$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Sommes de variables aléatoires Linéarité de l'espérance (E(X+Y), E(aX)), additivité de la
variance pour des variables indépendantes, V(aX) = a² V(X),
échantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la
somme Sₙ et de la moyenne Mₙ, décomposition d'une binomiale
en somme de variables de Bernoulli.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q01 : Espérance d'une somme Soient X et Y deux variables aléatoires avec E(X) = 3 et
E(Y) = 5. Que vaut E(X + Y) ?

]]> Linéarité de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et
E(aX) = a E(X), sans aucune hypothèse d'indépendance.
C'est l'outil le plus puissant du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8, mais seulement si X et Y sont indépendantes

]]> Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les
variances, pas les espérances. La linéarité de
l'espérance est inconditionnelle.

]]> 15

]]> Erreur : 15 = 3 × 5 serait un produit. La somme des
variables donne la somme des espérances : 3 + 5 = 8.

]]> 8, sans hypothèse supplémentaire

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,
E(X+Y) = E(X) + E(Y), vaut toujours, indépendance ou
non.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître les lois de X et Y

]]> Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans
connaître les lois ni le lien entre les variables.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q02 : Espérance de $aX$ Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 2. Que vaut
E(3X) ?

]]> E(aX) = a E(X) : un facteur constant sort tel quel de
l'espérance (contrairement à la variance, où il sort au
carré).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur : 3 + 2 additionne le coefficient et l'espérance.
La règle est multiplicative : E(3X) = 3E(X).

]]> 18

]]> Erreur : 18 = 3² × 2 applique la règle de la
variance (V(aX) = a²V(X)). Pour l'espérance, le
facteur sort sans être élevé au carré.

]]> 2

]]> Erreur : multiplier la variable par 3 multiplie aussi sa
valeur moyenne par 3.

]]> 6

]]> Bonne réponse : E(aX) = a E(X) = 3 × 2 = 6.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q03 : Variance de $aX$ Soit X une variable aléatoire avec V(X) = 2. Que vaut
V(3X) ?

]]> V(aX) = a² V(X) (et donc σ(aX) = |a| σ(X)).
Moyen mémo : la variance s'exprime en unités au carré, le
facteur y entre au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Erreur : 12 = 6 × 2 ne correspond à aucune règle.
La formule exacte est V(aX) = a²V(X) = 18.

]]> 2

]]> Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La
variance est multipliée par a² = 9.

]]> 6

]]> Erreur très fréquente : 3V(X) applique la règle de
l'espérance. Les écarts sont multipliés par 3, donc leurs
carrés par 9.

]]> 18

]]> Bonne réponse : V(aX) = a² V(X) = 9 × 2 = 18. La
variance est une moyenne de carrés d'écarts : le
facteur sort au carré.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q04 : Additivité de la variance Sous quelle hypothèse a-t-on V(X + Y) = V(X) + V(Y) ?

]]> V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
Sans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser
(Y = -X) ou se renforcer (Y = X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toujours, comme pour l'espérance

]]> Erreur : contre-exemple, Y = -X (avec V(X) > 0) :
V(X + Y) = V(0) = 0 alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0.

]]> Lorsque X et Y ont la même loi

]]> Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. avec Y = X, par exemple, V(2X) = 4V(X) ≠ 2V(X).

]]> Lorsque E(X) = E(Y) = 0

]]> Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.
Y = -X centrée fournit encore le contre-exemple.

]]> Lorsque X et Y sont indépendantes

]]> Bonne réponse : l'additivité de la variance exige
l'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la
succession d'épreuves indépendantes).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q05 : Variance d'une différence Soient X et Y indépendantes avec V(X) = 4 et V(Y) = 1.
Que vaut V(X - Y) ?

]]> Pour X, Y indépendantes :
V(X - Y) = V(X) + (-1)²V(Y) = V(X) + V(Y). Une variance ne
peut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel
que soit le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √17

]]> Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à
l'écart-type ?). V(X - Y) = 4 + 1 = 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : X - Y = X + (-1)Y, donc
V(X - Y) = V(X) + (-1)² V(Y) = 4 + 1 = 5. Les variances
s'ajoutent, même pour une différence.

]]> 4

]]> Erreur : le terme V(Y) ne disparaît pas ; -Y fluctue
exactement autant que Y.

]]> 3

]]> Piège classique : on ne soustrait pas les variances.
Soustraire une variable ajoute de l'aléa autant que
l'ajouter : V(X - Y) = V(X) + V(Y).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q06 : Écart-type de la moyenne d'échantillon Soit un échantillon de taille n = 100 d'une variable
d'écart-type σ = 5, et Mₙ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut σ(Mₙ) ?

]]> Formules d'échantillon : σ(Sₙ) = σ√n et
\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. C'est ce facteur
\frac{1}{\sqrt{n}} qui fonde la précision croissante des
sondages et mesures répétées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5

]]> Bonne réponse : V(Mₙ) = V/n donc
\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =
\dfrac{5}{\sqrt{100}} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5. Le fameux
facteur \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

]]> 5

]]> Erreur : moyenner réduit la dispersion. Chaque
observation a un écart-type de 5, mais leur moyenne
fluctue dix fois moins.

