$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Vecteurs, droites et plans de l'espaceVecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et
coplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point
et couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,
bases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q01 : Vecteurs colinéairesDans un repère de l'espace, on donne
u⃗(2 ; -4 ; 6) et v⃗(1 ; -2 ; 3).
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?]]>u⃗ et v⃗ (avec v⃗ ≠ 0⃗) sont
colinéaires s'il existe un réel k tel que
u⃗ = kv⃗, c'est-à-dire si les coordonnées sont
proportionnelles. Ici k = 2.]]>1.00.00truetrueabcNon, car leurs coordonnées ne sont pas égales]]>Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la proportionnalité des coordonnées : u⃗ = kv⃗
pour un réel k.]]>Non, car 2 + (-4) + 6 ≠ 1 + (-2) + 3]]>Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens
géométrique ici. Le test est la proportionnalité
coordonnée par coordonnée.]]>On ne peut pas le savoir sans connaître le repère]]>Erreur : la relation u⃗ = 2v⃗ se lit sur les
coordonnées et vaut dans tout repère fixé.]]>Oui, car u⃗ = 2v⃗]]>Bonne réponse : chaque coordonnée de u⃗ est le
double de celle de v⃗ : u⃗ = 2v⃗, les
vecteurs sont colinéaires.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q02 : Déterminer une droite de l'espacePar quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?]]>Une droite de l'espace est déterminée par un point et une direction (vecteur directeur non nul) : M ∈ d ⇔ AM⃗ = t u⃗. (Deux points distincts conviennent aussi : le
second fournit le vecteur AB⃗.)]]>1.00.00truetrueabcUn vecteur directeur non nul, sans point]]>Insuffisant : un vecteur donne la direction, mais une
infinité de droites parallèles la partagent. Il faut
ancrer la droite par un point.]]>Un point et deux vecteurs non colinéaires]]>Erreur : un point et deux vecteurs non colinéaires
déterminent un plan, pas une droite.]]>Un point et un vecteur non nul]]>Bonne réponse : un point et un vecteur directeur non
nul. La droite passant par A de vecteur directeur
u⃗ est l'ensemble des points M tels que
AM⃗ = t u⃗, t réel.]]>Un seul point de l'espace]]>Insuffisant : une infinité de droites passent par un même
point (dans toutes les directions de l'espace).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q03 : Déterminer un plan de l'espacePar quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?]]>Un plan est déterminé par un point et deux directions indépendantes :
M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} +
b\vec{v} (a, b réels), avec u⃗, v⃗ non
colinéaires. Version points : trois points non alignés.]]>1.00.00truetrueabcDeux droites quelconques de l'espace]]>Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues
dans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou
strictement parallèles.]]>Un point et un vecteur non nul]]>Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une droite. Un plan a besoin de deux directions
indépendantes.]]>Trois points quelconques]]>Piège : trois points alignés laissent une infinité de
plans possibles. Il faut trois points non alignés.]]>Un point et deux vecteurs non colinéaires]]>Bonne réponse : le plan passant par A dirigé par
u⃗ et v⃗ non colinéaires est l'ensemble des
points M tels que AM⃗ = au⃗ + bv⃗.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q04 : Vecteurs coplanairesOn donne u⃗(1 ; 0 ; 0), v⃗(0 ; 1 ; 0) et
w⃗(2 ; 3 ; 0). Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?]]>Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme
combinaison linéaire des deux autres (supposés non
colinéaires) : ici w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗.]]>1.00.00truetrueabcOui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires]]>Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par
exemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation
w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗ qui conclut ici.]]>Oui, car w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗]]>Bonne réponse : w⃗ est combinaison linéaire de
u⃗ et v⃗ : les trois vecteurs partagent la
direction d'un même plan (ici le plan des deux premières
coordonnées).]]>Non, car ils sont dans l'espace]]>Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être
coplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée
étant nulle.]]>Non, car aucun n'est colinéaire à un autre]]>Erreur : la coplanarité de trois vecteurs ne se réduit
pas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est
combinaison linéaire des deux autres.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q05 : Base de l'espaceQue faut-il pour que trois vecteurs u⃗, v⃗,
w⃗ forment une base de l'espace ?]]>Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur
s'écrit alors de manière unique xu⃗ + yv⃗ + zw⃗ : ce sont ses coordonnées dans la base.]]>1.00.00truetrueabcQu'ils soient deux à deux non colinéaires]]>Insuffisant : u⃗, v⃗ et u⃗ + v⃗
sont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne
peuvent pas engendrer l'espace.]]>Qu'ils aient tous la même norme]]>Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition
d'une base. Seule compte l'indépendance des trois
directions.]]>Qu'ils soient deux à deux orthogonaux]]>Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base orthogonale (confort de calcul), mais une base
quelconque demande seulement la non-coplanarité.]]>Qu'ils soient non coplanaires]]>Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent
tout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon
unique.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q06 : La diagonale du cube[Figure : Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure
(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec
E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H
au-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,
de A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).]
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur AG⃗ (grande diagonale) en fonction de
AB⃗, AD⃗ et AE⃗ ?
]]>Décomposition dans le cube : AG⃗ = AB⃗ + BC⃗ + CG⃗, et BC⃗ = AD⃗, CG⃗ = AE⃗
(arêtes parallèles). D'où AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗.]]>1.00.00truetrueabcAG⃗ = AB⃗ + AD⃗]]>Incomplet : AB⃗ + AD⃗ = AC⃗, la diagonale
de la face inférieure. Pour monter jusqu'à G, il faut
encore ajouter AE⃗.]]>AG⃗ = AB⃗ - AD⃗ + AE⃗]]>Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le
sens direct de A vers G ; aucune soustraction n'est
nécessaire.]]>AG⃗ = AB⃗ + AE⃗]]>Incomplet : AB⃗ + AE⃗ = AF⃗, la diagonale
de la face avant. Il manque la profondeur AD⃗.]]>AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗]]>Bonne réponse : pour aller de A à G, on avance selon
l'arête AB⃗, puis AD⃗ (profondeur), puis
AE⃗ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q07 : Deux droites sans point communDans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?]]>Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,
parallèles (strictement ou confondues), ou non coplanaires.
