalle I. Que peut-on affirmer ?

]]> Théorème (démonstration au programme) : sur un intervalle, deux
primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. C'est
pourquoi la condition F(x₀) = y₀ suffit à isoler une
primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc G - F est constante sur I

]]> Bonne réponse : (G - F)' = f - f = 0 sur l'intervalle
I, donc il existe une constante C telle que G(x) = F(x) + C pour tout x de I. Deux primitives
diffèrent d'une constante.

]]> G = kF pour une constante k

]]> Erreur : la liberté est additive, pas multiplicative.
Vérifie : (kF)' = kf ≠ f dès que k ≠ 1.

]]> F et G sont égales sur I

]]> Trop fort : x² et x² + 7 sont deux primitives
distinctes de 2x. L'égalité n'a lieu qu'à constante près.

]]> G - F est affine, éventuellement non constante

]]> Erreur : si G - F contenait un terme ax avec a ≠ 0, sa dérivée vaudrait a ≠ 0, contredisant G' = F' = f. La différence est une constante.

]]> Primitives et équations différentielles — Q04 : Primitive de $e^{@k@x}$ Quelle fonction est une primitive de x ↦ e³ˣ sur
ℝ ?

]]> Pour a ≠ 0, une primitive de eᵃˣ est
\dfrac{e^{ax}}{a} : l'exposant est conservé et on divise par
son coefficient. Vérification immédiate en dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ e³ˣ

]]> Erreur : (e³ˣ)' = 3e³ˣ ≠ e³ˣ. Seule eˣ est
sa propre primitive ; ici il faut le facteur ⅓.

]]> x ↦ 3e³ˣ

]]> Sens inversé : 3e³ˣ est la dérivée de e³ˣ.
Pour une primitive, on divise par 3 au lieu de
multiplier.

]]> x \mapsto \dfrac{e^{3x}}{3}

]]> Bonne réponse : \left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)' =
\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}. Le facteur ⅓
compense le 3 que la dérivation ferait sortir.

]]> x \mapsto \dfrac{e^{4x}}{4}

]]> Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances
de x ; la primitivation d'une exponentielle conserve
l'exposant 3x.

]]> Primitives et équations différentielles — Q05 : Primitive d'une forme $u' u^n$ Quelle fonction est une primitive de
f(x) = x (x² + 1)³ sur ℝ ?

]]> Reconnaître la forme u'uⁿ : ici u = x²+1, u' = 2x, donc
x(x²+1)³ = ½u'u³, de primitive
½·u⁴/4 = (x²+1)⁴/8.
Vérifier en dérivant est le meilleur garde-fou.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = (x² + 1)⁴

]]> Erreur : ((x²+1)⁴)' = 8x(x²+1)³, huit fois
trop grand. La forme u'uⁿ se primitive en
\dfrac{u^{n+1}}{n+1}, avec ajustement du coefficient.

]]> F(x) = x²/2 (x²+1)³

]]> Erreur : on ne primitive pas facteur par facteur (pas plus
qu'on ne dérive un produit terme à terme). Il faut
reconnaître la structure composée u'u³.

]]> F(x) = (x² + 1)⁴/8

]]> Bonne réponse : avec u = x² + 1, u' = 2x : on écrit
f = ½ u'u³, dont une primitive est
½ · u⁴/4 = u⁴/8.

]]> F(x) = (x² + 1)⁴/4

]]> Oubli du facteur ½ : u' = 2x alors que
l'énoncé n'a que x en facteur. Il faut compenser :
x = ½u', d'où le dénominateur 8.

]]> Primitives et équations différentielles — Q06 : Vérifier une primitive par dérivation Soit F(x) = (x - 1) eˣ. Que vaut F'(x) ?

]]> F'(x) = (x-1)'eˣ + (x-1)(eˣ)' = eˣ + (x-1)eˣ = x eˣ.
C'est le réflexe central du chapitre : toute primitive proposée
se contrôle en la dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ

]]> Erreur : tu as dérivé chaque facteur puis multiplié
(1 × eˣ). La règle du produit est
u'v + uv', pas u'v'.

]]> (x + 1) eˣ

]]> Erreur de calcul : 1 · eˣ + (x-1)eˣ = (1 + x - 1)eˣ = x eˣ. Les constantes s'annulent.

]]> x eˣ

]]> Bonne réponse : dérivée d'un produit,
F'(x) = 1 · eˣ + (x-1)eˣ = x eˣ. Donc F est une
primitive de x ↦ x eˣ.

]]> (x - 1) eˣ

]]> Erreur : tu as dérivé seulement eˣ en oubliant la règle
du produit. Le terme 1 · eˣ venu de (x-1)'
transforme x - 1 en x.

]]> Primitives et équations différentielles — Q07 : Solutions de $y' = @k@y$ Quelles sont les solutions sur ℝ de l'équation
différentielle y' = 3y ?

]]> Théorème (démonstration au programme) : les solutions de
y' = ay sont les fonctions x ↦ C eᵃˣ, C réel
quelconque. La constante se fixe ensuite par une condition
initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La seule fonction x ↦ e³ˣ

]]> Incomplet : tout multiple Ce³ˣ convient aussi (y
compris C = 0, la fonction nulle). Une équation
différentielle a une famille de solutions.

]]> Les fonctions x ↦ C e⁻³ˣ, C réel

]]> Erreur de signe : (Ce⁻³ˣ)' = -3Ce⁻³ˣ = -3y. Ces
fonctions résolvent y' = -3y.

]]> Les fonctions x ↦ C e³ˣ, C réel

]]> Bonne réponse : les solutions de y' = ay sont exactement
les x ↦ C eᵃˣ. Vérification :
(Ce³ˣ)' = 3Ce³ˣ = 3y.

]]> Les fonctions x ↦ 3x + C, C réel

]]> Erreur : y = 3x + C donne y' = 3, constant, alors que
3y = 9x + 3C varie. Tu as résolu y' = 3 (une
primitive), pas y' = 3y.