]]> 0{,}05

]]> Erreur : \dfrac{5}{100} = 0{,}05 divise par n, mais
c'est la variance qui se divise par n. L'écart-type,
sa racine, se divise par √n = 10.

]]> 50

]]> Erreur : 50 = 5√100 est l'écart-type de la
somme Sₙ, pas de la moyenne. Diviser par n ramène
à 0{,}5.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q07 : Espérance d'une somme d'échantillon Soit Sₙ = X₁ + ⋯ + X₅₀ la somme d'un échantillon de
taille 50 d'une variable d'espérance μ = 2. Que vaut
E(Sₙ) ?

]]> Pour un échantillon (X₁, …, Xₙ) d'une loi d'espérance
μ : E(Sₙ) = nμ (linéarité) et E(Mₙ) = μ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> Erreur : 50/2 ne correspond à aucune formule. E(Sₙ) = nμ = 100.

]]> 100

]]> Bonne réponse : par linéarité, E(Sₙ) = nμ = 50 × 2 = 100.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est l'espérance d'une observation (et
celle de la moyenne Mₙ). La somme de 50 observations a
pour espérance 50 × 2.

]]> 52

]]> Erreur : 50 + 2 additionne des objets de natures
différentes. La règle est multiplicative : nμ = 100.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q08 : Une binomiale comme somme Soit X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p). Comment retrouve-t-on la
formule V(X) = np(1-p) ?

]]> Décomposition fondamentale : \mathcal{B}(n\,;\,p) est la loi
de X₁ + ⋯ + Xₙ, où les Xᵢ sont des Bernoulli
indépendantes. Espérances : n × p ; variances
(indépendance) : n × p(1-p).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En calculant directement E(X²) par la formule binomiale

]]> Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du
programme passe par la décomposition en somme et
l'additivité des variances : c'est tout son intérêt.

]]> En décomposant X en somme de n Bernoulli
indépendantes

]]> Bonne réponse : X = X₁ + ⋯ + Xₙ avec Xᵢ de
Bernoulli indépendantes, chacune de variance p(1-p) ;
l'additivité des variances donne n × p(1-p).

]]> On ne peut pas : cette formule est admise sans justification

]]> Erreur : la démonstration est explicitement au programme,
via la décomposition en somme de variables de Bernoulli.

]]> En dérivant l'espérance np par rapport à p

]]> Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste
ici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli
indépendantes.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q09 : Effet de la taille d'échantillon On multiplie par 4 la taille n d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne Mₙ ?

]]> V(Mₙ) = V/n : la moyenne d'un échantillon se
concentre autour de μ à mesure que n croît. En pratique :
pour diviser l'incertitude (écart-type) par 2, il faut
quadrupler l'échantillon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par 2

]]> Erreur : c'est l'écart-type qui est divisé par
√4 = 2. La variance, elle, suit V/n :
division par 4.

]]> Elle est divisée par 4

]]> Bonne réponse : V(Mₙ) = V/n : quadrupler n
divise la variance de la moyenne par 4 (et son écart-type
par 2).

]]> Elle est divisée par 16

]]> Erreur : 16 appliquerait un carré de trop. V(Mₙ) est
proportionnelle à 1/n : facteur 4, pas 16.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : c'est l'espérance E(Mₙ) = μ qui est
insensible à n. La dispersion de la moyenne, elle, fond
quand l'échantillon grandit.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q10 : Espérance de la moyenne d'échantillon Soit Mₙ la moyenne d'un échantillon de taille n d'une
variable d'espérance μ. Que vaut E(Mₙ) ?

]]> E(Mₙ) = μ : la taille de l'échantillon n'affecte que la
précision (V(Mₙ) = V/n), pas le centre. C'est le point
de départ de l'estimation statistique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc nμ

]]> Erreur : nμ est l'espérance de la somme Sₙ. La
moyenne divise par n : E(Mₙ) = μ.

]]> μ, quelle que soit la taille n

]]> Bonne réponse : E(Mₙ) = 1/nE(Sₙ) = nμ/n = μ. La moyenne d'échantillon vise juste
en moyenne, pour tout n.

]]> Cela dépend de la variance de la loi

]]> Erreur : la variance règle la dispersion de Mₙ
autour de μ, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours
μ.

]]> μ/n

]]> Erreur : la division par n est déjà incluse dans la
définition de Mₙ ; elle compense exactement la somme des
n espérances.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q11 : Quelle égalité est toujours vraie ? Soient X et Y deux variables aléatoires quelconques
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?

]]> À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans
condition ; l'additivité concerne les variances et demande
l'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent
pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(XY) = E(X) E(Y)

]]> Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est
d'ailleurs pas un attendu du programme). Avec Y = X :
E(X²) ≠ E(X)² dès que V(X) > 0.

]]> σ(X + Y) = σ(X) + σ(Y)

]]> Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels
quels (même sous indépendance, ce sont les variances
qui s'ajoutent : σ(X+Y) = √σ_X² + σ_Y²).

]]> E(X + Y) = E(X) + E(Y)

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande
aucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent
l'indépendance, et peuvent être fausses sans elle.

