$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste
d'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de
Bernoulli, loi binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p) : formule
P(X = k), espérance et variance, problèmes de seuil.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q01 : Épreuve de Bernoulli
Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre p ?]]>
Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de
probabilité p. La variable qui vaut 1 en cas de succès et
0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une expérience à exactement deux issues]]>
Bonne réponse : deux issues seulement, le succès de
probabilité p et l'échec de probabilité 1 - p.
Exemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce
défectueuse ou conforme.]]>
Une expérience à deux issues répétée indéfiniment]]>
Erreur : l'épreuve de Bernoulli est une seule
expérience. Sa répétition en nombre fixé n constitue le
schéma de Bernoulli.]]>
Une expérience répétée p fois de suite]]>
Erreur : p est une probabilité (entre 0 et 1),
pas un nombre de répétitions. La répétition relève du
schéma de Bernoulli, avec un paramètre n entier.]]>
Une expérience dont les issues sont équiprobables]]>
Erreur : rien n'impose p = ½. Une épreuve de
Bernoulli peut être très déséquilibrée (p = 0{,}01).]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q02 : Conditions d'une loi binomiale
Dans quelle situation la variable X suit-elle une loi
binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p) ?]]>
X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) exige : n répétitions d'une
même épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages
avec remise), et X = nombre de succès.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
X prend ses valeurs entières entre 0 et n]]>
Insuffisant : bien des variables vivent dans
\{0, \ldots, n\} sans être binomiales. Ce sont les
hypothèses de répétition indépendante qui font la
binomiale.]]>
X est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves]]>
Erreur : le rang du premier succès suit une loi
géométrique (approfondissement), pas binomiale. La
binomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves.]]>
X compte les succès dans n tirages sans remise dans
une urne]]>
Piège classique : sans remise, la composition de l'urne
change à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques
ni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est
binomial.)]]>
X compte les succès de n épreuves de Bernoulli
indépendantes]]>
Bonne réponse : trois ingrédients : la même épreuve de
Bernoulli de paramètre p répétée n fois,
l'indépendance des répétitions, et X égal au nombre
de succès.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q03 : Probabilité d'une liste d'issues
On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec p = 0{,}3. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?]]>
Principe fondamental de la succession d'épreuves
indépendantes : P(x₁, …, xₙ) = P(x₁) × ⋯ × P(xₙ). Ici 0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}063]]>
Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une
liste d'issues est le produit des probabilités de
chaque issue : 0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063.]]>
0{,}027]]>
Erreur : 0{,}3^3 = 0{,}027 est la probabilité de
(succès, succès, succès). La deuxième épreuve est ici un
échec, de probabilité 0{,}7.]]>
0{,}147]]>
Erreur : 0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147 compterait un
succès et deux échecs. La liste demandée contient
deux succès et un échec : 0{,}3^2 \times 0{,}7.]]>
1{,}3]]>
Impossible : 0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3 dépasse
1, ce qu'une probabilité ne fait jamais. L'addition
sert pour des événements incompatibles ; une succession
d'issues se traite par produit.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q04 : Calculer $P(X = k)$
Soit X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2). Que vaut P(X = 2) ?]]>
Formule binomiale : P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}.
Le coefficient compte les positions des succès, les puissances
donnent la probabilité d'une liste. Ici 0{,}2048.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}2048]]>
Bonne réponse : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k
(1-p)^{n-k}, soit \binom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times
0{,}8^3 = 10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 0{,}2048.]]>
0{,}04]]>
Erreur : 0{,}2^2 = 0{,}04 ignore les trois échecs
(facteur 0{,}8^3) et le nombre de placements des
succès (facteur \binom{5}{2}).]]>
0{,}32]]>
Erreur d'exposant : \binom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times
0{,}8 = 0{,}32 ne compte qu'un échec. Il y a n - k = 3 échecs, donc 0{,}8^3 : les exposants doivent
totaliser n = 5.]]>
0{,}02048]]>
Oubli du coefficient binomial : 0{,}2^2 \times 0{,}8^3
= 0{,}02048 est la probabilité d'une seule liste à
deux succès. Il y a \binom{5}{2} = 10 listes
possibles.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q05 : Espérance d'une binomiale
Soit X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3). Que vaut E(X) ?]]>
Pour X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) : E(X) = np et
V(X) = np(1-p). Ici E(X) = 6 et V(X) = 4{,}2.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
4{,}2]]>
Confusion : 4{,}2 = np(1-p) est la variance de X,
pas son espérance.]]>
20]]>
Erreur : 20 est le nombre d'épreuves, atteint seulement
si tout réussit. La moyenne pondère par p : np = 6.]]>
6]]>
Bonne réponse : E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6. En
moyenne, 6 succès sur 20 épreuves.]]>
0{,}3]]>
Erreur : 0{,}3 est l'espérance d'une seule épreuve de
Bernoulli. Sur 20 épreuves, les espérances s'additionnent
: 20 \times 0{,}3.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q06 : Variance d'une binomiale
Soit X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3). Que vaut V(X) ?]]>
V(X) = np(1-p) pour une binomiale (démonstration au
programme via la somme de n Bernoulli indépendantes). Ici
20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
14]]>
Erreur : 14 = 20 \times 0{,}7 = n(1-p) est l'espérance du
nombre d'échecs. La variance vaut np(1-p).]]>
6]]>
Confusion : 6 = np est l'espérance. La variance
ajoute le facteur (1-p) : np(1-p) = 4{,}2.]]>
4{,}2]]>
Bonne réponse : V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}3 \times
0{,}7 = 4{,}2.]]>
\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05]]>
Confusion : √np(1-p) est l'écart-type
σ(X). La variance est son carré : 4{,}2.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q07 : Chemins dans l'arbre
On représente un schéma de Bernoulli à n = 3 épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement 2 succès ?]]>
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à k succès
parmi n épreuves sont au nombre de \binom{n}{k} : c'est
exactement l'origine du coefficient dans la formule
binomiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
8]]>
Erreur : 2³ = 8 est le nombre total de chemins de
l'arbre. Seuls 3 d'entre eux comptent exactement deux
succès.]]>
2]]>
Erreur : ne confonds pas le nombre de succès (2) avec
le nombre de chemins qui le réalisent (\binom{3}{2} = 3).]]>
3]]>
Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions
des succès : SSE, SES, ESS, soit \binom{3}{2} = 3
chemins.]]>
6]]>
Erreur : 6 = 3! ordonnerait trois objets distincts. Ici
les deux succès sont interchangeables : \binom{3}{2} = 3.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q08 : Passer par l'événement contraire
Soit X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5). Que vaut
P(X ≥ 1) ?]]>
Réflexe « au moins un » : passer au contraire.