]]> Primitives et équations différentielles — Q08 : Solutions de $y' = 2y + 6$ Quelles sont les solutions sur ℝ de l'équation
différentielle y' = 2y + 6 ?

]]> Méthode pour y' = ay + b : (1) solution particulière
constante yₚ = -b/a ; (2) solutions de l'équation :
y = C eᵃˣ + yₚ. Ici : y = Ce²ˣ - 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = C e²ˣ + 3

]]> Erreur de signe sur la constante particulière : elle
résout 2y + 6 = 0, donc y = -3, pas +3. Contrôle :
si y = Ce²ˣ+3, alors y' = 2Ce²ˣ mais
2y + 6 = 2Ce²ˣ + 12 : ça ne colle pas.

]]> y = C e²ˣ + 6

]]> Erreur : tu as pris le terme b = 6 comme solution
particulière. La constante correcte est
-b/a = -6/2 = -3.

]]> y = C e²ˣ - 3

]]> Bonne réponse, avec C constante réelle : la solution
particulière constante vérifie 0 = 2y + 6, soit y = -3 ; on lui ajoute les solutions Ce²ˣ de
l'équation homogène y' = 2y.

]]> y = C e⁻²ˣ - 3

]]> Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation homogène
associée est y' = 2y, de solutions Ce²ˣ (exposant
+2x).

]]> Primitives et équations différentielles — Q09 : Imposer une condition initiale Quelle est l'unique solution de y' = 2y + 6 vérifiant
y(0) = 1 ?

]]> Deux temps : forme générale y = Ce²ˣ - 3, puis condition
initiale : y(0) = C - 3 = 1 ⇒ C = 4. Une condition
initiale isole une solution dans la famille.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = e²ˣ - 3

]]> Erreur : cette fonction vaut 1 - 3 = -2 en 0, pas 1.
La constante C se calcule avec la condition initiale :
C - 3 = 1 donne C = 4.

]]> y = 4 e⁻²ˣ - 3

]]> Erreur d'exposant : l'équation homogène associée est
y' = 2y, de solutions Ce²ˣ. Cette fonction vaut bien
1 en 0, mais elle ne vérifie pas l'équation.

]]> y = 4 e²ˣ + 3

]]> Erreur : le -3 vient de la solution particulière de
l'équation, il ne change pas de signe. Avec +3, on
n'aurait pas y' = 2y + 6.

]]> y = 4 e²ˣ - 3

]]> Bonne réponse : dans y = Ce²ˣ - 3, la condition
y(0) = 1 donne C - 3 = 1, donc C = 4.

]]> Primitives et équations différentielles — Q10 : Primitive de sinus Quelle fonction est une primitive de x ↦ sin(x) sur
ℝ ?

]]> Primitives trigonométriques : sin se primitive en -cos,
et cos en sin. Contrôle systématique en dérivant :
(-cos x)' = sin x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ -sin(x)

]]> Erreur : (-sin x)' = -cos x ≠ sin x. Primitiver
échange sinus et cosinus (avec un signe à surveiller).

]]> x ↦ sin²(x)/2

]]> Erreur : (sin² x/2)' = sin x cos x, à cause de la composition. La règle des
puissances ne s'applique pas telle quelle aux fonctions.

]]> x ↦ -cos(x)

]]> Bonne réponse : (-cos x)' = -(-sin x) = sin x. Les
deux signes moins se compensent.

]]> x ↦ cos(x)

]]> Erreur de signe : (cos x)' = -sin x. Pour retomber sur
+sin x, il faut partir de -cos x.

]]> Primitives et équations différentielles — Q11 : Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$ Soit a < 0. Comment se comportent les solutions non nulles de
y' = ay quand x tend vers +∞ ?

]]> y = Ceᵃˣ : le signe de a commande tout. a > 0 :
explosion exponentielle ; a < 0 : extinction vers 0 ;
a = 0 : solutions constantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles tendent vers 0

]]> Bonne réponse : y = Ceᵃˣ avec a < 0 : l'exponentielle
s'éteint en +∞. C'est le modèle des décroissances
exponentielles (décharge, désintégration,
refroidissement).

]]> Elles deviennent constantes égales à a

]]> Erreur : a est le coefficient de l'équation, pas une
valeur limite des solutions. La limite commune est 0.

]]> Elles oscillent

]]> Erreur : les solutions Ceᵃˣ sont monotones (aucun
sinus en vue). Les oscillations relèvent d'autres équations,
comme y'' + ω² y = 0.

]]> Elles tendent vers +∞

]]> Erreur : c'est le comportement pour a > 0 (croissance
exponentielle). Ici l'exposant ax tend vers -∞ et
eᵃˣ → 0.

]]> Primitives et équations différentielles — Q12 : Primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ Quelle fonction est une primitive de
x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} sur ]0 ; +∞[ ?

]]> Primitive de référence (au programme) : sur ]0 ; +∞[,
\dfrac{1}{\sqrt{x}} se primitive en 2√x. À ranger
avec : 1/x → ln x et x^n \to
\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ √x

]]> Facteur manquant : (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},
moitié trop petit. D'où le facteur 2 dans la primitive.

]]> x ↦ 2√x

]]> Bonne réponse : (2\sqrt{x})' = 2 \times
\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}.

]]> x ↦ ln(√x)

]]> Erreur : \left(\ln(\sqrt x)\right)' =
\dfrac{1}{2x}, ce n'est pas \dfrac{1}{\sqrt{x}}. Le
logarithme est la primitive de 1/x, pas de
\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

]]> x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

]]> Erreur de sens : \dfrac{1}{2\sqrt{x}} est la dérivée
de √x. On cherche l'opération inverse.

]]> Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$ Quelle est une primitive de f(x) = 1/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> Sur ]0\ ;\ +∞[, les primitives de 1/x sont
ln x + C. L'exception de la règle des puissances
(n = -1) : à mémoriser comme telle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = -1/x²

]]> Sens inverse : -1/x² est la dérivée de
1/x ; on cherche l'antécédent de dérivation,
pas l'image.