]]> V(X + Y) = V(X) + V(Y)

]]> Erreur : vraie seulement sous indépendance.
Contre-exemple : Y = -X donne V(X+Y) = 0.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q12 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on note S la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
3{,}5, que vaut E(S) ?

]]> Toute la puissance de la linéarité : E(S) = 2 \times 3{,}5 =
7 sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le
tableau des 36 issues).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12{,}25

]]> Erreur : 3{,}5^2 multiplierait les espérances, ce qui
correspondrait à un produit de variables. Pour une somme,
on additionne : 7.

]]> 3{,}5

]]> Erreur : 3{,}5 est l'espérance d'un seul dé (ou de la
moyenne des deux). La somme double : 7.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est le maximum d'un dé. La somme de deux
dés est centrée sur 3{,}5 + 3{,}5 = 7.

]]> 7

]]> Bonne réponse : E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =
7, par linéarité, sans même détailler la loi de S.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q13 : Espérance de $X + b$ X est une variable aléatoire d'espérance E(X) = 10. Que
vaut E(X + 5) ?

]]> E(aX + b) = aE(X) + b : l'espérance suit les
transformations affines. Décaler les valeurs décale la
moyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Bonne réponse : ajouter 5 à toutes les valeurs décale
la moyenne de 5 : E(X + b) = E(X) + b.

]]> 50

]]> Multiplication indue : 50 = 5 × E(X) correspond à
E(5X) : ici on ajoute 5, on ne multiplie pas.

]]> 10

]]> Erreur : c'est la variance qui ignore les
translations ; la moyenne, elle, suit le décalage.

]]> Impossible sans connaître la loi de X

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais
connaître la loi : c'est toute sa puissance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q14 : Variance de $X + 5$ X a pour variance V(X) = 4. Que vaut V(X + 5) ?

]]> V(aX + b) = a²V(X) : la constante b s'évapore
(translation), le facteur a ressort au carré
(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les
deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Erreur : le +5 ne s'ajoute pas à la variance : il
glisse le paquet entier sans l'étaler.

]]> 29

]]> Erreur : 29 = 4 + 5² ajoute 25 à la variance, or la
constante b disparaît totalement de la variance.

]]> 4

]]> Bonne réponse : une translation ne change pas la
dispersion. Ajouter 5 déplace toutes les valeurs du
même pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent pas
d'un millimètre : V(X + b) = V(X).

]]> 100

]]> Erreur : 100 = 5² × 4 correspond à V(5X)
(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la
variance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q15 : Espérance d'une différence X et Y sont deux variables aléatoires avec E(X) = 8
et E(Y) = 3. Que vaut E(X - Y) ?

]]> E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), sans aucune hypothèse : la
linéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut
l'indépendance » ne concerne que V(X + Y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir sans l'indépendance de X et Y

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,
dépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame
l'indépendance.

]]> 5

]]> Bonne réponse : linéarité : E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8 - 3 = 5, indépendance ou pas.

]]> 24

]]> Erreur : 24 = 8 × 3 évoquerait un produit
(et E(XY) = E(X)E(Y) exige d'ailleurs
l'indépendance) : la différence reste additive.

]]> 11

]]> Signe : 11 est E(X + Y) : la différence soustrait
les espérances.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q16 : Variance de $-X$ X a pour variance V(X) = 9. Que vaut V(-X) ?

]]> V(-X) = V(X) et σ(-X) = σ(X) : la dispersion
ignore l'orientation. Corollaire pratique : V(X - Y) = V(X) + V(Y) pour des variables indépendantes : le moins
devient plus !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Bonne réponse : V(aX) = a²V(X) avec a = -1 :
(-1)² = 1 : retourner les valeurs retourne le paquet
sans changer son étalement.

]]> -9

]]> Impossible : une variance est une moyenne de carrés
d'écarts : jamais négative, quelle que soit la
transformation.

]]> 0

]]> Erreur : -X reste aléatoire : sa dispersion est
intacte : seul le signe des valeurs a basculé.

]]> 81

]]> Erreur : 81 = 9² élèverait la variance au carré :
la règle met au carré le coefficient a = -1, pas
la variance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q17 : Écart-type d'une somme X et Y sont indépendantes, avec σ(X) = 3 et
σ(Y) = 4. Que vaut σ(X + Y) ?

]]> Indépendance : V(X + Y) = V(X) + V(Y), donc σ(X+Y) = √σ(X)² + σ(Y)² : une addition « à la
Pythagore ». Conséquence célèbre : n sources de bruit
indépendantes cumulent en √n, pas en n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √7

]]> Erreur : \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \approx 2{,}65 prend la
racine de la somme des écarts-types ; ce sont les
variances qui s'ajoutent : √9 + 16 = 5. Un
écart-type de la somme inférieur à σ(X) = 3 devrait
d'ailleurs alerter : V(X + Y) = V(X) + V(Y) ≥ V(X).

]]> 25

]]> Étape manquante : 25 est la variance de la somme ;
l'écart-type en est la racine : 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : les variances s'ajoutent
(indépendance), pas les écarts-types : V(X + Y) = 9 + 16 = 25, puis racine : σ(X+Y) = 5 : le triangle
3-4-5 des probabilités.