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)ⁿ. Ici
1 - 0{,}0625 = 0{,}9375.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
2]]>
Impossible : 4 \times 0{,}5 = 2 dépasse 1 (2 est
ici l'espérance np, pas une probabilité). Le bon
chemin passe par le complémentaire.]]>
0{,}5]]>
Erreur : 0{,}5 est la probabilité d'un succès sur une
épreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès
est bien plus probable : 0{,}9375.]]>
0{,}0625]]>
Erreur : 0{,}5^4 = 0{,}0625 = P(X = 0), la probabilité
de l'événement contraire. Il faut la retrancher de
1.]]>
0{,}9375]]>
Bonne réponse : l'événement contraire de « au moins un
succès » est « aucun succès » : P(X \geq 1) = 1 - P(X =
0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q09 : Écrire $P(X \geq 8)$ pour la calculatrice
Soit X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9). La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées P(X ≤ k). Quelle
écriture donne P(X ≥ 8) ?]]>
Pour une variable entière : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
L'erreur de borne (utiliser k au lieu de k-1) est le piège
le plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
1 - P(X ≤ 8)]]>
Erreur de borne classique : 1 - P(X ≤ 8) = P(X ≥ 9), ce qui exclut la valeur 8. Le contraire
de X ≥ 8 s'arrête à 7.]]>
1 - P(X ≤ 7)]]>
Bonne réponse : le contraire de « X ≥ 8 » est
« X ≤ 7 » (variable à valeurs entières). D'où
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7).]]>
P(X = 8)]]>
Incomplet : X ≥ 8 regroupe les valeurs 8, 9 et
10 ; il manque P(X = 9) et P(X = 10).]]>
P(X ≤ 8)]]>
Erreur de sens : P(X ≤ 8) cumule les valeurs
jusqu'à 8, alors qu'on veut celles à partir de 8.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q10 : Avec ou sans remise
Une urne contient 10 boules dont 3 gagnantes. On tire 5
boules et on note X le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas X suit-il exactement une loi binomiale ?]]>
Le critère de la binomiale est l'indépendance des
répétitions avec un p constant : tirages avec remise (ou
situations assimilées). Sans remise, le modèle change.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si les tirages se font avec remise]]>
Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve
identique (p = 0{,}3) et indépendante des autres :
X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}3).]]>
Si les tirages se font sans remise]]>
Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à
chaque tirage : le paramètre p n'est plus constant et les
épreuves ne sont plus indépendantes.]]>
Dans les deux cas]]>
Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige
des épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la
remise garantit.]]>
Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages]]>
Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules
gagnantes ; rien n'empêche X = 5. Le modèle binomial
s'applique parfaitement.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q11 : Modéliser un QCM au hasard
Un QCM comporte 7 questions ; chacune propose 4 options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre X de bonnes réponses ?]]>
Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de
paramètre p = ¼, répétée 7 fois de façon
indépendante. X \sim \mathcal{B}(7\,;\,1/4).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)]]>
Erreur : ¾ est la probabilité d'une réponse
fausse. Le succès compté par X est la bonne réponse :
p = ¼.]]>
X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)]]>
Paramètres croisés : n est le nombre de répétitions
(7 questions) et p la probabilité de succès à chacune
(1/4).]]>
X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)]]>
Bonne réponse : 7 épreuves identiques et indépendantes,
le succès est la bonne réponse, de probabilité ¼.
Espérance : 7/4 = 1{,}75 bonne réponse en moyenne.]]>
X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)]]>
Erreur : 28 = 7 × 4 compte les options, pas les
épreuves. Chaque question est une épreuve : n = 7.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q12 : Interpréter l'espérance
Soit X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4), donc E(X) = 40.