]]> F(x) = ln x

]]> Bonne réponse : (ln x)' = 1/x : le logarithme
comble exactement le trou de la formule des puissances.

]]> F(x) = ln(1/x)

]]> Signe : ln1/x = -ln x, dont la dérivée est
-1/x : l'opposé de ce qu'on veut.

]]> F(x) = x⁰/0

]]> Division par zéro : la formule \frac{x^{n+1}}{n+1}
échoue précisément pour n = -1 : c'est ln qui prend
le relais.

]]> Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\cos(2x)$ Quelle est une primitive de f(x) = cos(2x) ?

]]> Primitives de cos(ax + b) : 1/asin(ax + b) ;
de sin(ax+b) : -1/acos(ax + b). Toujours
vérifier en dérivant : la compensation en 1/a ne
pardonne pas l'improvisation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ½sin(2x)

]]> Bonne réponse : (sin(2x))' = 2cos(2x) : il faut
compenser le facteur 2 par ½. Contrôle en
dérivant : ½ × 2cos(2x) = cos(2x).

]]> F(x) = 2sin(2x)

]]> Compensation à l'envers : dériver 2sin(2x) donne
4cos(2x) : on divise par le coefficient interne, on
ne multiplie pas.

]]> F(x) = -½sin(2x)

]]> Signe : le moins appartient au couple inverse (primitive
de sin = -cos). Pour cos, la primitive est en
+sin.

]]> F(x) = sin(2x)

]]> Compensation oubliée : (sin(2x))' = 2cos(2x), le
double de la cible : diviser par 2.

]]> Primitives et équations différentielles — Q15 : Existence de primitives Quelles fonctions admettent des primitives sur un
intervalle ?

]]> Théorème : toute fonction continue sur un intervalle y admet
des primitives (une infinité, à constante près). En
pratique, toutes les fonctions du programme sont continues
sur leurs intervalles de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Seulement les polynômes

]]> Trop restrictif : eˣ, cos, 1/x… toutes
les fonctions continues usuelles ont des primitives.

]]> Seulement les fonctions positives

]]> Sans rapport : f(x) = -eˣ, toujours négative, a pour
primitive -eˣ. Le signe ne joue aucun rôle.

]]> Toute fonction continue sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : théorème du cours : continuité suffit
(la primitive s'obtient d'ailleurs comme aire variable,
au chapitre intégration).

]]> Seulement les fonctions dérivables

]]> Confusion : la dérivabilité concerne la fonction
elle-même ; pour primitiver, la continuité suffit
(|x|, non dérivable en 0, a des primitives).

]]> Primitives et équations différentielles — Q16 : Primitive de la forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x/x² + 1
sur ℝ ?

]]> Formes composées à repérer : u'/u → ln u
(u > 0), u'eᵘ → eᵘ, u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Le réflexe : chercher si le numérateur est la dérivée du
dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 2xln(x² + 1)

]]> Erreur : dériver ce produit ferait apparaître un terme
en ln parasite : la primitive de u'/u est
ln u, sans facteur.

]]> F(x) = ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : forme u'/u avec u = x² + 1 > 0 et u' = 2x : primitive ln(u).

]]> F(x) = 1/(x²+1)²

]]> Erreur : c'est une piste pour u'/u³… en
dérivant : -4x/(x²+1)³, rien à voir.
Reconnaître u'/u → ln u.

]]> F(x) = \dfrac{x^2}{\frac{x^3}{3} + x}

]]> Erreur : primitiver haut et bas séparément n'a aucun
sens pour un quotient : il faut reconnaître la
forme u'/u.

]]> Primitives et équations différentielles — Q17 : Primitive de la forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x\,e^{x^2} ?

]]> u'eᵘ → eᵘ : la plus rentable des formes composées.
Sans le facteur u' exact, ajuster par une constante
(x e^{x^2} \to \frac{1}{2}e^{x^2}) ; s'il manque plus
qu'une constante, la forme n'est pas applicable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{x^2}

]]> Erreur : aucune règle ne divise par u. La forme
u'eᵘ se primitive directement en eᵘ.

]]> F(x) = x^2\,e^{x^2}

]]> Erreur : dériver ce produit donne 2x\,e^{x^2}(1 + x^2),
trop. La primitive de u'eᵘ est eᵘ tout court.

]]> F(x) = 2\,e^{x^2}

]]> Facteur en trop : le 2x est déjà absorbé par u' = 2x : la primitive est e^{x^2}, sans coefficient.

]]> F(x) = e^{x^2}

]]> Bonne réponse : u = x², u' = 2x : la fonction est
exactement u'eᵘ, de primitive eᵘ. Contrôle :
(e^{x^2})' = 2x\,e^{x^2}.

]]> Primitives et équations différentielles — Q18 : Solution d'équilibre L'équation différentielle y' = -3y + 6 admet une solution
constante. Laquelle ?

]]> Pour y' = ay + b : la solution constante est y = -b/a (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes
les solutions s'écrivent Ceᵃˣ - b/a : équilibre
+ partie exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2 : la valeur qui annule le second membre

]]> Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : 0 =
-3y + 6 \iff y = 2. C'est l'état d'équilibre vers
lequel toutes les solutions convergent (coefficient
-3 < 0).

]]> y = 6 : le terme constant de l'équation

]]> Erreur : tester y = 6 : y' = 0 mais -18 + 6 = -12 ≠ 0. L'équilibre est -b/a = 6/3 = 2.

]]> y = -3 : le coefficient de y

]]> Erreur : le coefficient -3 règle la vitesse de
convergence, pas la valeur d'équilibre (y = 2).

]]> y = 0 : une constante est toujours solution

]]> Faux : y = 0 donne y' = 0 mais -0 + 6 = 6 ≠ 0 :
0 n'est solution que des équations homogènes
(y' = ay).

]]> Primitives et équations différentielles — Q19 : Primitive de $(2x + 1)^3$ Quelle est une primitive de f(x) = (2x + 1)³ ?