]]> 7

]]> L'erreur ciblée : 7 = 3 + 4 additionne les écarts-types,
or ils ne s'additionnent JAMAIS : l'additivité passe par
les variances : √9 + 16 = 5 < 7 : les fluctuations
se compensent partiellement.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q18 : Quand la variance est-elle additive ? L'égalité V(X + Y) = V(X) + V(Y) est-elle toujours
vraie ?

]]> E(X + Y) = E(X) + E(Y) : toujours. V(X + Y) = V(X) + V(Y) : seulement si indépendance. Ce contraste est LA
nuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,
l'oublier en coûte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation

]]> Trop sévère : pour des variables indépendantes,
l'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas
des tirages répétés.

]]> Non : elle exige l'indépendance de X et Y
(contre-exemple : Y = -X)

]]> Bonne réponse : avec Y = -X : X + Y = 0, variance
nulle, alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0 : sans
indépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se
renforcer.

]]> Oui : la variance est linéaire comme l'espérance

]]> Faux : la variance n'est PAS linéaire (V(aX) = a²V,
déjà). Son additivité est un privilège de
l'indépendance.

]]> Oui, dès que X et Y ont la même loi

]]> Erreur : même loi n'est pas indépendance : Y = -X a la
même loi que X (si X est symétrique) et l'égalité
échoue.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q19 : Espérance d'une combinaison On donne E(X) = 4 et E(Y) = 7.
Que vaut E(2X - Y) ?

]]> L'espérance est linéaire : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), sans aucune
hypothèse d'indépendance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Signe de la soustraction : le calcul fait est 2 × 4 + 7.

]]> 11

]]> Coefficient oublié : 4 + 7 ne tient pas compte du facteur 2.

]]> 1

]]> Bonne réponse : la linéarité donne 2 × 4 - 7.

]]> -3

]]> Coefficient appliqué au mauvais terme : 4 - 7 oublie de doubler
E(X).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q20 : Variance d'une somme Les variables X et Y sont indépendantes, de variances 3 et
5. Que vaut V(X + Y) ?

]]> Pour des variables indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y). Cette
additivité tombe en défaut si les variables sont liées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : les variances s'additionnent lorsque les variables sont
indépendantes.

]]> 64

]]> Somme élevée au carré : le carré intervient pour un coefficient
multiplicatif, pas pour une somme.

]]> 15

]]> Variances multipliées : c'est une addition qu'impose la propriété.

]]> 2

]]> Variances soustraites : même pour une différence, elles
s'additionneraient.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q21 : Variance d'une combinaison de variables indépendantes Les variables X et Y sont indépendantes, avec V(X) = 3 et
V(Y) = 5. Que vaut V(2X - Y) ?

]]> Pour X et Y indépendantes : V(aX + bY) = a² V(X) + b² V(Y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Erreur : 12 - 5 ; même pour une différence, les variances
s'ajoutent.

]]> 1

]]> Erreur : 2 × 3 - 5 ; les coefficients sortent au carré
et les variances s'additionnent.

]]> 17

]]> Bonne réponse : V(2X - Y) = 2² V(X) + (-1)² V(Y) = 12 + 5.

]]> 11

]]> Erreur : 2 × 3 + 5 ; le coefficient 2 sort au carré.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q22 : Somme d'un échantillon Un échantillon de taille n est formé de variables indépendantes de
même espérance μ. Que vaut l'espérance de leur somme ?

]]> L'espérance d'une somme est la somme des espérances. Pour un échantillon,
la somme a pour espérance nμ et la moyenne μ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc μ/n

]]> Division injustifiée : la somme grandit avec l'effectif, elle ne
diminue pas.

]]> nμ

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance additionne n fois la même
valeur.

]]> n²μ

]]> Carré de trop : il apparaît pour la variance d'un produit par un
coefficient, pas ici.

]]> μ

]]> C'est l'espérance de la moyenne d'échantillon, pas celle de la somme.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q23 : Variance de la moyenne Pour un échantillon de taille n de variables indépendantes de
variance σ², que vaut la variance de la moyenne ?

]]> La moyenne d'un échantillon a pour variance σ²/n, donc
pour écart-type \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. C'est ce qui fonde la
précision des sondages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc σ²

]]> La moyenne d'un grand échantillon fluctue bien moins qu'une
observation isolée.

]]> σ²/n²

]]> Une division de trop : la variance de la somme vaut déjà
nσ².

]]> σ²/n

]]> Bonne réponse : la variance de la somme vaut nσ², et la
division par n la divise par n².

]]> nσ²

]]> C'est la variance de la somme, pas celle de la moyenne.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q24 : Une propriété sans condition Quelle égalité reste vraie même si X et Y sont liées ?

]]> La linéarité de l'espérance est une propriété générale. Toutes les
propriétés portant sur la variance d'une somme ou sur un produit exigent
l'indépendance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc V(XY) = V(X)V(Y)

]]> Cette égalité est fausse même pour des variables indépendantes.

]]> E(XY) = E(X)E(Y)

]]> Cette égalité demande elle aussi l'indépendance.

]]> E(X + Y) = E(X) + E(Y)

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande aucune
hypothèse d'indépendance.