Quelle interprétation est correcte ?]]>
E(X) est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand
nombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations
individuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en
proportion) que n est grand.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
P(X = 40) vaut environ 0{,}4, la valeur de p]]>
Erreur : la probabilité de la valeur exacte 40 est
d'environ 0{,}08 seulement. L'espérance ne se lit pas
comme une probabilité.]]>
Il est impossible d'obtenir plus de 40 succès]]>
Erreur : X peut prendre toute valeur de 0 à 100 ;
40 n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond.]]>
En moyenne, X vaut environ 40]]>
Bonne réponse : sur un grand nombre de répétitions de
l'expérience complète, le nombre de succès vaut en
moyenne environ 40. L'espérance est une moyenne en
tendance (loi des grands nombres), pas une garantie sur
une réalisation donnée.]]>
À chaque expérience, X vaut exactement 40]]>
Erreur : X fluctue autour de 40 (écart-type
\sqrt{24} \approx 4{,}9). Observer 35 ou 46 n'a rien
d'anormal.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q13 : Aucun succès
X suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p =
0{,}2. Que vaut P(X = 0) ?]]>
P(X = 0) = (1 - p)ⁿ : le cas particulier le plus utile de
la formule binomiale, porte d'entrée du calcul de P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}8^3 = 0{,}512]]>
Bonne réponse : zéro succès signifie trois échecs consécutifs,
chacun de probabilité 0{,}8, indépendants : 0{,}8^3
(et \binom{3}{0} = 1 ne change rien).]]>
1 - 0{,}2 = 0{,}8]]>
Puissance manquante : 0{,}8 est l'échec sur UNE
épreuve ; il en faut trois de suite : 0{,}8^3.]]>
0{,}2^3 = 0{,}008]]>
Inversé : 0{,}2^3 est P(X = 3) (trois succès).
Aucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec
0{,}8.]]>
0]]>
Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait
possible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un
événement impossible.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q14 : Écart-type d'une binomiale
X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p =
0{,}5. Que vaut l'écart-type σ(X) ?]]>
Binomiale : E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √np(1-p). L'ordre de grandeur \sigma \approx
\frac{\sqrt{n}}{2} (pour p = 0{,}5) nourrit l'intuition
des fluctuations d'échantillonnage.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
σ(X) = 25]]>
Racine oubliée : 25 est la variance ; l'écart-type
en est la racine carrée.]]>
σ(X) = 10]]>
Erreur : 10 = √100 néglige le facteur p(1-p) =
0{,}25 : la racine porte sur le produit complet.]]>
σ(X) = 50]]>
Confusion : 50 = np est l'espérance, le centre de
la distribution ; l'écart-type mesure la dispersion
autour de ce centre.]]>
σ(X) = 5]]>
Bonne réponse : V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}5 \times
0{,}5 = 25, puis racine carrée : σ = √25 = 5. Sur 100 lancers équilibrés, l'écart typique autour
de 50 est 5.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q15 : Calculer $P(X \leq 1)$
X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
0{,}5. Que vaut P(X ≤ 1) ?]]>
Une probabilité cumulée est la somme des P(X = k) concernés. Avec
p = 0{,}5, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne
1, 4, 6, 4, 1 sur 2⁴ = 16.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
5/16]]>
Bonne réponse : P(X = 0) + P(X = 1) =
\binom{4}{0}(0{,}5)^4 + \binom{4}{1}(0{,}5)^4 =
\frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16} : « au plus
un succès » se découpe en \{0\} et \{1\}.]]>
2/16]]>
Coefficients oubliés : les \binom{4}{k} comptent les
chemins : 1 chemin pour zéro succès, 4 pour un
succès : 5/16.]]>
½]]>
Symétrie mal placée : la symétrie de p = 0{,}5 relie
P(X ≤ 1) et P(X ≥ 3) (chacune 5/16),
mais le point médian est X = 2, pas la frontière entre
1 et 2.]]>
4/16]]>
Cas X = 0 oublié : 4/16 = P(X = 1)
seulement ; « au plus 1 » inclut zéro succès, les deux
termes s'ajoutent.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q16 : Quand le modèle binomial échoue
On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?]]>
Points de contrôle du modèle binomial : 1) n fixé à
l'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux
issues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre
manquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)
casse le modèle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que les lancers ne sont pas indépendants]]>
Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la
condition qui manque est le nombre fixé de
répétitions.]]>
Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance]]>
Bonne réponse : on s'arrête au premier succès, la durée est aléatoire. La binomiale exige un nombre n d'épreuves déterminé avant l'expérience.]]>
Mais si, tout comptage de lancers suit une loi binomiale]]>
Erreur : la binomiale compte les succès sur n épreuves
fixées : compter l'attente du premier succès est un
tout autre objet.]]>
Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli]]>
Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve
de Bernoulli (p = ⅙) : le problème est
ailleurs (le nombre d'épreuves).]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q17 : Symétrie de la binomiale équilibrée
X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p =
0{,}5. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?]]>
Pour p = 0{,}5 : P(X = k) = \binom{n}{k}(0{,}5)^n, et
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} : symétrie parfaite autour
de n/2. Pour p \neq 0{,}5, l'histogramme penche
du côté le plus probable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
P(X = k) = P(X = k + 1)]]>
Erreur : les probabilités varient avec k (maximum au
centre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,
pas un plateau.]]>
P(X = k) = P(X = 10 - k) pour tout k]]>
Bonne réponse : avec p = 0{,}5, échanger succès et
échecs ne change rien : 3 succès et 7 succès sont
équiprobables : histogramme en miroir autour de 5.]]>
P(X = k) = 1/11 pour tout k]]>
Loi uniforme imaginée : les \binom{10}{k} pèsent
différemment chaque valeur : P(X = 5) = \frac{252}{1024}
\gg P(X = 0) = \frac{1}{1024}.]]>
P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)]]>
Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les
rend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison
de valoir 1).]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q18 : Espérance et gain moyen
Un jeu se répète 50 fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité 0{,}3 et rapporte alors 2 euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?]]>
Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, E(X) = np, puis linéarité E(2X) = 2E(X). L'espérance s'interprète
comme moyenne de long terme : la boussole des décisions
répétées.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
30 euros]]>
Bonne réponse : X (nombre de victoires) suit la
binomiale (50\ ;\ 0{,}3) : E(X) = 50 \times 0{,}3 =
15 parties gagnées en moyenne ; le gain vaut 2X,
d'espérance 2 × 15 = 30 euros.]]>
100 euros]]>
Rêve de victoire totale : 100 = 50 × 2 euros
supposerait toutes les parties gagnées ; en moyenne,
seules 30\ % le sont.]]>
Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire]]>
Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série
est imprévisible, mais l'espérance (30 euros) décrit
la moyenne sur un grand nombre de séries : c'est
exactement son rôle.]]>
15 euros]]>
Gain unitaire oublié : 15 est le nombre moyen de
parties gagnées ; chacune rapporte 2 euros :
30 euros.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q19 : Reconnaître les paramètres
On lance 20 fois un dé équilibré et l'on compte les six obtenus.