Ce troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en
cherchant un plan contenant les deux droites.]]>1.00.00truetrueabcOui, si elles sont toutes les deux horizontales]]>Erreur : deux droites « horizontales » de directions
différentes et d'altitudes différentes sont non
coplanaires sans être parallèles.]]>Oui, comme dans le plan]]>Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne
survit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se
croisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles.]]>Non : elles sont forcément confondues]]>Contradiction : des droites confondues ont tous leurs
points communs, pas aucun.]]>Non : elles peuvent aussi être non coplanaires]]>Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux
droites sans point commun sont soit strictement parallèles
(même direction), soit non coplanaires (directions
différentes, aucun plan commun).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q08 : Coordonnées dans le repère du cube[Figure : Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à
l'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,
G de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE
sont tracés en rouge depuis A.]
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, on munit l'espace du repère
(A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗). Quelles
sont les coordonnées du sommet G ?
]]>Dans le repère (A ; AB⃗,AD⃗,AE⃗), les
sommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de 0
et de 1 : A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), E(0;0;1),
C(1;1;0), F(1;0;1), H(0;1;1) et G(1;1;1).]]>1.00.00truetrueabcG(1 ; 1 ; 1)]]>Bonne réponse : AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = 1 · AB⃗ + 1 · AD⃗ + 1 · AE⃗ :
coordonnées (1 ; 1 ; 1).]]>G(0 ; 1 ; 1)]]>Erreur : (0 ; 1 ; 1) est le sommet H (au-dessus de
D). G se trouve au-dessus de C, donc en
(1 ; 1 ; 1).]]>G(1 ; 0 ; 1)]]>Erreur : (1 ; 0 ; 1) est le sommet F (au-dessus de
B). Pour G, la profondeur AD⃗ vaut aussi 1.]]>G(1 ; 1 ; 0)]]>Erreur : (1 ; 1 ; 0) est le sommet C, resté sur la
face inférieure. G est au-dessus de C : troisième
coordonnée 1.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q09 : Position relative dans le cubeDans le cube ABCDEFGH (mêmes notations que précédemment,
E au-dessus de A, H au-dessus de D), quelle est la
position relative des droites (AB) et (DH) ?]]>Méthode : comparer les directions (AB⃗ et DH⃗
non colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point
commun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites non coplanaires, cas typique dans un cube.]]>1.00.00truetrueabcElles sont non coplanaires]]>Bonne réponse : (AB) est horizontale à l'avant, (DH)
verticale à l'arrière : directions non colinéaires et
aucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les
deux.]]>Elles sont confondues]]>Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues
signifierait la même droite.]]>Elles sont parallèles]]>Erreur : AB⃗ est horizontal et DH⃗ = AE⃗
est vertical : directions non colinéaires, donc pas de
parallélisme.]]>Elles sont sécantes]]>Erreur : (AB) vit sur la face inférieure avant, (DH)
part du sommet arrière D verticalement : elles ne se
rencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q10 : Vecteur directeur d'une droite $(AB)$Soient A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 1 ; 5). Quel vecteur
est directeur de la droite (AB) ?]]>AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A) = (2 ; -1 ; 2). Tout vecteur non nul colinéaire à
AB⃗ dirige aussi la droite.]]>1.00.00truetrueabcAB⃗(2 ; 1 ; 2)]]>Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :
y_B - y_A = 1 - 2 = -1.]]>OA⃗(1 ; 2 ; 3)]]>Erreur : ce sont les coordonnées du point A (le
vecteur OA⃗), pas d'un vecteur
directeur de (AB). La direction se lit sur
AB⃗.]]>AB⃗(4 ; 3 ; 8)]]>Erreur : tu as additionné les coordonnées de A et
B. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins
départ.]]>AB⃗(2 ; -1 ; 2)]]>Bonne réponse : AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A) = (2 ; -1 ; 2).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q11 : Tester l'alignement de trois pointsSoient A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 4 ; 2) et
C(4 ; 6 ; 2). Ces trois points sont-ils alignés ?]]>A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et
AC⃗ sont colinéaires. Ici AC⃗ = 3/2AB⃗ : alignés (et tous dans le plan
d'altitude z = 2).]]>1.00.00truetrueabcOui, car AC⃗ = 3/2 AB⃗]]>Bonne réponse : AB⃗(2 ; 4 ; 0) et
AC⃗(3 ; 6 ; 0) sont colinéaires
(3 = 3/2 × 2, 6 = 3/2 × 4,
0 = 3/2 × 0) : les points sont alignés.]]>Non, car C n'est pas le milieu de [AB]]]>Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit
un milieu. Le test est la colinéarité de AB⃗ et
AC⃗.]]>Non, car les coordonnées de AB⃗ et AC⃗ sont
différentes]]>Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit
d'un facteur commun : ici \overrightarrow{AC} = 1{,}5\,\overrightarrow{AB}.]]>On ne peut pas conclure sans calculer les distances]]>Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de AB⃗
et AC⃗) est direct et suffit. Aucune distance n'est
nécessaire.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q12 : Appartenance à un planSoit \mathcal{P} le plan passant par A et dirigé par les
vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗. À quelle
condition un point M appartient-il à \mathcal{P} ?]]>Caractérisation d'un plan : M \in \mathcal{P}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v} avec a, b
réels. Les couples (a ; b) jouent le rôle de coordonnées
dans le plan.]]>1.00.00truetrueabcAM⃗ · u⃗ = 0]]>Erreur : l'orthogonalité à u⃗ caractérise un autre
plan (celui de vecteur normal u⃗). Ici u⃗
est une direction contenue dans \mathcal{P}.]]>AM⃗ = u⃗ + v⃗ exactement]]>Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul
point du plan (celui de coordonnées (1 ; 1) dans le
repère du plan). Les coefficients a et b doivent
rester libres.]]>Il existe des réels a et b tels que
AM⃗ = au⃗ + bv⃗]]>Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du