]]> V(X + Y) = V(X) + V(Y)

]]> L'additivité de la variance exige l'indépendance : pour Y = X, la
variance de 2X vaut 4V(X).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q25 : La binomiale vue comme une somme Une variable binomiale de paramètres n et p s'écrit comme somme
de quoi ?

]]> Écrire une binomiale comme somme de Bernoulli redonne immédiatement son
espérance, np, et sa variance, np(1-p), par additivité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De p variables de Bernoulli

]]> Le nombre de termes est n ; p est une probabilité, pas un
effectif.

]]> De n variables de Bernoulli indépendantes

]]> Bonne réponse : chacune vaut 1 en cas de succès et 0 sinon, et leur
somme compte les succès.

]]> De deux variables indépendantes seulement

]]> Le nombre de termes vaut le nombre d'épreuves, quel qu'il soit.

]]> De n variables binomiales

]]> Ce serait circulaire : la décomposition ramène à des variables plus
simples.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q26 : Écart-type de la moyenne Un échantillon de taille 100 porte sur une variable d'écart-type
20. Quel est l'écart-type de sa moyenne ?

]]> L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Multiplier la taille par cent divise cet
écart-type par dix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20

]]> Écart-type de départ recopié : la moyenne fluctue bien moins qu'une
observation isolée.

]]> 2

]]> Bonne réponse : \dfrac{20}{\sqrt{100}} = \dfrac{20}{10}.

]]> 0{,}2

]]> Division par n au lieu de √n : la racine carrée est
essentielle.

]]> 200

]]> Multiplication au lieu d'une division : l'échantillonnage réduit la
dispersion.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q27 : Variance et coefficient négatif Une variable X a pour variance 9. Que vaut V(-3X) ?

]]> La variance est multipliée par le carré du coefficient, ce qui efface le
signe. L'écart-type, lui, est multiplié par la valeur absolue du
coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 81

]]> Bonne réponse : V(aX) = a²V(X), avec a² = 9.

]]> -27

]]> Une variance est toujours positive ou nulle.

]]> 9

]]> Coefficient ignoré : multiplier une variable étale ses valeurs, donc
augmente sa variance.

]]> 27

]]> Coefficient non élevé au carré : la variance porte sur des carrés
d'écarts.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q28 : Ajouter une constante Que deviennent l'espérance et la variance de X lorsqu'on ajoute
10 à la variable ?

]]> Pour une transformation affine, E(aX + b) = aE(X) + b et
V(aX + b) = a²V(X). La constante additive disparaît de la variance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux sont multipliées par 10

]]> La multiplication correspondrait à 10X, pas à X + 10.

]]> L'espérance augmente de 10, la variance ne change pas

]]> Bonne réponse : une translation déplace le centre sans modifier la
dispersion.

]]> L'espérance ne change pas, la variance augmente

]]> C'est exactement l'inverse qui se produit.

]]> Les deux augmentent de 10

]]> Les écarts à la moyenne sont inchangés, donc la variance l'est aussi.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q29 : Deux dés indépendants La somme des résultats de deux dés équilibrés a pour espérance 7.
Comment l'obtient-on ?

]]> L'espérance d'une somme est la somme des espérances, sans condition. Le
résultat 7 se retrouve aussi par la symétrie de la loi de la somme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En divisant 12 par 2, le nombre de dés

]]> La valeur 6 obtenue serait fausse, et le raisonnement ne correspond à
aucune propriété.

]]> En additionnant les espérances, 3{,}5 deux fois

]]> Bonne réponse : chaque dé a pour espérance 1+2+3+4+5+6/6,
soit 3{,}5.

]]> En prenant la moyenne des sommes possibles

]]> Les sommes de 2 à 12 n'étant pas équiprobables, leur moyenne simple
ne convient pas.

]]> En multipliant les espérances des deux dés

]]> Le produit vaudrait 12{,}25, ce qui ne correspond à aucune somme
possible.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q30 : Quand la variance n'est pas additive Pourquoi V(X + X) ne vaut-il pas 2V(X) ?

]]> L'additivité de la variance repose entièrement sur l'indépendance. Une
variable étant parfaitement corrélée à elle-même, les écarts se cumulent
au lieu de se compenser.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que la variance peut être négative

]]> Une variance est toujours positive ou nulle, c'est une moyenne de
carrés.

]]> Parce que X n'est pas indépendante d'elle-même

]]> Bonne réponse : V(2X) = 4V(X), le double de ce que donnerait
l'additivité.

]]> Parce que la variance n'est jamais additive

]]> Elle l'est pour des variables indépendantes, ce qui est le cas usuel
des échantillons.

]]> Parce que X + X n'est pas une variable aléatoire

]]> La somme de deux variables aléatoires en est toujours une.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q31 : Espérance de aX + b Une variable aléatoire X a pour espérance E(X) = 6. Que vaut
E(2X + 3) ?

]]> Pour tous réels a et b, on a E(aX + b) = a E(X) + b. Le
coefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 27

]]> Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient 2
sort tel quel, sans être élevé au carré, d'où 15.

]]> 15

]]> Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc
E(2X + 3) = 2 E(X) + 3 = 2 × 6 + 3 = 15.

]]> 12

]]> Oubli de la constante : ajouter 3 à la variable ajoute aussi
3 à son espérance, d'où 15.