Quels sont les paramètres de la loi suivie ?]]>
Une loi binomiale de paramètres n et p compte les succès dans n
répétitions identiques et indépendantes, chacune de probabilité p.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
n = 6 et p = 1/20]]>
Rôles échangés : n est le nombre de répétitions, p la probabilité
d'un succès.]]>
n = 20 et p = ⅙]]>
Bonne réponse : vingt répétitions indépendantes, chacune avec une
probabilité de succès d'un sixième.]]>
n = 20 et p = 6]]>
Une probabilité ne dépasse jamais 1 : la valeur 6 est celle de la
face, pas de la probabilité.]]>
n = 20 et p = ½]]>
Probabilité fausse : un dé a six faces, et le succès n'en concerne
qu'une.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q20 : Calculer une probabilité binomiale
Pour X de loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0{,}5,
que vaut P(X = 2) ?]]>
La formule P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} combine le nombre de
chemins et la probabilité de chacun d'eux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}5]]>
Probabilité d'un succès recopiée : elle ne concerne qu'une seule
épreuve.]]>
0{,}375]]>
Bonne réponse : \dbinom{4}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^2 =
6 \times 0{,}0625.]]>
0{,}0625]]>
Probabilité d'un chemin : il reste à la multiplier par le nombre de
chemins, qui vaut 6.]]>
0{,}25]]>
Coefficient binomial oublié : 0{,}5^2 \times 0{,}5^2 ne compte qu'un
seul chemin sur les six possibles.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q21 : Espérance et nombre attendu
Une variable suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et
p = 0{,}2. Quelle est son espérance ?]]>
L'espérance d'une loi binomiale vaut np, sa variance np(1-p) et son
écart-type la racine carrée de cette variance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}2]]>
Probabilité recopiée : l'espérance compte un nombre de succès, elle
n'est pas une probabilité.]]>
8]]>
Formule de la variance : np(1-p) vaut 8, mais l'espérance s'en
distingue.]]>
10]]>
Bonne réponse : E(X) = np = 50 \times 0{,}2.]]>
50]]>
Nombre de répétitions recopié : tous les essais ne sont pas des
succès.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q22 : Au moins un succès
Pour X de loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0{,}3,
comment calculer P(X ≥ 1) le plus simplement ?]]>
Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Ce passage au
complémentaire réduit le calcul à un seul terme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Par 1 - P(X = 0)]]>
Bonne réponse : un seul terme à calculer, au lieu des dix autres.]]>
Par 1 - P(X = 1)]]>
Contraire mal formé : le contraire de « au moins un » est « aucun ».]]>
Par P(X = 1)]]>
Cette probabilité concerne exactement un succès, alors que l'énoncé en
demande au moins un.]]>
En additionnant les dix probabilités]]>
Le calcul est correct mais bien plus long, et source d'erreurs
d'arrondi.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q23 : Quand le modèle ne convient pas
Dans quelle situation la loi binomiale ne s'applique-t-elle pas ?]]>
La loi binomiale exige des épreuves identiques, indépendantes et à deux
issues. Un tirage sans remise viole les deux premières conditions.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Cent tirages avec remise dans une urne]]>
La remise garantit des tirages identiques et indépendants.]]>
Dix questions d'un QCM répondues au hasard]]>
Chaque question est une épreuve identique et indépendante des autres.]]>
Vingt lancers d'une même pièce]]>
Les lancers sont identiques et indépendants : le modèle s'applique.]]>
Un tirage de cinq cartes sans remise]]>
Bonne réponse : sans remise, la probabilité de succès change d'un
tirage à l'autre.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q24 : Effet de la taille sur l'écart-type
X suit la loi \mathcal{B}(n\,;\,p) et Y la loi
\mathcal{B}(4n\,;\,p). Comment se compare σ(Y) à
σ(X) ?]]>
V(X) = np(1-p) est proportionnelle à n ; l'écart-type croît
comme √n.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
σ(Y) = σ(X)]]>
Erreur : l'écart-type d'une binomiale dépend de n.]]>
σ(Y) = 4 σ(X)]]>
Erreur : c'est la variance qui est multipliée par 4 ;
l'écart-type en est la racine carrée.]]>
σ(Y) = 2 σ(X)]]>
Bonne réponse : σ(Y) = √4np(1-p) = 2√np(1-p).]]>
σ(Y) = 16 σ(X)]]>
Erreur : 16 serait le facteur de la variance si n était
multiplié par 16.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q25 : Le rôle du coefficient binomial
Dans la formule P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, que compte
le coefficient \dbinom{n}{k} ?]]>
La formule combine deux comptages : le nombre de chemins menant à k
succès, donné par le coefficient binomial, et la probabilité de chacun
d'eux, toujours la même.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La probabilité de k succès]]>
Un coefficient binomial est un entier, souvent bien supérieur à 1 :
ce n'est pas une probabilité.]]>
Le nombre de succès attendus]]>
Le nombre attendu est l'espérance, qui vaut np.]]>
Les chemins de l'arbre à k succès]]>
Bonne réponse : les succès peuvent survenir à différents rangs, et
chaque disposition donne un chemin.]]>
Le nombre total d'épreuves]]>
Ce nombre est n, le paramètre du haut, pris isolément.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q26 : Une loi symétrique