plan : AM⃗ doit se décomposer sur les deux
directions du plan.]]>Il existe un réel k tel que AM⃗ = ku⃗]]>Trop restrictif : cette condition décrit la droite
passant par A dirigée par u⃗, une partie seulement
du plan.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q13 : Relation de Chasles dans l'espacePour trois points A, B, C de l'espace, que vaut
AB⃗ + BC⃗ ?]]>Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Réflexe : insérer un point
intermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme.]]>1.00.00truetrueabcAC⃗]]>Bonne réponse : relation de Chasles : aller de A à B
puis de B à C revient à aller de A à C : la
lettre du milieu s'efface.]]>CA⃗]]>Sens inversé : le trajet part de A et finit en C :
AC⃗, pas son opposé.]]>AB⃗ × BC⃗]]>Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition
vectorielle enchaîne les déplacements (Chasles).]]>BB⃗]]>Erreur : BB⃗ = 0⃗ : la somme ne
s'annule que si C = A.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q14 : Milieu d'un segment de l'espaceSoient A(1\ ;\ 4\ ;\ -2) et B(3\ ;\ 0\ ;\ 6). Quelles
sont les coordonnées du milieu I de [AB] ?]]>Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension 3 comme en
dimension 2 : I(x_A + x_B/2\ ;\ y_A+y_B/2\ ;\ z_A+z_B/2).]]>1.00.00truetrueabcI(2\ ;\ 2\ ;\ 2)]]>Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :
(1+3/2\ ;\ 4+0/2\ ;\ -2+6/2).]]>I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)]]>Troisième coordonnée : -2 + 6/2 = 2, pas 4 :
attention au signe de -2.]]>I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)]]>Division oubliée : les sommes valent (4\ ;\ 4\ ;\ 4) : le milieu prend la moitié.]]>I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)]]>Erreur : ce sont les demi-différences : le milieu
moyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q15 : Colinéarité en coordonnéesLes vecteurs u⃗(2\ ;\ -1\ ;\ 3) et
v⃗(-4\ ;\ 2\ ;\ -6) sont-ils colinéaires ?]]>v⃗ colinéaire à u⃗ ≠ 0⃗ \iff
v⃗ = ku⃗ : tester si le rapport
coordonnée par coordonnée est constant (-4/2 = 2/-1 = -6/3 = -2). Outil numéro un pour
alignement et parallélisme.]]>1.00.00truetrueabcNon : ils ne sont pas de même sens]]>Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : k = -2
négatif donne des vecteurs opposés mais bien
colinéaires.]]>Oui : v⃗ = -2 u⃗]]>Bonne réponse : chaque coordonnée de v⃗ vaut
-2 fois celle de u⃗ : le même coefficient
partout, c'est la définition en actes.]]>On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé]]>Erreur : la colinéarité est une affaire de
proportionnalité, lisible dans n'importe quel repère
(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles).]]>Non : leurs coordonnées ne sont pas égales]]>Critère trop fort : la colinéarité demande la proportionnalité des coordonnées, pas leur égalité.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q16 : Lire des coordonnées dans une baseDans une base (i⃗\ ;\ j⃗\ ;\ k⃗) de
l'espace, on a w⃗ = 3i⃗ - k⃗. Quelles sont
les coordonnées de w⃗ ?]]>Les coordonnées sont les coefficients de la décomposition w⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗, dans l'ordre de la base,
zéros compris. La base garantit existence et unicité de
cette écriture.]]>1.00.00truetrueabc(3\ ;\ -1\ ;\ 0)]]>Ordre : le -1 porte sur k⃗, troisième
vecteur : le zéro est en deuxième position.]]>(0\ ;\ 3\ ;\ -1)]]>Décalage : le coefficient de i⃗ (3) ouvre le
triplet.]]>(3\ ;\ 0\ ;\ -1)]]>Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition : 3 sur i⃗, 0 sur j⃗
(absent), -1 sur k⃗.]]>(3\ ;\ -1)]]>Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :
l'absence de j⃗ se code par un 0, elle ne
supprime pas la coordonnée.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q17 : Tester la coplanarité de trois vecteursComment vérifier que w⃗ est coplanaire à u⃗ et
v⃗ (non colinéaires) ?]]>w⃗ coplanaire à (u⃗\ ;\ v⃗) non
colinéaires \iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}. En
pratique : poser le système 3 × 2 ; deux équations
déterminent (a\ ;\ b), la troisième valide ou réfute.]]>1.00.00truetrueabcVérifier que w⃗ = u⃗ + v⃗ exactement]]>Trop restrictif : la somme est UNE combinaison
particulière (a = b = 1) : la coplanarité autorise
tous les coefficients.]]>Chercher des réels a et b tels que w⃗ = au⃗ + bv⃗ (système sur les coordonnées)]]>Bonne réponse : coplanaires, car l'un est combinaison linéaire des deux autres : trois équations (une par coordonnée), deux
inconnues : s'il y a une solution, coplanarité.]]>Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune]]>Faux critère : il caractérise les plans de
coordonnées seulement : un plan quelconque n'aligne
aucun zéro.]]>C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires]]>Faux : (i⃗\ ;\ j⃗\ ;\ k⃗) n'est pas
coplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est
une vraie contrainte.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q18 : Construire un point par égalité vectorielleSoient A(1\ ;\ 0\ ;\ 2), B(2\ ;\ 1\ ;\ 0) et
C(0\ ;\ 3\ ;\ 1). Quelles sont les coordonnées du point
M défini par AM⃗ = 2AB⃗ - AC⃗ ?]]>Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs
(B - A, C - A), combinaison, puis M = A + AM⃗ : l'oubli du retour au point (ajouter
A) est l'erreur signature de l'exercice.]]>1.00.00truetrueabcM(3\ ;\ -1\ ;\ -3)]]>Dernière étape sautée : (3\ ;\ -1\ ;\ -3) sont les
coordonnées du vecteur AM⃗ : il
reste à les ajouter à celles de A.]]>M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)]]>Erreur : c'est 2AB⃗ seul (transformé
en point depuis l'origine) : il manque A et le terme
-AC⃗.]]>M(4\ ;\ -1\ ;\ -1)]]>Bonne réponse : AB⃗(1\ ;\ 1\ ;\ -2),
AC⃗(-1\ ;\ 3\ ;\ -1), donc
AM⃗(3\ ;\ -1\ ;\ -3) et M = A + AM⃗ = (4\ ;\ -1\ ;\ -1).]]>M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)]]>Vecteur AC⃗ non soustrait :
l'égalité retranche AC⃗, elle ne
l'ajoute pas.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q19 : Lire une représentation paramétriqueUne droite a pour représentation paramétrique
x = 1 + 2t, y = -3t, z = 4 + t.