]]> 9

]]> Oubli du coefficient : le facteur 2 multiplie la variable, donc
aussi son espérance. Le calcul donne 15.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q32 : Variance de aX + b Une variable aléatoire X a pour variance V(X) = 4. Que vaut
V(2X + 3) ?

]]> La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :
V(aX + b) = a² V(X). L'écart-type devient quant à lui
|a| σ(X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une
moyenne de carrés d'écarts, donc 2² × 4 = 16.

]]> 16

]]> Bonne réponse : V(aX + b) = a² V(X), soit 2² × 4 = 16.
La constante 3 décale la variable sans modifier sa dispersion.

]]> 19

]]> La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace
toutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont
inchangés.

]]> 7

]]> Deux erreurs cumulées : le coefficient 2 a disparu et la
constante a été ajoutée. Le résultat attendu est 16.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q33 : Centrer une variable aléatoire Soit X une variable aléatoire d'espérance μ. Que vaut
E(X - μ) ?

]]> La variable X - μ est dite centrée : son espérance est nulle. En
revanche sa variance reste celle de X, puisqu'une translation ne change
pas la dispersion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc μ, puisque E(X) vaut μ

]]> Erreur : la constante μ est retranchée, elle ne reste donc pas au
résultat. L'espérance du résultat est nulle.

]]> Cela dépend entièrement de la loi de X

]]> Erreur : le calcul ne demande que E(X), connue ici. La linéarité
conclut sans rien savoir de plus sur la loi.

]]> -μ, l'opposé de l'espérance de X

]]> Erreur : le terme E(X) a été oublié. La différence
E(X) - μ fait bien disparaître les deux termes.

]]> 0, quelle que soit la loi de X

]]> Bonne réponse : E(X - μ) = E(X) - μ = μ - μ = 0. Retrancher
l'espérance revient à centrer la variable.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q34 : X et son opposée Les variables aléatoires X et -X ont-elles la même variance ?

]]> De V(aX) = a² V(X) avec a = -1 on tire V(-X) = V(X), et de même
σ(-X) = σ(X). Seule l'espérance change de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car le coefficient -1 intervient au carré

]]> Bonne réponse : V(-X) = (-1)² V(X) = V(X). Changer tous les signes
conserve les écarts à la moyenne, donc la dispersion.

]]> Oui, car l'espérance de X ne change pas

]]> La conclusion est juste, mais la raison est fausse : l'espérance de
-X vaut -E(X), elle change bel et bien de signe.

]]> Non, car V(-X) est l'opposée de V(X)

]]> Impossible : une variance est une moyenne de carrés, elle est donc
toujours positive ou nulle, jamais négative.

]]> Non, car la variance dépend du signe des valeurs

]]> Erreur : la variance mesure des écarts à la moyenne, et ces écarts
changent de signe ensemble, donc leurs carrés sont inchangés.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q35 : Écart-type d'une différence Les variables X et Y sont indépendantes, avec
σ(X) = 6 et σ(Y) = 8. Que vaut σ(X - Y) ?

]]> Pour X et Y indépendantes, V(X - Y) = V(X) + V(Y). On additionne
donc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du
résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 100

]]> Calcul interrompu trop tôt : 100 est la variance de
X - Y. L'écart-type en est la racine carrée, soit 10.

]]> 14

]]> Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les
variances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée.

]]> 2

]]> Erreur : le signe moins de X - Y ne se répercute pas sur la
dispersion. La variance de -Y est celle de Y.

]]> 10

]]> Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,
donc V(X-Y) = 6² + 8² = 100, puis
σ(X-Y) = √100 = 10.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q36 : Écart-type et coefficient négatif Une variable aléatoire X a pour écart-type σ(X) = 4. Que vaut
σ(-2X) ?

]]> De V(aX) = a² V(X) on déduit σ(aX) = |a| σ(X). Le carré
efface le signe, et la racine carrée le laisse effacé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : V(-2X) = -2² V(X), donc
σ(-2X) = |-2| × 4 = 8. C'est la valeur absolue du
coefficient qui intervient.

]]> 16

]]> Erreur : le carré s'applique à la variance. Pour l'écart-type, le
coefficient sort en valeur absolue, d'où 8.

]]> -8

]]> Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours
positif. Le signe disparaît lors du passage au carré.

]]> 4

]]> Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par
-2 multiplie bien sa dispersion, ici par |-2|.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q37 : Variance obtenue par décomposition On écrit X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2) comme la somme de 50
variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0{,}2. Qu'en déduit-on
pour V(X) ?

]]> Écrire X = X₁ + ⋯ + Xₙ avec des Xᵢ de Bernoulli indépendantes
donne E(X) = np par linéarité et V(X) = np(1-p) par additivité des
variances.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : chaque terme a pour variance 0{,}2 \times 0{,}8, et
l'indépendance permet d'additionner les 50 variances :
50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8.

]]> 2

]]> Erreur : la variance d'une Bernoulli est p(1-p) et non p². Le
second facteur est la probabilité d'échec, ici 0{,}8.

]]> 0{,}16

]]> Erreur : 0{,}16 est la variance d'une seule épreuve. Il
reste à additionner les 50 termes de la somme.