Pour quelle valeur de p la loi binomiale est-elle symétrique autour
de son espérance ?]]>
Lorsque p vaut 0{,}5, les rôles du succès et de l'échec sont
interchangeables, ce qui rend le diagramme symétrique autour de
n/2.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Pour p = 0{,}5]]>
Bonne réponse : succès et échec jouant le même rôle, la loi est
symétrique.]]>
Pour p = 0]]>
La loi est alors concentrée en 0 : aucun succès n'est possible.]]>
Pour toute valeur de p]]>
Une probabilité de succès faible décale la loi vers les petites
valeurs, sans symétrie.]]>
Pour p = 1]]>
La loi est alors concentrée en n : tous les essais réussissent.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q27 : Traduire une inégalité
Comment s'écrit « au plus trois succès » à l'aide de la variable
X ?]]>
« Au plus k » se traduit par X ≤ k, « au moins k » par
X ≥ k, et « exactement k » par X = k. La lecture de l'énoncé
décide de l'inégalité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
P(X = 3)]]>
Cette écriture concerne exactement trois succès, sans les cas
inférieurs.]]>
P(X < 3)]]>
Inégalité stricte : elle exclut le cas de trois succès, pourtant
admis.]]>
P(X ≤ 3)]]>
Bonne réponse : « au plus » correspond à une inégalité large vers le
bas.]]>
P(X ≥ 3)]]>
Cette écriture traduit « au moins trois succès », c'est-à-dire le sens
contraire.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q28 : Un contrôle de production
Une machine produit 3 % de pièces défectueuses. Sur un lot de
200 pièces, combien en attend-on de défectueuses ?]]>
Le nombre de pièces défectueuses suit une loi binomiale de paramètres
n = 200 et p = 0{,}03. Le nombre attendu est son espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
6]]>
Bonne réponse : l'espérance vaut np = 200 \times 0{,}03.]]>
194]]>
Nombre de pièces conformes : l'énoncé demande les défectueuses.]]>
3]]>
Pourcentage recopié : il faut l'appliquer à l'effectif du lot.]]>
60]]>
Erreur d'un facteur 10 : 3 % s'écrit 0{,}03, pas 0{,}3.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q29 : Les valeurs possibles
Quelles valeurs une variable de loi binomiale de paramètre n peut-
elle prendre ?]]>
Une variable binomiale compte des succès parmi n épreuves : elle prend
donc les valeurs entières de 0 à n, chacune avec une probabilité
donnée par la formule.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les entiers de 0 à np]]>
L'espérance np ne borne pas les valeurs : tous les essais peuvent
réussir.]]>
Les entiers de 1 à n]]>
La valeur 0 est possible : il se peut qu'aucun essai ne réussisse.]]>
Les entiers de 0 à n]]>
Bonne réponse : le nombre de succès va de zéro à la totalité des
épreuves.]]>
Tous les réels de [0 ; n]]]>
Un nombre de succès est un entier : les valeurs décimales sont
exclues.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q30 : Deux lois binomiales
Deux lois binomiales ont même espérance, l'une avec n = 100 et
p = 0{,}1, l'autre avec n = 10 et p = 1. Qu'est-ce qui les
distingue ?]]>
L'espérance situe le centre d'une loi, la variance np(1-p) son
étalement. Une probabilité égale à 1 annule la variance, la variable
devenant certaine.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Leur dispersion autour de l'espérance]]>
Bonne réponse : la seconde a une variance nulle, elle vaut toujours
10, alors que la première fluctue.]]>
Leur nombre de valeurs possibles seulement]]>
Ce nombre diffère en effet, mais la différence essentielle porte sur la
dispersion.]]>
Leur espérance, mal calculée]]>
Les deux espérances valent bien 10, le calcul est correct.]]>
Rien, elles sont identiques]]>
Une même espérance n'entraîne pas une même loi : les probabilités des
valeurs diffèrent entièrement.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q31 : Variance d'une épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès 0{,}4. La variable
X vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Que vaut V(X) ?]]>
Une loi de Bernoulli de paramètre p vérifie E(X) = p et
V(X) = p(1-p). C'est le cas n = 1 des formules binomiales
E(X) = np et V(X) = np(1-p).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}24]]>
Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, V(X) = p(1-p), soit ici
0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24.]]>
0{,}6]]>
Erreur : 0{,}6 est la probabilité d'échec 1 - p, et non une
variance. Celle-ci est le produit des deux : p(1-p) = 0{,}24.]]>
0{,}16]]>
Erreur : p^2 = 0{,}16 élève la probabilité de succès au carré. La
formule fait intervenir 1-p en second facteur : 0{,}24.]]>
0{,}4]]>
Confusion : 0{,}4 est l'espérance E(X) = p. La variance
multiplie encore par la probabilité d'échec, d'où p(1-p) = 0{,}24.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q32 : Probabilité d'une liste de quatre issues
On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de
probabilité de succès 0{,}2. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans
cet ordre, échec, succès, succès, échec ?]]>
Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste
d'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le
coefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}1536]]>
Erreur : ce résultat vaut \dbinom{4}{2} fois le précédent, donc
P(X = 2). L'énoncé impose l'ordre des issues, donc une seule
liste.]]>
0{,}0016]]>
Erreur : 0{,}2^4 = 0{,}0016 correspond à quatre succès. La liste
demandée compte deux succès et deux échecs.]]>