Quel est un vecteur directeur ?]]>Dans une représentation paramétrique, les termes constants donnent un
point de la droite et les coefficients du paramètre un vecteur directeur.]]>1.00.00truetrueabc(2 ; -3 ; 1)]]>Bonne réponse : les coefficients du paramètre donnent les coordonnées
d'un vecteur directeur.]]>(1 ; -3 ; 4)]]>Coordonnées mélangées : on a pris les constantes de deux lignes et le
coefficient d'une autre.]]>(2 ; 3 ; 1)]]>Signe perdu : le coefficient de t dans la deuxième ligne vaut
-3.]]>(1 ; 0 ; 4)]]>Ce sont les coordonnées d'un point de la droite, obtenu pour
t = 0.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q20 : Un point sur une droite paramétréeLe point A(5 ; -6 ; 6) appartient-il à la droite d'équations
x = 1 + 2t, y = -3t, z = 4 + t ?]]>Un point appartient à une droite paramétrée s'il existe une valeur du
paramètre qui convienne simultanément pour les trois coordonnées. On la
détermine sur une ligne, puis on vérifie sur les deux autres.]]>1.00.00truetrueabcNon, aucun paramètre ne convient]]>La valeur t = 2 vérifie les trois égalités, il suffit de la
substituer pour le constater.]]>On ne peut pas conclure sans un second point]]>La représentation paramétrique suffit : elle décrit entièrement la
droite.]]>Oui, pour t = 2]]>Bonne réponse : 1 + 4 = 5, -6 = -3 × 2 et 4 + 2 = 6, la
même valeur convient partout.]]>Oui, pour t = 5]]>Cette valeur donnerait x = 11, ce qui ne correspond pas à
l'abscisse de A.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q21 : Deux plans de l'espaceQuelles sont les positions relatives possibles de deux plans
distincts de l'espace ?]]>Deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants suivant une
droite. C'est une différence importante avec les droites de l'espace, qui
peuvent n'être ni parallèles ni sécantes.]]>1.00.00truetrueabcParallèles ou sécants suivant une droite]]>Bonne réponse : deux plans distincts ne se coupent jamais en un seul
point.]]>Parallèles, sécants ou non coplanaires]]>La non-coplanarité concerne des droites : deux plans sont toujours dans
l'espace entier.]]>Toujours sécants]]>Deux plans parallèles distincts, comme deux étages d'un immeuble, n'ont
aucun point commun.]]>Parallèles ou sécants en un point]]>Une intersection réduite à un point est impossible : dès qu'ils ont un
point commun, ils en partagent toute une droite.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q22 : Deux droites ni parallèles ni sécantesComment appelle-t-on deux droites de l'espace sans point commun et de
directions différentes ?]]>Dans l'espace, deux droites sans point commun peuvent être parallèles ou
non coplanaires. Dans le plan, seul le parallélisme est possible.]]>1.00.00truetrueabcPerpendiculaires]]>La perpendicularité exige en outre un point commun, absent ici.]]>Non coplanaires]]>Bonne réponse : aucun plan ne les contient toutes les deux, situation
propre à l'espace.]]>Confondues]]>Des droites confondues ont tous leurs points en commun, pas aucun.]]>Parallèles]]>Le parallélisme impose des vecteurs directeurs colinéaires, ce que
l'énoncé exclut.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q23 : Coordonnées d'un vecteur de l'espaceOn donne A(1 ; -2 ; 3) et B(4 ; 0 ; -1).
Quelles sont les coordonnées de AB⃗ ?]]>Les coordonnées de AB⃗ s'obtiennent par différence,
exactement comme dans le plan, avec une troisième coordonnée en plus.]]>1.00.00truetrueabc(4 ; 0 ; -1)]]>Coordonnées de B recopiées : elles ne donnent le vecteur que si A
est l'origine.]]>(3 ; 2 ; -4)]]>Bonne réponse : on retranche les coordonnées de A à celles de B,
coordonnée par coordonnée.]]>(5 ; -2 ; 2)]]>Coordonnées additionnées : la soustraction est nécessaire pour obtenir
un déplacement.]]>(-3 ; -2 ; 4)]]>Sens inversé : ce sont les coordonnées de BA⃗.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q24 : Décomposer $\overrightarrow{AM}$ sur deux vecteurs d'un planDans un repère de l'espace, on donne A(1\ ;\ 0\ ;\ 2), B(2\ ;\ 1\ ;\ 2), C(1\ ;\ 2\ ;\ 3) et M(3\ ;\ 6\ ;\ 4). Pour quels réels a et b a-t-on AM⃗ = a AB⃗ + b AC⃗ ?]]>On calcule les coordonnées des vecteurs, puis on traduit l'égalité vectorielle coordonnée par coordonnée : a = 2, a + 2b = 6 et b = 2. Deux équations fixent a et b, la troisième sert de vérification ; si elle échouait, M ne serait pas dans le plan (ABC).]]>1.00.00truetrueabcAucun couple : M n'est pas dans le plan (ABC)]]>Le système des trois coordonnées est compatible : a = 2 et b = 2 vérifient les trois équations, donc M appartient au plan (ABC).]]>a = 3 et b = 4]]>Ce sont les coordonnées du point M qui ont servi, au lieu de celles du vecteur AM⃗(2\ ;\ 6\ ;\ 2) ; la deuxième coordonnée donnerait d'ailleurs 3 + 8 = 11, et non 6.]]>a = 2 et b = 4]]>Le coefficient 2 de la deuxième coordonnée de AC⃗ a été oublié : l'équation est a + 2b = 6, et b = 4 donnerait 2 + 8 = 10.]]>a = 2 et b = 2]]>Bonne réponse : AB⃗(1\ ;\ 1\ ;\ 0), AC⃗(0\ ;\ 2\ ;\ 1) et AM⃗(2\ ;\ 6\ ;\ 2). Le système a = 2, a + 2b = 6, b = 2 est vérifié : M appartient au plan (ABC).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q25 : Trois vecteurs coplanairesQue signifie que trois vecteurs de l'espace sont coplanaires ?]]>Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils admettent des représentants dans
un même plan, ce qui revient à pouvoir exprimer l'un comme combinaison des
deux autres.]]>1.00.00truetrueabcLeur somme est le vecteur nul]]>Une somme nulle entraîne la coplanarité, mais l'inverse est faux :
u⃗ + v⃗ + w⃗ n'a aucune raison d'être nulle.]]>L'un s'écrit à l'aide des deux autres]]>Bonne réponse : la coplanarité équivaut à l'existence d'une
décomposition w⃗ = au⃗ + bv⃗.]]>Ils ont tous la même direction]]>C'est la colinéarité, une condition bien plus forte.]]>Ils ont tous la même norme]]>La longueur n'intervient pas : la coplanarité est une question de
direction.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q26 : Ce que fixe une base de l'espaceCombien de vecteurs une base de l'espace comporte-t-elle ?]]>Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout
vecteur s'y décompose alors d'une seule manière, ce qui définit ses
coordonnées.]]>1.00.00truetrueabcTrois, non coplanaires]]>Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires permettent d'écrire tout
vecteur de façon unique.]]>Trois, deux à deux orthogonaux]]>L'orthogonalité caractérise une base orthogonale, cas particulier
commode mais non obligatoire.]]>Deux, non colinéaires]]>Deux vecteurs engendrent seulement un plan.]]>Quatre, pour couvrir l'espace]]>Un quatrième vecteur serait nécessairement combinaison des trois
premiers, donc redondant.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q27 : Chercher l'intersection de deux droitesPour déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes, que
fait-on ?]]>Deux droites de l'espace sont sécantes si le système formé par leurs
représentations paramétriques admet une solution. Un système sans solution
avec des directions non colinéaires signale des droites non coplanaires.]]>1.00.00truetrueabcOn compare leurs points de départ]]>Ces points sont arbitraires : une même droite admet une infinité de
représentations paramétriques.]]>On vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires]]>Des directions colinéaires signalent au contraire des droites
parallèles ou confondues.]]>On calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs]]>Ce calcul renseigne sur l'angle, pas sur l'existence d'un point
commun.]]>On résout le système formé par leurs équations]]>Bonne réponse : on cherche des valeurs des deux paramètres donnant le
même point, le système pouvant être incompatible.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q28 : Chasles avec trois points de l'espaceÀ quoi la somme AB⃗ + BC⃗ + CA⃗ est-elle égale ?]]>La relation de Chasles vaut dans l'espace comme dans le plan. Un circuit
fermé correspond toujours à un déplacement total nul.]]>1.00.00truetrueabcÀ 2AB⃗]]>Aucun facteur ne se dégage : la relation de Chasles enchaîne les
déplacements, elle ne les double pas.]]>À BA⃗]]>La somme des deux premiers termes vaut AC⃗, dont
l'opposé est CA⃗, d'où un total nul.]]>Au vecteur nul]]>Bonne réponse : le parcours revient à son point de départ, donc le
déplacement total est nul.]]>À AC⃗]]>Ce serait la somme des deux premiers termes seulement ; le troisième
ramène en A.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q29 : Milieu dans l'espaceQuelles sont les coordonnées du milieu de [AB], avec
A(2 ; -1 ; 5) et B(0 ; 3 ; -1) ?]]>La formule du milieu se généralise directement à l'espace : chaque
coordonnée du milieu est la demi-somme des coordonnées correspondantes.]]>1.00.00truetrueabc(1 ; 1 ; 2)]]>Bonne réponse : on prend la demi-somme des coordonnées, coordonnée par
coordonnée.]]>(2 ; 2 ; 4)]]>Division oubliée : ce sont les sommes des coordonnées, à partager
encore en deux.]]>(-1 ; 2 ; -3)]]>Demi-différence calculée : cette opération donne la moitié de
AB⃗, pas le milieu.]]>(1 ; -2 ; 3)]]>Signes mal reportés : la deuxième coordonnée du milieu vaut
-1 + 3/2 = 1.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q30 : Une droite et un planQuelles sont les positions relatives possibles d'une droite et d'un
plan de l'espace ?]]>Une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles, ce
dernier cas se subdivisant selon que la droite est incluse dans le plan ou
non.]]>1.00.00truetrueabcIncluse ou sécante en deux points]]>Deux points communs suffisent à entraîner l'inclusion de toute la
droite dans le plan.]]>Parallèle ou sécante suivant une droite]]>Une intersection suivant une droite entière signifierait que la droite
est incluse dans le plan.]]>Toujours sécante en un point]]>Une droite parallèle au plan et hors de lui n'a aucun point commun
avec lui.]]>Incluse, parallèle stricte ou sécante en un point]]>Bonne réponse : hors du cas d'inclusion, l'intersection est soit vide,
soit réduite à un point.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q31 : Un autre vecteur directeurUne droite d a pour vecteur directeur
u⃗(2 ; -3 ; 5). Lequel de ces vecteurs dirige
lui aussi la droite d ?]]>Tout vecteur non nul colinéaire à u⃗ dirige la même
droite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois
coordonnées sont multipliées par un seul et même réel.]]>1.00.00truetrueabc(2 ; -3 ; -5)]]>Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de
proportionnalité doit être le même pour les trois, sinon
la direction change.]]>(3 ; -2 ; 6)]]>Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité
demande v⃗ = ku⃗, pas une même quantité
ajoutée partout.]]>(-4 ; 6 ; -10)]]>Bonne réponse : ce vecteur vaut -2 u⃗, il est donc
colinéaire à u⃗ et dirige la même droite.]]>(-3 ; 2 ; 5)]]>Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un
vecteur d'une autre direction, sauf cas particulier.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q32 : Coordonnées d'un vecteur du cubeDans le cube ABCDEFGH, la face EFGH surmonte la face
ABCD : E est au-dessus de A, F au-dessus de B, G
au-dessus de C et H au-dessus de D. Dans le repère
(A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗),
quelles sont les coordonnées de BH⃗ ?]]>Les sommets du cube ont pour coordonnées les triplets de 0
et de 1. On lit celles du départ et de l'arrivée, puis on
soustrait : BH⃗ = H - B.]]>1.00.00truetrueabc(0 ; 1 ; 1)]]>Coordonnées du point H recopiées : elles ne donnent le
vecteur que si l'origine du vecteur est A, ce qui n'est
pas le cas ici.]]>(1 ; 1 ; 1)]]>Ce sont les coordonnées de AG⃗, la grande
diagonale partant de A. En partant de B, il faut
d'abord revenir en arrière.]]>(-1 ; 1 ; 1)]]>Bonne réponse : B(1 ; 0 ; 0) et H(0 ; 1 ; 1),
donc BH⃗ a pour coordonnées
(0-1 ; 1-0 ; 1-0).]]>(1 ; -1 ; -1)]]>Sens inversé : ce vecteur est HB⃗. Le
calcul se fait dans l'ordre arrivée moins départ.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q33 : Compléter un parallélogrammeOn donne A(1 ; 2 ; -1),
B(3 ; 0 ; 2) et C(4 ; 1 ; 5).