]]> 10

]]> Confusion : 10 est l'espérance np, obtenue en
additionnant les 50 espérances. La variance fait intervenir
0{,}8 en plus.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q38 : Somme de deux Bernoulli Soient X₁ et X₂ deux variables de Bernoulli indépendantes, de
même paramètre p. Quelle loi suit X₁ + X₂ ?

]]> Une somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre
p suit la loi binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p). C'est la lecture de la
loi binomiale comme un comptage de succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale \mathcal{B}(p\,;\,2)

]]> Paramètres inversés : le premier paramètre est le nombre d'épreuves,
le second la probabilité de succès.

]]> La loi binomiale \mathcal{B}(2\,;\,p)

]]> Bonne réponse : la somme compte les succès de deux épreuves
identiques et indépendantes, ce qui est exactement un schéma de
Bernoulli à deux répétitions.

]]> La loi de Bernoulli de paramètre 2p

]]> Erreur : la somme peut valoir 2, alors qu'une variable de Bernoulli
ne prend que les valeurs 0 et 1.

]]> La loi de Bernoulli de paramètre p²

]]> Erreur : p² est la probabilité que les deux épreuves réussissent,
c'est-à-dire P(X₁ + X₂ = 2), et non une loi.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q39 : Réduire la dispersion de la moyenne On souhaite diviser par 3 l'écart-type de la moyenne Mₙ d'un
échantillon. Par combien faut-il multiplier la taille n ?

]]> L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} : la précision progresse comme la racine
carrée de la taille, donc lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.
Seul 3² = 9 convient.

]]> 9

]]> Bonne réponse : \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Diviser
cette quantité par 3 demande de multiplier √n par 3,
donc n par 3² = 9.

]]> 3

]]> Erreur : c'est √n, et non n, qui figure au dénominateur.
Multiplier n par 3 ne divise l'écart-type que par
√3.

]]> 27

]]> Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un
facteur 3², pas 3³.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q40 : Deux variables liées Une variable aléatoire X a pour variance V(X) = 2 et l'on pose
Y = 2X. Que vaut V(X + Y) ?

]]> L'égalité V(X+Y) = V(X) + V(Y) exige l'indépendance. Quand Y dépend
de X, on remplace la somme par son expression et on applique
V(aX) = a² V(X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Erreur : le coefficient 3 sort au carré, comme dans
V(aX) = a² V(X). Le résultat est donc 9 × 2 = 18.

]]> 10

]]> Additivité appliquée à tort : V(X) + V(Y) = 2 + 4 × 2
supposerait l'indépendance, or Y est entièrement déterminée par
X.

]]> 18

]]> Bonne réponse : X + Y = 3X, donc
V(X + Y) = 3² V(X) = 9 × 2 = 18.

]]> 4

]]> Erreur : la somme vaut 3X et non 2X. Le coefficient à élever au
carré est 3, ce qui donne 18.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q41 : Additivité et écarts-types Pour X et Y indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y). L'égalité
correspondante vaut-elle pour les écarts-types ?

]]> On additionne les variances, puis on repasse à l'écart-type :
σ(X+Y) = √σ(X)² + σ(Y)². Cette quantité est
toujours inférieure à σ(X) + σ(Y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, il suffit de prendre la racine carrée de chaque terme

]]> Erreur : pour σ(X) = 3 et σ(Y) = 4, on obtient
σ(X+Y) = 5 et non 7. La racine ne se distribue pas.

]]> Non, la racine d'une somme n'est pas une somme de racines

]]> Bonne réponse : σ(X+Y) = √V(X) + V(Y), et cette racine
vaut moins que σ(X) + σ(Y) dès que les deux écarts-types
sont non nuls.

]]> Non, sauf si X et Y ont exactement le même écart-type

]]> Erreur : l'égalité échoue aussi dans ce cas. Pour
σ(X) = σ(Y) = σ, on obtient σ√2 et non
2σ.

]]> Oui, à condition que X et Y soient bien indépendantes

]]> Erreur : l'indépendance donne l'additivité des variances, jamais
celle des écarts-types.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q42 : Une différence d'espérance nulle Deux variables aléatoires X et Y vérifient E(X - Y) = 0. Peut-on en
conclure qu'elles prennent toujours la même valeur ?

]]> L'espérance ne caractérise pas une variable aléatoire. De
E(X) = E(Y) on ne déduit ni la même loi, ni les mêmes valeurs, ni la
même variance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, leurs espérances sont égales, rien de plus

]]> Bonne réponse : E(X - Y) = 0 signifie E(X) = E(Y). Deux dés
distincts ont la même espérance et donnent pourtant des résultats
différents.

]]> Non, car l'espérance d'une différence n'est pas définie

]]> Erreur : E(X - Y) = E(X) - E(Y) est parfaitement définie. C'est la
conclusion tirée qui est abusive, pas le calcul.

]]> Oui, une différence d'espérance nulle impose X = Y

]]> Erreur : l'espérance résume une loi par un seul nombre. Deux lois
très éloignées peuvent partager la même moyenne.