0{,}4096]]>
Erreur : 0{,}8^4 = 0{,}4096 correspond à quatre échecs. Il faut
deux facteurs 0{,}2 et deux facteurs 0{,}8.]]>
0{,}0256]]>
Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les
probabilités rencontrées : 0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}8
= 0{,}0256.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q33 : Valeur d'un coefficient binomial
Soit X \sim \mathcal{B}(6\,;\,p). Que vaut le coefficient
\dbinom{6}{2} qui figure dans le calcul de P(X = 2) ?]]>
Le coefficient \dbinom{n}{k} compte les listes de n issues comportant
exactement k succès. On le calcule par
\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
64]]>
Erreur : 2⁶ = 64 est le nombre total de listes
d'issues. Seules celles qui comptent 2 succès nous intéressent.]]>
12]]>
Erreur : le produit 6 × 2 = 12 ne correspond à aucun
dénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles.]]>
15]]>
Bonne réponse : \dbinom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\,(6-2)!}
= 15, le nombre de façons de placer les succès.]]>
30]]>
Erreur : 30 compte les placements ordonnés des
succès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par 2!.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q34 : Aucun succès quand n grandit
Soit X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) avec 0 < p < 1. Comment évolue
P(X = 0) lorsque le nombre n de répétitions augmente ?]]>
L'événement « aucun succès » exige n échecs consécutifs, donc
P(X = 0) = (1-p)ⁿ. Comme 0 < 1-p < 1, cette probabilité décroît vers
0 quand n augmente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle augmente et se rapproche de 1]]>
Sens inversé : plus on répète l'épreuve, plus il devient difficile de
n'obtenir aucun succès. C'est P(X ≥ 1) qui tend vers 1.]]>
Elle diminue d'abord, puis se stabilise]]>
Erreur : une suite géométrique de raison strictement comprise entre
0 et 1 décroît sans jamais se stabiliser ailleurs qu'en 0.]]>
Elle reste égale à 1 - p sans changer]]>
Erreur : 1-p est la probabilité d'échouer à une épreuve. Sur
n épreuves, ces échecs se multiplient : (1-p)ⁿ.]]>
Elle diminue et se rapproche de 0]]>
Bonne réponse : P(X = 0) = (1-p)ⁿ est une suite géométrique de
raison 1-p, comprise strictement entre 0 et 1, donc
décroissante et de limite nulle.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q35 : Pourquoi multiplier le long d'un chemin
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, la probabilité d'un chemin
s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées. Qu'est-ce qui
justifie cette multiplication ?]]>
La règle du produit le long d'un chemin repose sur l'indépendance des
répétitions : c'est l'hypothèse centrale du schéma de Bernoulli.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tous les chemins de l'arbre sont équiprobables]]>
C'est faux dès que p \neq 0{,}5 : un chemin à trois succès et un
chemin à trois échecs n'ont pas la même probabilité.]]>
Les branches issues d'un même nœud totalisent 1]]>
Cette propriété est vraie, mais elle sert à vérifier un arbre, pas à
justifier le produit le long d'un chemin.]]>
Les répétitions sont indépendantes entre elles]]>
Bonne réponse : l'indépendance des épreuves permet de multiplier les
probabilités le long d'un chemin, sans avoir à tenir compte des
issues précédentes.]]>
Le succès et l'échec sont deux issues contraires]]>
Cela justifie P(échec) = 1 - p sur une branche, mais pas la
multiplication d'une branche à la suivante.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q36 : Encadrement et probabilités cumulées
Soit X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}4). La calculatrice ne fournit que
les probabilités cumulées P(X ≤ k). Quelle écriture donne
P(9 ≤ X ≤ 14) ?]]>
Pour une variable à valeurs entières, P(a ≤ X ≤ b) s'écrit
P(X ≤ b) - P(X ≤ a-1). Le décalage d'une unité sur la borne basse
est l'erreur la plus fréquente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
P(X ≤ 14) - P(X ≤ 9)]]>
Erreur classique : cette différence retire aussi la valeur 9, qui
fait pourtant partie de l'encadrement demandé.]]>
P(X ≤ 14) - P(X ≤ 8)]]>
Bonne réponse : on retire les valeurs strictement inférieures à 9,
c'est-à-dire celles jusqu'à 8, pour conserver 9, 10, …, 14.]]>
P(X ≤ 15) - P(X ≤ 9)]]>
Erreur : les deux bornes sont décalées d'une unité. On garde ici
10, 11, …, 15 au lieu de 9, 10, …, 14.]]>
P(X ≤ 14) + P(X ≤ 9)]]>
Erreur d'opération : une addition compte deux fois les petites
valeurs. Un encadrement s'obtient par une soustraction.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q37 : Au moins deux succès
Soit X \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}2). Que vaut P(X ≥ 2) ?]]>
Pour une inégalité « au moins k » avec k petit, on passe par
l'événement contraire : P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1), chaque
terme se calculant par la formule binomiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}616]]>
Erreur : seul P(X = 1) a été retranché. L'événement contraire de
X ≥ 2 réunit X = 0 et X = 1.]]>
0{,}104]]>
Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc
P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}512 - 0{,}384 = 0{,}104.]]>
0{,}896]]>
Erreur : 0{,}896 est P(X ≤ 1), c'est-à-dire la probabilité de
l'événement contraire. Il reste à la retrancher de 1.]]>
0{,}488]]>
Erreur : 1 - P(X = 0) = 0{,}488 donne P(X ≥ 1). Le cas