]]> Pour (ax + b)ⁿ : primitive \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
: la double division (exposant + coefficient interne) se
vérifie en une dérivation de contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = (2x + 1)⁴/4

]]> Ajustement oublié : dériver donne 2 × (2x+1)³ :
le u' = 2 interne exige un facteur ½
supplémentaire.

]]> F(x) = 3(2x + 1)²

]]> Sens inverse : 3(2x+1)² × 2 = 6(2x+1)² est (à
un facteur près) la dérivée de f, pas sa
primitive : l'exposant doit monter.

]]> F(x) = (2x+1)⁴/2

]]> Double compensation ratée : il faut diviser par 4
(exposant) ET par 2 (u') : dénominateur 8.

]]> F(x) = (2x + 1)⁴/8

]]> Bonne réponse : forme uⁿ avec u' = 2 manquant : on
écrit f = ½ u'u³, de primitive
½ × u⁴/4 = u⁴/8.

]]> Primitives et équations différentielles — Q20 : Primitive imposée en un point Quelle est LA primitive F de f(x) = 2x vérifiant
F(1) = 0 ?

]]> Deux temps : primitive générale (x² + C), puis condition
(F(1) = 0 ⇒ C = -1). Une condition fixe LA
primitive parmi l'infinité : même logique que la condition
initiale d'une équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 2

]]> Erreur : une constante a une dérivée nulle, pas
2x : ce n'est pas une primitive de f.

]]> F(x) = x² + 1

]]> Signe de la constante : 1 + C = 0 ⇒ C = -1,
pas +1. Contrôle : F(1) = 2 ≠ 0.

]]> F(x) = x²

]]> Condition ignorée : F(1) = 1 ≠ 0. La constante se
calcule avec la condition, elle ne reste pas nulle
par défaut.

]]> F(x) = x² - 1

]]> Bonne réponse : les primitives sont x² + C ; la
condition F(1) = 0 donne 1 + C = 0, donc C = -1.

]]> Primitives et équations différentielles — Q21 : Vérifier une solution d'équation différentielle La fonction f(x) = (x + 1)eˣ est-elle solution de
l'équation y' = y + eˣ ?

]]> « Vérifier que f est solution » = calculer f', injecter
f dans le second membre, constater l'égalité pour tout
x. Aucune résolution : c'est la question la plus rentable
des sujets de baccalauréat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les solutions de y' = y + eˣ sont les Ceˣ

]]> Erreur : les Ceˣ résolvent l'équation homogène
y' = y ; le second membre eˣ exige un terme
supplémentaire (le xeˣ).

]]> Oui : f'(x) = (x + 2)eˣ et f(x) + eˣ = (x + 2)eˣ

]]> Bonne réponse : dérivée d'un produit : f' = eˣ + (x + 1)eˣ = (x + 2)eˣ ; le second membre donne la même
chose : égalité pour tout x.

]]> On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation

]]> Erreur de méthode : vérifier une solution proposée ne
demande jamais de résoudre : on dérive, on remplace, on
compare.

]]> Non : f'(x) = eˣ, qui ne vaut pas f(x) + eˣ

]]> Dérivée fausse : (x + 1)eˣ est un produit : sa
dérivée est u'v + uv' = eˣ + (x+1)eˣ, pas seulement
eˣ.

]]> Primitives et équations différentielles — Q22 : Décroissance radioactive Une quantité N(t) vérifie N' = -0{,}1\,N avec N(0) = 100. Quelle est l'expression de N(t) ?

]]> y' = ay, y(0) = y₀ ⇒ y(t) = y₀eᵃᵗ. Le
signe de a raconte l'histoire : a < 0 = désintégration,
refroidissement ; a > 0 = croissance. Toujours confronter
la solution au sens physique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N(t) = 100 - 0{,}1t

]]> Modèle linéaire : ce serait N' = -0{,}1 (perte
constante). Ici la perte est proportionnelle au
stock : décroissance exponentielle.

]]> N(t) = 100\,e^{-0{,}1t}

]]> Bonne réponse : solutions de y' = ay : Ceᵃᵗ avec
a = -0{,}1 ; la condition N(0) = C = 100 fixe la
constante.

]]> N(t) = e^{-0{,}1t}

]]> Condition initiale perdue : N(0) vaudrait 1, pas
100 : le facteur C = 100 est indispensable.

]]> N(t) = 100\,e^{0{,}1t}

]]> Signe : avec +0{,}1, la quantité exploserait. La
désintégration impose l'exposant négatif du modèle N' =
-0{,}1N.

]]> Primitives et équations différentielles — Q23 : Unicité avec condition initiale Combien l'équation y' = 2y + 6 admet-elle de solutions
vérifiant y(0) = 1 ?

]]> Théorème (au programme) : y' = ay + b avec y(x₀) = y₀
admet une unique solution. Géométriquement : par chaque
point du plan passe une seule courbe solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : y(0) = 1 est incompatible avec l'équation

]]> Erreur : toute valeur initiale est atteignable : il
suffit d'ajuster C (C = 4 ici).

]]> Deux : une croissante et une décroissante

]]> Erreur : la constante C est déterminée de façon
unique par une équation du premier degré : pas de
deuxième candidat.

]]> Exactement une : y(x) = 4e²ˣ - 3

]]> Bonne réponse : solutions générales Ce²ˣ - 3 ; la
condition y(0) = C - 3 = 1 force C = 4 : une et une
seule fonction.

]]> Une infinité, comme toute équation différentielle

]]> Nuance capitale : l'infinité vaut pour l'équation
seule ; chaque condition initiale sélectionne
exactement une solution (c'est le théorème du cours).

]]> Primitives et équations différentielles — Q24 : Primitive d'un produit F et G sont des primitives de f et g. Le produit
FG est-il une primitive de fg ?