Quelles sont les coordonnées du point D tel que
AD⃗ = BC⃗ ?]]>Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :
x_D - x_A = x_C - x_B, d'où x_D = x_A + x_C - x_B, et de
même pour les deux autres. Le quadrilatère ABCD obtenu est
alors un parallélogramme.]]>1.00.00truetrueabc(0 ; 1 ; -4)]]>Rôles échangés : ce point vérifie
AD⃗ = CB⃗, c'est-à-dire
l'égalité écrite dans l'autre sens.]]>(2 ; 3 ; 2)]]>Bonne réponse : BC⃗ a pour coordonnées
(1 ; 1 ; 3), que l'on ajoute à celles
de A pour obtenir D.]]>(6 ; -1 ; 8)]]>Somme des deux vecteurs issus de A : ce point vérifie
AD⃗ = AB⃗ + AC⃗, et non l'égalité demandée.]]>(1 ; 1 ; 3)]]>Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur
BC⃗, qu'il reste à ajouter à celles du
point A.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q34 : Une cote qui rend trois points alignésSoient A(1 ; 2 ; -1),
B(3 ; 1 ; 2) et C(7 ; -1 ; m). Pour
quelle valeur de m les points A, B et C sont-ils
alignés ?]]>Trois points sont alignés lorsque AB⃗ et
AC⃗ sont colinéaires. On détermine le
coefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à
celle que l'on cherche.]]>1.00.00truetrueabcm = 2]]>Cote de B recopiée : les trois points alignés n'ont
aucune raison de partager leur troisième coordonnée.]]>m = -10]]>Signe du coefficient inversé : la cote de C s'obtient
en ajoutant 3 fois la troisième coordonnée de
AB⃗ à celle de A.]]>m = 8]]>Bonne réponse : AB⃗ a pour coordonnées
(2 ; -1 ; 3) et la première coordonnée de
AC⃗ impose
AC⃗ = 3 AB⃗, d'où la
troisième.]]>m = 6]]>Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la
troisième coordonnée du vecteur AB⃗, pas
la cote du point B.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q35 : Reconnaître un point d'une droiteLa droite d admet pour représentation paramétrique
x = 1 + 2t, y = 4 - 3t et
z = -2 + 5t, où t décrit ℝ. Lequel de ces
points appartient à d ?]]>Un point appartient à la droite s'il existe une seule
valeur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.
On la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux
autres.]]>1.00.00truetrueabc(7 ; -5 ; -17)]]>Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées
donnent t = 3, et cette valeur ne convient pas pour
la troisième.]]>(7 ; -5 ; 13)]]>Bonne réponse : la valeur t = 3 convient pour les
trois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure.]]>(6 ; -9 ; 15)]]>Termes constants oubliés : ils fixent le point de la
droite obtenu pour t = 0, et doivent figurer dans chaque
coordonnée.]]>(4 ; 7 ; 1)]]>Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas 1,
chaque coordonnée varie à son propre rythme.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q36 : Un système sans solutionDeux droites de l'espace ont des vecteurs directeurs non
colinéaires, et le système formé par leurs représentations
paramétriques n'admet aucune solution. Que peut-on conclure ?]]>Méthode en deux temps : comparer les vecteurs directeurs
(colinéaires ou non), puis résoudre le système. Directions
différentes et système sans solution signent des droites non
coplanaires.]]>1.00.00truetrueabcLes droites sont sécantes en un point]]>Erreur : un point commun se traduirait précisément par une
solution du système, alors qu'il n'en a aucune.]]>Les droites sont strictement parallèles]]>Erreur : des droites parallèles ont des vecteurs
directeurs colinéaires, ce que l'énoncé exclut
explicitement.]]>Les droites sont confondues]]>Erreur : des droites confondues partagent tous leurs
points, et le système aurait alors une infinité de
solutions.]]>Les droites ne sont pas coplanaires]]>Bonne réponse : directions différentes et aucun point
commun, il ne reste que ce cas, propre à l'espace.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q37 : Caractériser les points d'une droiteSoit d la droite passant par A et dirigée par le vecteur
non nul u⃗. Quelle égalité caractérise l'appartenance
d'un point M à d ?]]>M ∈ d ⇔ AM⃗ = t u⃗
pour un réel t. Écrite coordonnée par coordonnée, cette
égalité donne exactement la représentation paramétrique de la
droite.]]>1.00.00truetrueabcAM⃗ = u⃗ exactement]]>Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul point
de la droite. Le coefficient doit rester libre.]]>AM⃗ = t u⃗, avec t réel]]>Bonne réponse : les points de d sont exactement ceux
dont le vecteur AM⃗ est colinéaire à
u⃗.]]>AM⃗ = au⃗ + bv⃗, avec a et b réels]]>Objet plus grand : deux directions indépendantes
décrivent un plan, pas une droite.]]>AM⃗ et u⃗ ont la même norme]]>Erreur : la norme mesure une longueur, elle ne dit rien de
la direction. Deux vecteurs de même norme peuvent pointer
n'importe où.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q38 : Construire un symétriqueOn donne A(1 ; -2 ; 4) et
B(3 ; 0 ; 1). Quelles sont les coordonnées du
symétrique de A par rapport à B ?]]>Le symétrique de A par rapport à B est le point A' tel
que B soit le milieu de [AA']. Chaque coordonnée vérifie
donc x_B = \dfrac{x_A + x_{A'}}{2}, soit
x_{A'} = 2x_B - x_A.]]>1.00.00truetrueabc(-1 ; -4 ; 7)]]>Points échangés : ce point est le symétrique de B par
rapport à A. C'est le centre de la symétrie qui est
doublé.]]>(4 ; -2 ; 5)]]>Somme des coordonnées : elle donnerait le double du
milieu de [AB], alors que le point cherché est bien
au-delà de B.]]>(5 ; 2 ; -2)]]>Bonne réponse : le symétrique A' vérifie
\overrightarrow{AA'} = 2\,\overrightarrow{AB}, ou encore
B milieu de [AA'], ce qui donne
x_{A'} = 2x_B - x_A.]]>(2 ; 2 ; -3)]]>Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles
de AB⃗, qu'il reste à reporter à partir
de B.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q39 : Rendre trois vecteurs coplanairesLes vecteurs u⃗(1 ; 2 ; -1) et
v⃗(2 ; -1 ; 5) ne sont pas colinéaires.