X = 1 doit également être écarté.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q38 : Une condition qui n'en est pas une
Une variable X compte les succès d'une répétition d'épreuves de
Bernoulli. Parmi ces conditions, laquelle n'est pas nécessaire pour
que X suive une loi binomiale ?]]>
Trois conditions définissent un schéma de Bernoulli : un nombre
d'épreuves fixé, la même probabilité de succès à chaque épreuve, et
l'indépendance. La valeur de n est libre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Que le nombre de répétitions soit grand]]>
Bonne réponse : la loi binomiale se définit dès n = 1. La taille de
n ne joue aucun rôle dans la validité du modèle.]]>
Que les répétitions soient indépendantes]]>
Condition indispensable : sans indépendance, on ne peut pas
multiplier les probabilités le long d'un chemin de l'arbre.]]>
Que la probabilité de succès reste la même]]>
Condition indispensable : un tirage sans remise, par exemple, fait
varier p d'une épreuve à l'autre et interdit le modèle.]]>
Que le nombre de répétitions soit fixé au départ]]>
Condition indispensable : si l'on répète jusqu'à un événement, le
nombre d'épreuves devient aléatoire et le modèle tombe.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q39 : Retrouver n et p
Une variable X suit une loi binomiale d'espérance E(X) = 12 et de
variance V(X) = 4{,}8. Quels sont ses paramètres ?]]>
De E(X) = np et V(X) = np(1-p) on tire 1-p = V(X)/E(X),
puis n = E(X)/p. Deux équations suffisent pour deux inconnues.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
n = 20 et p = 0{,}4]]>
Erreur de lecture : le quotient V(X)/E(X) donne 1-p et
non p. Il faut encore passer au complément : p = 0{,}6.]]>
n = 12 et p = 0{,}6]]>
Erreur : 12 est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient
n en divisant l'espérance par p, soit n = 20.]]>
n = 12 et p = 0{,}4]]>
Deux erreurs cumulées : 12 est l'espérance et non n, et 0{,}4
est la probabilité d'échec. Les paramètres sont 20 et 0{,}6.]]>
n = 20 et p = 0{,}6]]>
Bonne réponse : le quotient V(X)/E(X) = np(1-p)/np
vaut 1-p = 0{,}4, d'où p = 0{,}6, puis n = \dfrac{12}{0{,}6} =
20.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q40 : Une valeur impossible
On répète 10 fois une épreuve de Bernoulli et X compte les succès.
Parmi ces nombres, lequel X ne peut-il pas prendre ?]]>
Une variable de loi binomiale de paramètres n et p prend exactement
les valeurs entières de 0 à n, bornes comprises.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
11]]>
Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.
Le maximum est 10, donc 11 est hors d'atteinte.]]>
0]]>
Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les 10
épreuves échouent toutes, de probabilité (1-p)¹⁰.]]>
5]]>
Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre 0
et 10, donc une valeur prise par X.]]>
10]]>
Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les 10
épreuves réussissent toutes, de probabilité p¹⁰.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q41 : Traduire une inégalité stricte
Une variable X compte des succès. Comment traduire « strictement plus
de 5 succès » à l'aide de X ?]]>
Sur des valeurs entières, « strictement plus de k » et « au moins
k+1 » décrivent le même événement. C'est cette seconde écriture que la
calculatrice sait traiter.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
X > 6, soit sept succès ou plus]]>
Erreur : le seuil a été décalé d'une unité. La valeur 6 convient
déjà, puisqu'elle dépasse 5.]]>
X ≥ 5, soit cinq succès ou plus]]>
Erreur : cette écriture inclut la valeur 5, que l'inégalité stricte
exclut au contraire.]]>
X ≤ 5, soit cinq succès au plus]]>
Sens inversé : cette écriture décrit « au plus cinq succès », donc
exactement le contraire de l'énoncé.]]>
X ≥ 6, soit six succès ou plus]]>
Bonne réponse : X ne prend que des valeurs entières, donc
« strictement plus de 5 » commence à 6.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q42 : Pas que des succès
Soit X \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}4). Quelle est la probabilité que
les 3 épreuves ne soient pas toutes des succès ?]]>
L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,
de probabilité pⁿ. On obtient donc P(X ≤ n-1) = 1 - pⁿ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}784]]>
Erreur : 1 - 0{,}216 = 0{,}784 répond à « au moins un
succès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter.]]>
0{,}064]]>
Erreur : 0{,}064 est justement la probabilité d'obtenir que des
succès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé.]]>
0{,}936]]>
Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de
probabilité 0{,}4^{3} = 0{,}064. On conclut par
1 - 0{,}064 = 0{,}936.]]>
0{,}216]]>
Erreur : 0{,}6^{3} = 0{,}216 est la probabilité de n'obtenir aucun
succès, un cas bien plus restrictif que celui demandé.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q43 : Combien de tentatives prévoir
Chaque tentative réussit avec la probabilité 0{,}2, indépendamment des
autres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer 12 succès
en moyenne ?]]>
Sur n tentatives indépendantes de même probabilité p, le nombre de
succès a pour espérance np. Viser k succès revient à choisir
n = k/p.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
15]]>
Erreur : la division a été faite par 0{,}8, la probabilité d'échec.