]]> Les primitives se comportent bien pour f + g et λ f, et c'est tout. Pour un produit : reconnaître une forme
composée (u'uⁿ, u'eᵘ, u'/u…) ou transformer
l'expression. Le réflexe « primitive de chaque facteur » est
toujours faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, à une constante près

]]> Erreur : x² et x ne diffèrent pas d'une constante.
L'écart est structurel, pas constant.

]]> Non, (FG)' = fG + Fg, pas fg

]]> Bonne réponse : la dérivation d'un produit suit u'v + uv'. Exemple : f = g = 1, FG = x² dont la dérivée
est 2x ≠ 1. Symétriquement, il n'existe aucune
formule générale de primitive d'un produit.

]]> Non, sauf si f et g sont des polynômes

]]> Erreur : le contre-exemple f = g = 1 est
polynomial : même chez les polynômes, la formule est
fausse.

]]> Oui, les opérations passent aux primitives

]]> Faux : seules la somme et la multiplication par une
constante passent. Contre-exemple : f = g = 1 :
FG = x², or une primitive de fg = 1 est x.

]]> Primitives et équations différentielles — Q25 : Primitive d'un polynôme Quelle est une primitive de f(x) = 3x² - 4x + 1 ?

]]> La primitive de xⁿ vaut \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. On vérifie toujours le
résultat en le dérivant, ce qui doit redonner la fonction de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x³ - 2x²

]]> Terme oublié : la primitive de la constante 1 vaut x.

]]> 6x - 4

]]> Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est
l'inverse.

]]> x³ - 2x² + x

]]> Bonne réponse : on augmente chaque exposant d'une unité et l'on divise
par le nouvel exposant.

]]> 3x³ - 4x² + x

]]> Division oubliée : la primitive de 3x² est x³, pas 3x³.

]]> Primitives et équations différentielles — Q26 : Solutions de $y' = -2y$ Quelles sont les solutions de l'équation différentielle y' = -2y ?

]]> L'équation y' = ay a pour solutions exactement les fonctions
x ↦ Ceᵃˣ. La constante C se détermine par une condition
initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions x ↦ -2eˣ + C

]]> Forme incorrecte : la dérivée de cette fonction ne redonne pas un
multiple de la fonction elle-même.

]]> Les fonctions x ↦ Ce²ˣ

]]> Signe de l'exposant : la dérivée de Ce²ˣ vaut 2Ce²ˣ, soit
+2y.

]]> Les fonctions x ↦ Ce⁻²ˣ

]]> Bonne réponse : l'équation y' = ay a pour solutions les fonctions
Ceᵃˣ, avec C réel quelconque.

]]> La seule fonction x ↦ e⁻²ˣ

]]> Constante oubliée : tout multiple d'une solution est encore solution.

]]> Primitives et équations différentielles — Q27 : Une primitive imposée Parmi les primitives de f(x) = 2x, laquelle vaut 5 en 1 ?

]]> Toutes les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Une
condition en un point fixe cette constante, donc une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² + 4

]]> Bonne réponse : F(x) = x² + C et 1 + C = 5 donne C = 4.

]]> 2x² + 3

]]> Coefficient faux : la dérivée vaudrait 4x et non 2x.

]]> x² + 5

]]> Condition mal exploitée : cette fonction vaut 6 en 1, pas 5.

]]> x²

]]> Constante nulle : cette primitive vaut 1 en 1.

]]> Primitives et équations différentielles — Q28 : Une équation avec second membre Quelle est la solution constante de l'équation y' = 3y - 12 ?

]]> La solution constante, ou solution d'équilibre, s'obtient en annulant la
dérivée. Les autres solutions s'en déduisent en ajoutant les solutions de
l'équation sans second membre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction constante égale à 4

]]> Bonne réponse : une solution constante a une dérivée nulle, donc
3y - 12 = 0.

]]> La fonction constante égale à 3

]]> Coefficient recopié : 3 × 3 - 12 vaut -3, donc la dérivée ne
serait pas nulle.

]]> La fonction constante égale à 12

]]> Second membre recopié : il reste à résoudre 3y = 12.

]]> La fonction constante égale à -4

]]> Signe faux : 3 × (-4) - 12 vaut -24, pas 0.

]]> Primitives et équations différentielles — Q29 : Reconnaître une forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x\,e^{x^2} ?

]]> Reconnaître une forme composée, u'eᵘ, u'uⁿ ou u'/u, évite
tout calcul. La vérification par dérivation est immédiate.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x^2 e^{x^2}

]]> Facteurs primitivés séparément : cette opération n'est pas valable pour
un produit.

]]> e^{x^2}

]]> Bonne réponse : l'expression est de la forme u'eᵘ, avec
u(x) = x².

]]> \dfrac{e^{x^2}}{2x}

]]> Division par le facteur : la dérivée de cette expression est bien plus
compliquée que f.

]]> 2x\,e^{x^2}

]]> Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive, sa dérivée
comporte un terme supplémentaire.

]]> Primitives et équations différentielles — Q30 : Un refroidissement La température d'un objet vérifie T' = -0{,}1T.
Comment évolue-t-elle ?

]]> Pour y' = ay avec a négatif, les solutions tendent vers 0 : c'est le
modèle des décroissances, refroidissement, désintégration radioactive,
élimination d'un médicament.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle reste constante

]]> Seule la solution nulle est constante ; toute température initiale non
nulle évolue.

]]> Elle décroît vers 0

]]> Bonne réponse : les solutions sont Ce^{-0{,}1t}, qui tendent vers
0 pour C positif.

]]> Elle décroît puis remonte

]]> Aucun changement de sens : la dérivée garde le signe opposé à celui de
T tout au long.

]]> Elle croît sans limite

]]> Le coefficient négatif impose une décroissance, la dérivée étant de
signe opposé à la température.

]]> Primitives et équations différentielles — Q31 : Primitive d'un monôme Quelle fonction est une primitive de f(x) = 12x² sur
ℝ ?

]]> Pour n ≠ -1, une primitive de xⁿ est \dfrac{x^{n+1}}{n+1} :
l'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un
coefficient devant xⁿ se conserve et se divise de la même façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 12x³

]]> Division oubliée : en dérivant 12x³, on obtiendrait
3 × 12x², soit 3 fois trop. Il faut diviser le
coefficient par 3.