]]> Oui, à condition que X et Y soient indépendantes

]]> Erreur : l'indépendance rend au contraire l'égalité des valeurs très
improbable, sans rien changer aux espérances.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q43 : Espérance de trois variables Trois variables aléatoires X, Y et Z ont pour espérances
respectives 4, 6 et 5. Que vaut E(X + Y + Z) ?

]]> La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :
E(X₁ + ⋯ + Xₙ) = E(X₁) + ⋯ + E(Xₙ), sans aucune condition
sur les variables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les
trois variables, d'où 15.

]]> 15

]]> Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de
termes, donc 4 + 6 + 5 = 15, sans hypothèse d'indépendance.

]]> 120

]]> Erreur : le produit 4 × 6 × 5 ne correspond à rien
ici. La somme des variables donne la somme des espérances.

]]> 10

]]> Un terme a été oublié : l'espérance de Z intervient au même titre
que les deux autres, ce qui donne 15.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q44 : Une variable toujours égale à c Soit c un nombre réel fixé et Y la variable aléatoire qui vaut c
dans tous les cas. Que valent E(Y) et V(Y) ?

]]> Une variable constante a pour espérance cette constante et pour variance
0. C'est la raison pour laquelle ajouter une constante ne change pas la
variance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(Y) = 0 et V(Y) = c

]]> Les deux rôles sont intervertis : c'est l'espérance qui vaut c et
la variance qui est nulle.

]]> E(Y) = c et V(Y) = c

]]> Erreur : une variance mesure la dispersion. Une variable qui ne varie
jamais a une dispersion nulle.

]]> E(Y) = c et V(Y) = 0

]]> Bonne réponse : la moyenne d'une valeur constante est cette valeur,
et aucun écart n'apparaît, donc la variance est nulle.

]]> E(Y) = c et V(Y) = c²

]]> Erreur : le carré apparaît dans V(aX) = a²V(X), pour un
coefficient multiplicatif, et non pour une constante.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q45 : Espérance de X + X Une variable aléatoire X a pour espérance E(X) = 5. Que vaut
E(X + X) ?

]]> L'espérance est additive sans condition, donc E(X+X) = 2E(X). La
variance, elle, n'est pas additive ici : V(X+X) = 4V(X) et non
2V(X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le
résultat attendu est 10.

]]> 20

]]> Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient 2 ne
s'élève pas au carré pour une espérance.

]]> 25

]]> Erreur : 5² élève l'espérance au carré. Ici les deux termes
s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.

]]> 10

]]> Bonne réponse : X + X = 2X, donc E(X+X) = 2E(X) = 10.
L'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q46 : Espérance d'un multiple d'une variable aléatoire X est une variable aléatoire d'espérance E(X) = 2. Que vaut
E(3X) ?

]]> E(aX + b) = a E(X) + b : multiplier les valeurs par a multiplie
la moyenne par a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : E(aX) = a E(X) = 3 × 2 = 6 ;
l'espérance est linéaire.

]]> 2

]]> Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.

]]> 18

]]> Erreur : le facteur a² concerne la variance, pas
l'espérance.

]]> 5

]]> Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne
s'ajoute pas.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q47 : Variance d'un multiple d'une variable aléatoire X est une variable aléatoire de variance V(X) = 2. Que vaut
V(3X) ?

]]> V(aX + b) = a² V(X) : la dispersion est multipliée par a²,
l'écart-type par |a|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Erreur : seule une translation X + b laisse la variance
inchangée.

]]> 6

]]> Erreur : la variance est multipliée par a², pas par a ;
c'est l'écart-type qui est multiplié par |a|.

]]> 3

]]> Erreur : 3 est le coefficient, pas la variance.

]]> 18

]]> Bonne réponse : V(aX) = a² V(X) = 3² × 2 = 18.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q48 : Réduire une variable aléatoire X est une variable aléatoire d'écart-type σ(X) = 4. Que
vaut l'écart-type de X/4 ?

]]> Centrer, X - E(X), puis réduire, diviser par σ(X) : on
obtient une variable d'espérance 0 et d'écart-type 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Erreur : diviser la variable divise aussi son écart-type.

]]> 1/16

]]> Erreur : 1/16 serait le facteur appliqué à la
variance.

]]> 1

]]> Bonne réponse : σ(X/4) = ¼ σ(X) = 1 ; diviser par l'écart-type
réduit la variable.

]]> 8

]]> Erreur : diviser ne peut pas augmenter la dispersion.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q49 : Changer d'unité de température La température C en degrés Celsius a pour espérance 20 et
pour écart-type 5. En degrés Fahrenheit, F = 1{,}8\,C + 32.
Que valent E(F) et σ(F) ?

]]> Pour aX + b : l'espérance subit tout, a E(X) + b ; l'écart-type
ne subit que |a|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(F) = 68 et σ(F) = 5

]]> Erreur : le facteur 1{,}8 multiplie aussi l'écart-type.

]]> E(F) = 68 et \sigma(F) = 1{,}8 \times 5 + 32

]]> Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.

]]> E(F) = 68 et σ(F) = 9

]]> Bonne réponse : E(F) = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68 et
\sigma(F) = 1{,}8 \times 5 = 9 ; la constante 32
déplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.

]]> E(F) = 1{,}8 \times 20 et σ(F) = 9

]]> Erreur : la constante 32 s'ajoute à l'espérance.

]]>