L'espérance du nombre de succès fait intervenir p.]]>
2{,}4]]>
Opération inversée : multiplier 12 par 0{,}2 donne 2{,}4,
un nombre plus petit que 12. Il faut au contraire diviser.]]>
60]]>
Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale
d'espérance np. On résout n \times 0{,}2 = 12, d'où
n = \dfrac{12}{0{,}2} = 60.]]>
12]]>
Erreur : 12 tentatives ne donneraient que 2{,}4 succès en
moyenne, puisque chacune échoue le plus souvent.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q44 : Ce que dit l'écart-type
Soit X \sim \mathcal{B}(400\,;\,0{,}5), d'espérance 200 et
d'écart-type 10. Que traduit cet écart-type ?]]>
L'espérance situe le centre d'une loi, l'écart-type mesure l'ampleur des
fluctuations autour de ce centre. Aucun des deux ne borne les valeurs
possibles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
X prend nécessairement une valeur entre 190 et 210]]>
Erreur : l'écart-type ne borne rien. Toutes les valeurs de 0 à
400 restent possibles, même si les plus éloignées sont rares.]]>
L'écart à 200 est d'une dizaine d'unités]]>
Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion autour de
l'espérance. Les valeurs observées se tiennent en général à quelques
dizaines d'unités de 200.]]>
La valeur de l'espérance est connue à 10 près]]>
Erreur : l'espérance vaut exactement 200. C'est la variable, et non
son espérance, qui fluctue autour de cette valeur.]]>
Une épreuve sur dix environ se solde par un succès]]>
Erreur : la proportion de succès est donnée par p = 0{,}5, soit une
épreuve sur deux. L'écart-type ne renseigne pas sur p.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q45 : Somme de toutes les probabilités
Soit X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p). Que vaut la somme
P(X = 0) + P(X = 1) + ⋯ + P(X = n) ?]]>
Les n+1 événements (X = 0), (X = 1), …, (X = n) sont deux à deux
incompatibles et couvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités
vaut 1.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
n, le nombre d'épreuves répétées]]>
Erreur : une somme de probabilités ne peut pas dépasser 1. Le
nombre n compte les épreuves, pas des probabilités.]]>
np, c'est-à-dire l'espérance de X]]>
Confusion : np s'obtient en pondérant chaque valeur k par sa
probabilité. Ici les probabilités sont simplement additionnées.]]>
1, comme pour toute loi de probabilité]]>
Bonne réponse : les événements (X = k) forment une partition de
l'univers, donc leurs probabilités totalisent 1.]]>
p, la probabilité de succès d'une épreuve]]>
Erreur : p concerne une seule épreuve. La somme porte sur toutes
les valeurs possibles de X, donc sur tout l'univers.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q46 : Retrouver la probabilité à partir de l'espérance
X suit une loi binomiale de paramètres n = 40 et p, avec
E(X) = 12. Que vaut p ?]]>
E(X) = np se lit dans les deux sens : connaissant n et
l'espérance, on retrouve p.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0{,}3]]>
Bonne réponse : E(X) = np, donc p = \dfrac{12}{40} = 0{,}3.]]>
12]]>
Erreur : 12 est l'espérance, pas la probabilité.]]>
3{,}33]]>
Erreur : 40/12 dépasse 1 et ne peut pas être une
probabilité.]]>
0{,}4]]>
Erreur : le quotient a été mal calculé ; 40 \times 0{,}4 \neq
12.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q47 : La variance la plus grande à n fixé
Pour une loi binomiale de paramètre n fixé, pour quelle valeur
de p la variance np(1 - p) est-elle maximale ?]]>
L'incertitude est maximale quand succès et échec sont
équiprobables : V(X) = np(1 - p) ≤ n/4.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
p = 0, la variance décroissant avec p]]>
Erreur : pour p = 0, aucun succès, la variance est nulle.]]>
p = 1, la variance croissant avec p]]>
Erreur : pour p = 1, tous les tirages sont des succès, la
variance est nulle.]]>
p = ½, où p(1 - p) est maximal]]>
Bonne réponse : p(1 - p) est un trinôme en p de maximum
¼ en p = ½ ; la variance vaut alors
n/4.]]>
Aucune, la variance ne dépendant pas de p]]>
Erreur : np(1 - p) dépend de p, et s'annule aux deux
extrémités.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q48 : Écart-type d'une loi binomiale, calcul numérique
X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0{,}2.
Que vaut l'écart-type σ(X) ?]]>
σ(X) = √np(1 - p) : calculer la variance, puis prendre
la racine carrée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
4]]>
Bonne réponse : V(X) = 100 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 16 et
σ(X) = √16 = 4.]]>
0{,}2]]>
Erreur : 0{,}2 est la probabilité d'un succès.]]>
16]]>
Erreur : 16 est la variance ; l'écart-type en est la racine
carrée.]]>
20]]>
Erreur : 20 est l'espérance np.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q49 : Nombre de ventes attendues
Un vendeur contacte 200 clients ; chacun achète avec la
probabilité 0{,}15, indépendamment des autres. Combien de ventes
peut-il attendre en moyenne ?]]>
Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser E(X) = np pour
prévoir le résultat moyen.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
30 ventes]]>
Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de
paramètres 200 et 0{,}15, d'espérance 200 \times 0{,}15 = 30.]]>
200 ventes]]>
Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion
0{,}15 le fait en moyenne.]]>
0{,}15 vente]]>
Erreur : 0{,}15 est la probabilité d'une vente par client.]]>
15 ventes]]>
Erreur : 15 est 100 \times 0{,}15, un pourcentage, pas un
nombre de ventes sur 200 clients.]]>