]]> F(x) = 4x²

]]> L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de x² fait
monter l'exposant à 3, alors que le dériver le ferait baisser.

]]> F(x) = 4x³

]]> Bonne réponse : l'exposant monte à 3 et on divise par ce
nouvel exposant, ce qui donne 12/3 = 4 devant
x³. En dérivant 4x³, on retrouve bien 12x².

]]> F(x) = 12x³/2

]]> Mauvais diviseur : on divise par le nouvel exposant 3, et
non par l'ancien exposant 2.

]]> Primitives et équations différentielles — Q32 : Nombre de primitives d'une fonction continue Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Combien f
admet-elle de primitives sur I ?

]]> Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et
deux d'entre elles diffèrent d'une constante : l'ensemble des
primitives s'écrit \{F + C,\ C \in \mathbb{R}\}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux au plus, opposées l'une de l'autre

]]> Erreur : si F est une primitive, -F a pour dérivée -f et
n'en est donc pas une. La liberté porte sur une constante ajoutée.

]]> Aucune, sauf si f est elle-même dérivable sur I

]]> La continuité suffit : c'est elle qui garantit l'existence de
primitives, la dérivabilité de f n'est jamais exigée.

]]> Une infinité : elles diffèrent d'une constante

]]> Bonne réponse : une fonction continue sur un intervalle admet au
moins une primitive F, et les fonctions F + C conviennent
toutes. Il y en a donc autant que de réels C.

]]> Une seule, entièrement déterminée par la fonction f

]]> Trop restrictif : x² et x² + 7 sont deux primitives de 2x.
Une primitive n'est unique que si l'on impose en plus sa valeur en
un point.

]]> Primitives et équations différentielles — Q33 : Primitive de $\dfrac{k}{x^2}$ Quelle est une primitive de f(x) = 5/x² sur
]0 ; +∞[ ?

]]> En écrivant 1/x² = x⁻², l'exposant monte à -1 et le
diviseur vaut -1 : une primitive est -1/x. Le facteur
constant se conserve tout au long du calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = -5/x

]]> Bonne réponse : (-5/x)' = 5/x², car la dérivée de 1/x vaut
-1/x².

]]> F(x) = 5/x

]]> Signe oublié : en dérivant 5/x, on trouve
-5/x², soit l'opposé de la fonction voulue.

]]> F(x) = -5/3x³

]]> Exposant traité à l'envers : 1/x² s'écrit x⁻²,
dont l'exposant monte à -1, et non à -3.

]]> F(x) = 5ln x

]]> Confusion avec 1/x : le logarithme est une primitive de
1/x, pas de 1/x².

]]> Primitives et équations différentielles — Q34 : Primitive de $\dfrac{1}{ax+b}$ Sur un intervalle où 2x + 1 reste strictement positif, quelle
est une primitive de f(x) = 1/2x + 1 ?

]]> La forme u'/u se primitive en ln u sur un intervalle où
u > 0. Quand u' est une constante a, on fabrique cette forme en
multipliant par 1/a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ½ln(2x + 1)

]]> Bonne réponse : avec u(x) = 2x + 1, on a u' = 2, donc
f = ½ × u'/u, dont une primitive est
½ln u.

]]> F(x) = -1/2 (2x + 1)²

]]> Forme mal reconnue : 1/u se primitive en logarithme, le
carré au dénominateur viendrait d'une dérivation.

]]> F(x) = ln(2x + 1)

]]> Ajustement oublié : la dérivée de ln(2x + 1) vaut
2/2x + 1, soit 2 fois trop.

]]> F(x) = 2ln(2x + 1)

]]> Ajustement inversé : il faut diviser par 2, et non multiplier,
puisque la dérivation fait sortir ce facteur.

]]> Primitives et équations différentielles — Q35 : Primitive d'une forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = (2x + 3)\,e^{x^2 + 3 x}
sur ℝ ?

]]> Dès que l'on reconnaît u'eᵘ, une primitive est eᵘ : le facteur
u' est exactement ce que la dérivation de eᵘ ferait apparaître.
Ici u(x) = x² + 3 x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 2\,e^{x^2 + 3 x}

]]> Coefficient injustifié : en dérivant, ce 2 resterait en facteur
et donnerait le double de f.

]]> F(x) = (x^2 + 3 x)\,e^{x^2 + 3 x}

]]> Le facteur u' a été primitivé à part : dans la forme u'eᵘ, il
disparaît entièrement, il ne devient pas u.

]]> F(x) = \dfrac{e^{x^2 + 3 x}}{2x + 3}

]]> On ne divise pas par u' quand celui-ci dépend de x : le
quotient obtenu ne se dérive pas en f.

]]> F(x) = e^{x^2 + 3 x}

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x² + 3 x, on a u'(x) = 2x + 3, donc f = u'eᵘ, dont une primitive est eᵘ.

]]> Primitives et équations différentielles — Q36 : Retrouver l'équation à partir des solutions Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions
x ↦ C e⁻⁴ˣ, où C désigne un réel quelconque. De quelle
équation s'agit-il ?

]]> Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ C eᵃˣ :
la lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de x dans
l'exposant étant exactement le a de l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = -4x

]]> L'inconnue est confondue avec la variable : dans y' = ay, c'est
la fonction y qui figure au second membre.

]]> y' = -4y

]]> Bonne réponse : en dérivant y = C e⁻⁴ˣ, on obtient
y' = -4C e⁻⁴ˣ = -4y. Le coefficient de x dans
l'exposant est celui qui multiplie y.

]]> y' = 4y

]]> Signe inversé : ce sont les fonctions C e⁴ˣ qui résolvent
cette équation, pas celles de l'énoncé.

]]> y' = -¼y

]]> Coefficient inversé : -¼ donnerait les solutions
C\,e^{-\dfrac{1}{4}x}, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé.