Pour quelle valeur de m le vecteur
w⃗(8 ; 1 ; m) est-il coplanaire avec
u⃗ et v⃗ ?]]>w⃗ est coplanaire à u⃗ et v⃗ non
colinéaires lorsque w⃗ = au⃗ + bv⃗. Deux
coordonnées déterminent a et b ; la troisième fournit
alors la valeur cherchée.]]>1.00.00truetrueabcm = -2]]>Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir
u⃗ et v⃗, donc leurs deux troisièmes
coordonnées.]]>m = 13]]>Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent
w⃗ = 2 u⃗ + 3 v⃗, et la
troisième s'en déduit.]]>m = 4]]>Coefficients oubliés : la somme u⃗ + v⃗ n'est
qu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle
que les deux premières coordonnées imposent.]]>m = -17]]>Signe du second coefficient inversé : il vaut 3 pour
les trois coordonnées, pas seulement pour les deux
premières.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q40 : Parallèles à un même planDeux droites de l'espace sont parallèles à un même plan.
Sont-elles nécessairement parallèles entre elles ?]]>Être parallèle à un plan signifie avoir une direction
contenue dans celle du plan, et un plan contient une infinité
de directions. La propriété ne transmet donc pas le
parallélisme d'une droite à l'autre.]]>1.00.00truetrueabcOui : elles ont alors la même direction que le plan]]>Erreur : un plan n'a pas une direction unique, il en
contient une infinité. Les deux droites peuvent en suivre
deux différentes.]]>Non : elles sont alors sécantes]]>Trop catégorique : elles peuvent aussi être parallèles ou
non coplanaires. Aucune conclusion certaine ne se dégage.]]>Non : leurs directions peuvent différer]]>Bonne réponse : dans un plafond, deux tracés de directions
différentes donnent deux droites parallèles au sol sans
l'être entre elles.]]>Oui, à condition qu'elles soient coplanaires]]>Erreur : deux droites coplanaires peuvent parfaitement
être sécantes, tout en restant parallèles au plan de
départ.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q41 : Combinaison linéaire de deux vecteursSoient u⃗(1 ; -2 ; 3) et
v⃗(2 ; 0 ; -1). Quelles sont les
coordonnées du vecteur 2u⃗ - 3v⃗ ?]]>Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par
coordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois
coordonnées, additionner deux vecteurs additionne les
coordonnées de même rang.]]>1.00.00truetrueabc(1 ; 6 ; -11)]]>Coefficients échangés : 2 porte sur u⃗, le
premier vecteur écrit, et -3 sur v⃗.]]>(8 ; -4 ; 3)]]>Signe du second coefficient perdu : il vaut -3, et ce
signe se reporte sur les trois coordonnées de v⃗.]]>(6 ; -4 ; 4)]]>Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a
le sien, 2 pour u⃗ et -3 pour v⃗.]]>(-4 ; -4 ; 9)]]>Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de
u⃗ par 2, chacune de v⃗ par -3, puis
on ajoute coordonnée par coordonnée.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q42 : Une différence de deux vecteursPour trois points A, B et C de l'espace, que vaut
AB⃗ - AC⃗ ?]]>Réflexe : remplacer une soustraction par l'opposé, puis
appliquer Chasles.
AB⃗ - AC⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗ : l'origine commune A disparaît.]]>1.00.00truetrueabcBC⃗]]>Sens inversé : le trajet obtenu part de C pour arriver
en B, et non l'inverse.]]>AA⃗, soit le vecteur nul]]>Erreur : la différence ne s'annule que si B et C sont
confondus. Soustraire deux vecteurs n'efface pas leur
origine commune.]]>CB⃗]]>Bonne réponse :
AB⃗ - AC⃗ = CA⃗ + AB⃗ = CB⃗, en remplaçant
-AC⃗ par CA⃗.]]>BA⃗ + AC⃗]]>Signes permutés : c'est
AC⃗ - AB⃗ qui vaut cette
somme, soit l'opposé du résultat cherché.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q43 : Écrire un vecteur dans une baseDans une base (i⃗ ; j⃗ ; k⃗) de
l'espace, le vecteur w⃗ a pour coordonnées
(3 ; -2 ; 5). Comment w⃗ se décompose-t-il ?]]>Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique
xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Les coordonnées et les
coefficients de cette écriture sont deux façons de dire la
même chose.]]>1.00.00truetrueabc3i⃗ - 2j⃗ + 5k⃗]]>Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la
base.]]>3i⃗ + 2j⃗ + 5k⃗]]>Signes effacés : une coordonnée négative reste négative
dans la décomposition, elle indique un sens opposé au
vecteur de base.]]>3i⃗ + 5j⃗ - 2k⃗]]>Deux derniers coefficients permutés : le deuxième
accompagne j⃗, le troisième k⃗.]]>-2i⃗ + 3j⃗ + 5k⃗]]>Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet
suit celui des vecteurs de la base, sans décalage.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q44 : Le point commun à deux droitesLes droites d : x = 1 + 2t, y = 2 - 3t,
z = 3 + 4t et d' : x = 2 + 3s,
y = -6 + 2s, z = 16 - 5s sont sécantes.
Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?]]>On égale les deux représentations, ce qui donne trois
équations à deux inconnues t et s. Deux équations
déterminent le couple, la troisième le valide, puis on
remplace dans l'une des deux droites.]]>1.00.00truetrueabc(5 ; -4 ; 11)]]>Bonne réponse : ce point s'obtient pour t = 2 sur d
et pour s = 1 sur d', les deux jeux de coordonnées
coïncidant.]]>(1 ; 2 ; 3)]]>Point de départ de d : il correspond à t = 0 et
n'appartient pas à d'. Les deux paramètres sont à
déterminer.]]>(2 ; -6 ; 16)]]>Point de départ de d' : il correspond à s = 0 et
n'appartient pas à d. Le système impose une autre
valeur.]]>(8 ; -2 ; 6)]]>Paramètre dépassé d'une unité sur d' : ce point est bien
sur d', mais il n'est plus sur d.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q45 : Deux diagonales de facesDans le cube ABCDEFGH dont la face EFGH surmonte la face
ABCD (E au-dessus de A, F au-dessus de B, G
au-dessus de C, H au-dessus de D), quelle est la
position relative des droites (AC) et (EG) ?]]>Deux droites de même direction sont parallèles ; elles sont
confondues si elles ont en plus un point commun. Ici
AC⃗ = EG⃗ et les faces sont
distinctes, donc le parallélisme est strict.]]>1.00.00truetrueabcNon coplanaires]]>Erreur : les quatre points A, C, G et E sont dans
un même plan, celui de la section diagonale du cube.]]>Confondues, car AC⃗ = EG⃗]]>Erreur : l'égalité des vecteurs donne le parallélisme,
mais les droites portent des points distincts, sur deux
faces opposées.]]>Strictement parallèles]]>Bonne réponse : AC⃗ = EG⃗
car ACGE est un rectangle, et les deux droites sont
distinctes.]]>Sécantes au centre du cube]]>Erreur : le centre du cube est le milieu de [AG], il
n'appartient ni à (AC) ni à (EG), qui vivent sur deux
faces opposées.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q46 : Coordonnées d'un vecteur à partir de deux pointsDans un repère de l'espace, A(1 ; 2 ; 3) et B(4 ; 0 ; 5). Quelles sont les
coordonnées de AB⃗ ?]]>Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :
AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).]]>1.00.00truetrueabc(5 ; 2 ; 8)]]>Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.]]>(-3 ; 2 ; -2)]]>Erreur : ce sont les coordonnées de BA⃗ ;
l'ordre est arrivée moins départ.]]>(4 ; 0 ; 5)]]>Erreur : ce sont les coordonnées du point B, pas du vecteur.]]>(3 ; -2 ; 2)]]>Bonne réponse : AB⃗ a pour coordonnées
(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q47 : Milieu d'un segment dans l'espaceDans un repère de l'espace, A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 6 ; 5). Quelles sont les
coordonnées du milieu I de [AB] ?]]>Milieu de [AB] : (x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2 ; z_A + z_B/2).]]>1.00.00truetrueabc(4 ; 8 ; 8)]]>Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par 2.]]>(1 ; 2 ; 1)]]>Erreur : la moitié de AB⃗ n'est pas le milieu ;
il faut partir de A.]]>(2 ; 4 ; 2)]]>Erreur : ce sont les coordonnées de AB⃗, pas
du milieu.]]>(2 ; 4 ; 4)]]>Bonne réponse : I a pour coordonnées les moyennes des
coordonnées de A et de B.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q48 : Coordonnées d'une combinaison de deux vecteursSoit u⃗(1 ; 0 ; 2) et v⃗(3 ; -1 ; 1). Quelles sont les coordonnées
de 2u⃗ - v⃗ ?]]>Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par
coordonnée : 2u⃗ - v⃗ a pour coordonnées
(2xᵤ - xᵥ ; 2yᵤ - yᵥ ; 2zᵤ - zᵥ).]]>1.00.00truetrueabc(5 ; -1 ; 5)]]>Erreur : ce sont les coordonnées de 2u⃗ + v⃗.]]>(-1 ; 1 ; 3)]]>Bonne réponse : on double chaque coordonnée de u⃗ puis
on soustrait celle de v⃗, coordonnée par coordonnée.]]>(-2 ; 1 ; 1)]]>Erreur : ce sont celles de u⃗ - v⃗ ; le facteur 2
a été oublié.]]>(2 ; -1 ; 3)]]>Erreur : ce sont les coordonnées de u⃗ + v⃗.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q49 : Un point sur une droite donnée par une représentation paramétriqueLa droite d a pour représentation paramétrique
x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t, avec t ∈ ℝ.
Le point M(3 ; 0 ; 7) appartient-il à d ?]]>Un point appartient à la droite si une même valeur du paramètre
redonne ses trois coordonnées.]]>1.00.00truetrueabcOui, tout point dont l'abscisse est 3 appartient à d]]>Erreur : une droite ne contient qu'un seul point d'abscisse
donnée quand x varie avec t.]]>Oui, pour t = 2 les trois égalités sont vérifiées]]>Bonne réponse : x = 3 impose t = 2, qui donne y = 0 et
z = 7 ; on compare avec la cote de M.]]>Non, la cote 7 ne convenant pas]]>Erreur : il faut qu'une même valeur de t vérifie les
trois égalités.]]>On ne peut pas savoir sans une équation cartésienne]]>Erreur : la représentation paramétrique suffit, en cherchant
t.]]>