]]> Primitives et équations différentielles — Q37 : Limite des solutions de $y' = ay + b$ On considère l'équation différentielle y' = -2y + 8. Vers
quelle valeur les solutions tendent-elles quand x tend vers
+∞ ?

]]> Pour a < 0, les solutions de y' = ay + b s'écrivent
C eᵃˣ - b/a : la partie exponentielle s'efface et la
limite est la solution constante, celle qui annule ay + b.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -8

]]> Division oubliée : l'équation -2y + 8 = 0 se résout en
divisant par -2, ce qui donne 4.

]]> 0

]]> Ce serait la limite pour y' = -2y, sans second membre. Le terme
constant décale l'équilibre en 4.

]]> 8

]]> Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient
en résolvant -2y + 8 = 0, ce qui donne 4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : les solutions s'écrivent y = C e⁻²ˣ + 4.
Comme -2 < 0, le terme exponentiel tend vers 0 et il reste la
solution constante 4.

]]> Primitives et équations différentielles — Q38 : Primitive vérifiant une condition Quelle est la primitive F de f(x) = 3x² sur ℝ qui
vérifie F(2) = 5 ?

]]> On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme F(x) = x³ + C,
puis on remplace x par 2 et on résout l'équation d'inconnue
C. La condition fixe une primitive et une seule.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = x³ + 5

]]> La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut
retrancher 8 à 5, ce qui donne C = -3.

]]> F(x) = 3x³ - 3

]]> Le coefficient 3 a été conservé : une primitive de 3x² est
x³, puisque 3 se simplifie avec le nouvel exposant.

]]> F(x) = x³ - 3

]]> Bonne réponse : les primitives sont x³ + C. La condition donne
8 + C = 5, donc C = -3.

]]> F(x) = x³ + 3

]]> Signe inversé dans la résolution : de 8 + C = 5 on tire
C = 5 - 8, soit -3.

]]> Primitives et équations différentielles — Q39 : Vérifier une primitive du logarithme Soit F(x) = 2xln x - 2x, définie sur ]0 ; +∞[. Que
vaut F'(x) ?

]]> On dérive le produit 2x × ln x avec
(uv)' = u'v + uv', puis le terme -2x. Le résultat 2ln x
montre au passage que xln x - x est une primitive de ln.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2/x - 2

]]> Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer
(uv)' = u'v + uv' à 2x × ln x.

]]> 2ln x

]]> Bonne réponse : la dérivée de 2xln x vaut
2ln x + 2x × 1/x = 2ln x + 2, et celle
de -2x vaut -2. Les deux constantes se compensent.

]]> 2ln x - 2

]]> La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte
+2 et le second terme -2, leur somme est nulle.

]]> 2ln x + 2

]]> Le second terme n'a pas été dérivé : -2x apporte -2, qui
annule exactement le +2 venant du produit.

]]> Primitives et équations différentielles — Q40 : Primitive d'une forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ Quelle est une primitive de f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} sur
ℝ ?

]]> La forme \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} se primitive en √u, là où
u > 0. Ici u' = 2x et le 2 manquant est justement celui du
dénominateur de la forme de référence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{2}

]]> Division de trop : le 2 du dénominateur de
\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} est déjà pris en compte par la forme.

]]> F(x) = \dfrac{x^2}{2\sqrt{x^2 + 1}}

]]> Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le
facteur u' disparaît, il ne devient pas u/2.

]]> F(x) = 2√x² + 1

]]> Facteur 2 en trop : en dérivant, on obtiendrait
\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}, soit le double de f.

]]> F(x) = √x² + 1

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x² + 1, on a u' = 2x et
f = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, dont une primitive est √u.

]]> Primitives et équations différentielles — Q41 : Reconnaître une forme $u'u^n$ Pour déterminer une primitive de f(x) = 3x² (x³ + 5)⁴, quelle
forme reconnaît-on ?

]]> Reconnaître u'uⁿ consiste à repérer une expression élevée à une
puissance, puis à vérifier que le facteur restant est bien sa dérivée.
Une primitive est alors \dfrac{u^{n+1}}{n+1}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u'u⁴ avec u(x) = 3x²

]]> Les rôles sont échangés : c'est x³ + 5 qui est élevé à la
puissance 4, et 3x² qui joue le rôle de u'.

]]> u⁴ seule, sans le facteur u'

]]> Le facteur 3x² est indispensable : sans lui, la forme u⁴
seule ne se primitive pas avec les outils du programme.

]]> u'/u avec u(x) = x³ + 5

]]> Il n'y a aucun quotient ici : la puissance 4 est au numérateur,
la forme du logarithme ne s'applique pas.

]]> u'u⁴ avec u(x) = x³ + 5

]]> Bonne réponse : u(x) = x³ + 5 a pour dérivée 3x², qui est
exactement le facteur placé devant. Une primitive est donc
u⁵/5.

]]> Primitives et équations différentielles — Q42 : Primitive et sens de variation Soit F une primitive sur ℝ d'une fonction f continue et
strictement positive sur [0 ; 3]. Que peut-on dire de F sur
[0 ; 3] ?

]]> Puisque F' = f, le signe de f se lit directement comme le sens de
variation de F. C'est cette lecture qui relie les primitives à
l'étude des fonctions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F y est constante sur tout l'intervalle

]]> Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui contredirait la
stricte positivité de f sur [0 ; 3].

]]> F y est strictement positive

]]> Confusion entre F et sa dérivée : c'est f = F' qui est
positive. La primitive F(x) = x² - 100 de 2x le montre.

]]> F y est strictement croissante

]]> Bonne réponse : par définition F' = f, et f y est strictement
positive. Une dérivée strictement positive sur un intervalle
impose la stricte croissance.

]]> F y est strictement décroissante

]]> Sens inversé : une dérivée positive donne une fonction croissante,
la décroissance correspondrait à f < 0.

]]> Primitives et équations différentielles — Q43 : Primitiver un produit facteur par facteur La fonction G(x) = x²/2 eˣ est-elle une primitive de
f(x) = x eˣ sur ℝ ?

]]> Il n'existe pas de règle donnant la primitive d'un produit à partir de
celles des facteurs. Le seul réflexe sûr consiste à dériver la
fonction proposée et à comparer au résultat attendu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : on primitive chaque facteur séparément

]]> Cette règle n'existe pas : la primitivation ne se distribue pas
sur un produit, exactement comme la dérivation ne s'y distribue
pas.

]]> Non, mais G convient sur ]0 ; +∞[

]]> L'intervalle n'y change rien : le calcul de G' est le même
partout et laisse toujours un terme excédentaire.

]]> Oui, à une constante additive près

]]> L'écart entre G' et f n'est pas une constante : il vaut
x²/2eˣ, qui dépend de x.

]]> Non : G'(x) = xeˣ + x²/2eˣ

]]> Bonne réponse : la dérivée d'un produit comporte deux termes, et
seul le premier vaut f(x). Le second terme subsiste, donc G
n'est pas une primitive de f.

]]> Primitives et équations différentielles — Q44 : Méthode pour $y' = ay + b$ Soit a un réel non nul. Comment obtient-on toutes les solutions de
l'équation différentielle y' = ay + b ?

]]> Les solutions de y' = ay + b s'écrivent x ↦ Ceᵃˣ + k, où k = -b/a est la solution constante. On additionne
une solution particulière et les solutions de y' = ay.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En multipliant Ceᵃˣ par la constante -b/a

]]> Une multiplication ne ferait que changer le nom de la constante
C : le décalage dû à b est additif.

]]> En ajoutant à Ceᵃˣ la constante -b/a

]]> Bonne réponse : la fonction constante -b/a est une
solution particulière, et on lui ajoute les solutions
Ceᵃˣ de l'équation sans second membre.

]]> En ajoutant à Ceᵃˣ le second membre b tout entier

]]> Le second membre ne s'ajoute pas tel quel : la constante cherchée
annule ay + b, elle vaut donc -b/a.

]]> En remplaçant a par a + b dans l'écriture Ceᵃˣ

]]> Le second membre ne modifie pas l'exposant : celui-ci reste ax,
seul un terme constant vient s'ajouter.

]]> Primitives et équations différentielles — Q45 : Contrôler une solution proposée On cherche la solution de y' = -y + 3 qui vérifie y(0) = 5. Un
élève propose f(x) = 2e⁻ˣ + 3. Sa proposition convient-elle ?

]]> Vérifier une solution demande deux contrôles : la fonction satisfait
l'équation, et elle prend la valeur imposée au point donné. Comme la
solution d'un tel problème est unique, ces deux contrôles suffisent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : il faudrait f(x) = 5e⁻ˣ + 3 pour cela

]]> La constante ne se lit pas directement : la condition s'écrit
C + 3 = 5, ce qui donne C = 2 et non C = 5.

]]> Oui : f vérifie l'équation et f(0) = 5

]]> Bonne réponse : f'(x) = -2e⁻ˣ et -f(x) + 3 = -2e⁻ˣ, donc
l'équation est vérifiée ; de plus f(0) = 2 + 3 = 5. La solution
étant unique, c'est bien celle qui est cherchée.

]]> Non : les solutions de cette équation sont les Ce⁻ˣ

]]> Le second membre a été oublié : il décale toutes les solutions de
la constante 3, qui est la solution d'équilibre.

]]> On ne peut pas conclure sans résoudre l'équation

]]> Une vérification suffit : il suffit de dériver la fonction
proposée et de comparer, puis de contrôler la valeur en 0.

]]> Primitives et équations différentielles — Q46 : Primitive d'une exponentielle de carré Quelle est une primitive sur ℝ de f(x) = 1x\,e^{x^2} ?

]]> Reconnaître u'eᵘ : la primitive est eᵘ, au coefficient près
qu'il faut ajuster en dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 2e^{x^2}

]]> Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.

]]> F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2}

]]> Bonne réponse : f est de la forme ½ u'eᵘ
avec u(x) = x² et u'(x) = 2x ; une primitive est
½eᵘ.

]]> F(x) = e^{x^2}

]]> Erreur : en dérivant, on obtient 21x\,e^{x^2}, le double
de f.

]]> F(x) = \dfrac{x^2}{2}e^{x^2}

]]> Erreur : intégrer le facteur x séparément n'a pas de sens ; il
fait partie de u'.

]]> Primitives et équations différentielles — Q47 : Primitive d'un cosinus d'argument affine Quelle est une primitive sur ℝ de f(x) = cos(2x) ?

]]> Primitive de cos(ax + b) : 1/asin(ax + b) ; dériver
permet toujours de contrôler le coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = -½sin(2x)

]]> Erreur : le signe est celui de la primitive de sin, pas de
cos ; (sin)' = cos.

]]> F(x) = ½sin(2x)

]]> Bonne réponse : la dérivée de sin(2x) est
2cos(2x) ; on divise par 2 pour compenser.

]]> F(x) = 2sin(2x)

]]> Erreur : il faut diviser par 2, pas multiplier.

]]> F(x) = sin(2x)

]]> Erreur : sa dérivée est 2cos(2x), pas cos(2x).

]]> Primitives et équations différentielles — Q48 : Primitive d'un quotient de la forme u' sur u Quelle est une primitive sur ℝ de f(x) = \dfrac{x}
{x^2 + 1} ?

]]> Forme u'/u avec u > 0 : primitive ln u, le
coefficient se règle en dérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ½ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x² + 1 > 0, u'(x) = 2x et
f = ½ u'/u ; une primitive est
½ln u.

]]> F(x) = 1/2xln(x² + 1)

]]> Erreur : le facteur ½ est une constante, pas
1/2x.

]]> F(x) = x²/2ln(x² + 1)

]]> Erreur : on ne peut pas intégrer le numérateur et le
dénominateur séparément.

]]> F(x) = ln(x² + 1)

]]> Erreur : sa dérivée est 2x/x² + 1, le double de f.

]]>